山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

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菏泽市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试题
本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4.已知函数的图象可能为
A. B.
C. D.
5.设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则
A. B. C.3 D.-3
6.已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为
A. B. C. D.
7.设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是
A. B. C. D.
8.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：的两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且直线平面，直线平面，下列命题为真命题的是
A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的既不充分也不必要条件
10.已知曲线：，则下列说法正确的是
A.若，则曲线为椭圆
B.若，则曲线为焦点在轴上的双曲线
C.若曲线为双曲线，则其焦距是定值
D.若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
11.设，若为函数的极大值点，则下列关系中可能成立的有
A. B. C. D.
12.函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是
A.函数的图象关于直线对称
B.当时，的最大值为-1
C.函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D.函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为，则___________.
14.已知是首项为2的等比数列，是其前n项和，且，则数列的前5项和为___________.
15.函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，则函数___________.
16.如图，等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体的侧棱，，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥体积的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.
19.（12分）设函数.
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，O为AC的中点，M为内部或边界上的动点，且平面.
（1）证明：.
（2）设直线PM与平面ABC所成角为，求的最小值.
21.（12分）已知中，，，，，曲线E过C点，动点Р在E上运动，且保持的值不变.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点的直线与曲线交于M，N两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
22.（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
高三数学试题 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
l-4ABAC 5-8DCCB
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AD 10.BD 11.BC 12.BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
解：若选①，由已知得，
由，得，
由，得，
因为，所以，
由正弦定理，有，
所以，，
所以
，
（其中，）
因为，所以存在，使得，
此时取得最大值为.
若选②：，
，
，
化简得，
由，得，因为，所以.
下同①
若选③；，
，
即，得，
因为，所以.
下同①
18.（12分）
解：（1）因为，所以，
两式相减可得，所以.
在中令，得，所以，
所以数列是首项为1公比为3的等比数列，所以.
（2），
所以，
所以①
，②
①-②得
故.
19.（12分）
解：（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
直线在x轴，y轴上的截距分别为，，
因此所求三角形的面积为.
（2），，
所以函数为增函数，又，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
20.（12分）
（1）证明：在三棱锥中，连接OB，OP，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，O为AC中点，
所以，，
又，所以平面POB，
因为平面POB，所以.
（2）由（1）知，平面平面ABC，平面平面，
平面PAC，所以平面ABC.
又，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系
则，，，，
设，则，，，，.
设平面的法向量为，
则即令，则，
同理可求得平面PBC的法向量.
因为平面PAB，平面PBC，
所以即即
所以.
又所以.
所以，又平面，
所以是平面ABC的一个法向量.
所以，
令，，所以
当即时，取得最大值为，
此时取得最小值为.
注：也可以分别取PC，BC的中点E，F，先证明M在线段EF上.
21.（12分）
解：（1）由题意，可得，
而，
所以点Р的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，
由，，得，，
所以曲线的方程为.
（2）当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点，
联立方程组消可得，
设，，
可得，，
所以
.
要使上式为定值，则，解得
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，，
也符合.
所以，存在点，使得为定值.
22.（12分）
解：（1）因为的定义域为，且.
①若，则，所以在上单调递增.
②若，令，得.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，令，则.
对于函数，，所以其必有两个零点.
又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点，则，即.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，即.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以.
由在上单调递增，得.
故的取值范围为.