吉安市高三上学期期末教学质量检测x2
数学试题(文科)
(测试时间:120分钟卷面总分:150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
3考试结束后,将答题卡交回
、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1全集U=R,集合A={x2x2+x-1≥0},B={xy=3x=1},则(CA)∩B
A.(2,+∞)
2.若复数z=-(i为虚数单位),则在复平面内,z对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
第三象限
D.第四象限
3质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况,利用系统抽样的方法从编号为1~120的该
商品中抽8件进行质检,若所抽样本中含有编号67的商品,则下列编号没有被抽到的是
A.112
B.37
4.已知tan0=-2,则cos20
C
3
A
已知命题p:3x>0,ln(x0+1)<0,命题q:Vx∈R,e1>1,则下列命题为真命题的是
A.pA
B pv
√3
6若双曲线C:cos0sin20
0<0<的离心率为
3,则0
A
7.某几何体的三视图如图所示,则该儿何体的体积为
正视图侧视图
D.32
俯视图
吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题文科第1页共6页
8.函数f(x)的定义域为R,且f
f(x-3),当0≤x<3时,f(x)=1og。(x2+
则f(2022)=
B.2
Dlog: 6
在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且PA⊥平面ABCD,PA=2AB,则直线PB
与直线AC所成角的余弦值是
A
055
10.已知实数a,b,c满足lna=c=c,则a,b,的大小关系为
Aabs
Cbcva
Daced
1.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线,我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小
岛在水中的倒影与自身形成的图形,也可以形象地称它为倒影曲线),它每过相同的间隔振
就变化一次且过点M(2),其对应的方程为y1=(2-2[2])
SIno).a(x≥0,其
中[x]为不超过x的最大整数,1
).若该葫芦曲线
N的横坐标为一,则点N
纵坐标为
12.在△ABC中,AB=BC,点D是边AB的中点,△ABC的面积为。,则线段CD的取值范
围是
A.(0,1)
B.(1,+∞
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
3已知向量a=(1,k),b=(k+1,2),若a与b共线,则实数k
≥1
14已知实数x,y满足约束条件{+y≤2,则的最大值是
3y≤0,
15.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f(x),满足f(x)>2,且f(2)=1,则不等式
3的解集
16.已知抛物线:y2=2x(p>0)的焦点为F,圆F:x2+y2-4x=0,M(x,y)为
丁
且x∈[2,4],过M作圆F的两条切线,切点分别为A,B,则
AB的取值范围为
吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题文科第2页共6页吉安市高三上学期期末教学质量检测 2022.1
数学试题(文科)参考答案
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６
答案 D C D C D C
题号 ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案 B A A C D C
１．D 因为集合A＝{x|２x２＋x－１≥０}＝(－∞,－１) AC＝２,CD＝４,BC＝６,AC⊥CD,BCDE 是矩形,
[ １
１
∪ ,
１
＋∞ ) , UA＝ ( －１, ) ,集合B＝{x|y＝ AC⊥BC,所以几何体的体积为 ３ ×４×６×２＝１６．２ ２
１ １ 故选B．
３x－１}＝ [ ,３ ＋∞ ) ,所以( RA)∩B＝ [ ,３ ８．A 因为f(x)＝f(x－３),所以f(x)的周期为３,所
１ ) ．故选 D． 以f(２０２２)＝f(６７３×４)＝f(０)＝log３５．故选 A．２
９．A 连接BD 交AC 于点O,取PD 的
２－i －i(２－i)
２．C 复数z＝ i ＝
,则 对应点
－i i ＝－１－２i z 中点E,连接EO,EA．不妨设AB＝１．
的坐标为(－１,－２),位于第三象限．故选C． 因为四边形ABCD 是正方形,所以
３．D 由系统抽样的特点知抽样间隔为１５,故所抽样 O 是BD 的中点,又E 是PD 的中
本编号符合x０＋１５k(x０为第一段的抽取样本编号, 点,所以OE∥PB．所以直线PB 与
k∈N),由抽取样本中有编号６７,则x０＝７,选项中不
直线AC 所成角即为∠EOA(或其
符合７＋１５k(k∈N)的是９．故选 D． 补角)．因为 PA⊥平面 ABCD,又 AB,AD 平面
４．C 因为tanθ＝－２,所以cos２θ＝cos２θ－sin２θ＝ ABCD,所以 PA ⊥AB,PA ⊥AD．在 △PAD 中,
cos２θ－sin２θ １－tan２θ ３
sin２θ＋cos２θ＝tan２
故选
θ＋１＝－５． C． PA⊥AD,PA＝２,AD＝１,
５
所以AE＝ ;在２ △PAB
５．D 由题意易知p 为假命题,q 为假命题,所以 D为
中,PA⊥AB,PA＝２,AB＝１,所以 PB＝ ５,所以
真命题．故选 D．
６．C 设双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a,b,c, ５ ５ ２EO＝ ;在△AOE 中,２ AE＝
,
２ AO＝
,
２ EO＝
则由题意,得a＝cosθ,b＝sinθ,c＝ cos２θ＋sin２θ＝
５, AO
２＋OE２－AE２ １０
所以
２ cos∠AOE＝ ＝
,即
２ １ ２ ３ ２ AO OE １０
１,又离心率为 ３ ３
,则
cosθ＝ ３
,cosθ＝ ,又３ ２
１０
直线 PB 与 直 线AC 所 成 角 的 余 弦 值 是 故
π , π １０
．
０＜θ＜ 所以２ θ＝６．
故选C．
选 A．
７．B 由题意可知几何体的形状如图:
１０．C 设f(x)＝ex－x,由f′(x)＝ex－１,易知f(x)
吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题 文科 参考答案 第 １页 共６页
在(－∞,０)上单调递减,在(０,＋∞)上单调递增, 影部分所示:
所以f(x) xmin＝f(０)＝１＞０,故e ＞x,所以c＝
ea＞b,又lnb＝c,所以b＝ec＞c,所以b＞c＞a．故
选C．
π ２x ２x
１１．D 当０≤x＜ 时,２ ０≤ π ＜１
,则 [ π ] ＝０,此时
３π
对应的方程为|y|＝２|sinωx|,又过点 M ( ,４ y＋１ y－(－１)＝ ,其几何意义为(０,－１)与(x, )x x－０ y
３ , ３ωπ ３ωπ π所以 ,所以 (
２ ) |sin ４ |＝１ ４ ＝ ２ ＋kπk∈ y＋１连线的斜率．当(x,y)取(１,１)时,( x ) ＝２．max
２ ４
Z),所以ω＝ ＋ k(k∈Z),又 ,所以３ ３ １＜ω＜３ ω １５．(２,＋∞) 构造函数g(x)＝f(x)－２x,则g′(x)＝
４ ３ f′(x)－２＞０,所以g(x)在 R上为增函数,且g(２)＝
＝２;当x＝３π
时,y＝± ．故选２ D．
f(２)－４＝－３f．(x)＞２x－３．即g(x)＞g(２)．所以不等
１
１２．C 设AB＝BC＝t,CD＝m,所以S ２△ABC ＝ tsinB 式f(x)＞２x－３的解集为(２,＋∞)２ ．
４ ８ ２
＝ , ２
８
即tsinB＝ ①,由余弦定理得 m２＝t２ １６．[２ ３, ] 由题意知圆３ F 的９ ９
( t ２ t ５
圆心为F(２,０),半径r＝２,抛物
＋ ,即 ２ ２２ ) －２ t ２cosB t cosB ＝ ４t －
线方程y２＝８x,四边形 MAFB
２
m２ ②,由①②得:４
５
t ＝ ( t２－m２ ) ６４＋ ,即９t４４ ８１ １的面积S＝２|MA| |AF|×２
１０２４
－４０m２t２＋１６m４＋ ,令 ２ ,设 ( )８１ ＝０ t ＝x＞０ g x ２ , １＝２ |MF| －４ 又S＝ ２|AB|
|MF|,所以
２ ２ ４ １０２４＝９x －４０m x＋１６m ＋ ,则方程８１ g
(x)＝０在 ４ |MF|２－４ ４
|AB|＝ ,由抛物线|MF| ＝４ １－|MF|２
２ ２ ２
(０,＋∞)上有解,
２０m ２０m
所以g( ) ＝９( ) －４０m２９ ９ 定义,得|MF|＝x＋２,又x∈[２,４],所以|MF|２ ∈
２０m２ ４ １０２４ ４× ９ ＋１６m ＋ ≤０
,解得 m４≥ ,即 m≥ [ ４ １ １１６,３６], 所 以８１ ９ |MF|２ ∈ [ , , 所９ ４ ]
６
３．
故选C． ８ ２以|AB|∈ [２ ３,３ ] ．
１３．１或－２ 因为a 与b 共线,k(k＋１)－２＝０,解得 １７．(１)解:当n＝１时,a２＝２S１＋３,即a２＝２a１＋３＝９;
k＝１或k＝－２． １分
ìx≥１, 当n≥２时,由a ＝２S n＋１ n ＋３(n∈N ),得an ＝
１４．２ 作出满足约束条件 íx＋y≤２,的可行域如图阴
２Sn－１＋３,两式相减得an＋１＝３an． ３分
x－３y≤０ 又a２＝３a１,所以an＋１＝３a (n∈N n ),所以{an}是
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以３为首项,３为公比的等比数列． ５分 记抽到的男性为a,b,c,抽到的女性为d,e,则基
所以an＝３×３n－１＝３n． ６分 本事件分别为(a,b,c)、(a,b,d)、(a、b、e)、(a、c、
log３an n d)、(a、c、)、( 、() : () , e a d
、e)、(b、c、d)、(b、c、e)、(b、d、
２ 证明 由 １ 知bn＝ 分a ＝ n ８n ３
e)、(c、d、e),共１０种, ９分
１ １ ２ １ n
所以Tn＝１× ３ ＋２× ( ３ ) ＋ ＋n ( ) ,３ 抽取的３人恰好是两男一女共有６种, １０分
１ １
T ＝１× ( )２ １ ３ ３＋２× ( ) ＋ ＋n 所以抽取的３人恰好是两男一女的概率是３ n ３ ３ ５．
１ n＋１ ( ) １２
分
３ ．
１９．(１)证明:连接DB．因为PA＝PC,点D 是棱AC 的
:２ １ １ １ １ １相减得到 Tn ＝ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ＋ n － 中点,所以PD⊥AC． 分３ ３ ３ ３ ３ ３ １
在
１ １ △ABC
中,AB⊥BC,点 D 是棱AC 的中点,所
n ３ (１－３n ) n １ ２n＋３ 以DB＝DA＝DC．
３n＋１＝ －
,
１
１－ ３
n＋１＝２－２ ３n＋１
３ 在△PDA 和 △PDB 中,PD ＝PD,PA ＝PB,
３ ２n＋３
所以Tn＝ － n ． １０分 DA＝DB
,所以△PDA≌△PDB,所以PD⊥DB．
４ ４×３
２分
２n＋３ ３
又
４×３n ＞０
,所以Tn＜ ． １２分４ 又DA∩DB＝D,DA,DB 平面ABC,所以PD⊥
１８．解:(１)由题意得列联表如下: 平面ABC． ５分
又BC 平面ABC,所以不太了解 比较了解 总计 PD⊥BC． ６分
男性 １２５ １６５ ２９０ (２)解:在 △CDE 中,作
女性 ７５ １３５ ２１０ CH⊥DE,垂足为 H．
总计 ２００ ３００ ５００ 由(１)知PD⊥平面ABC,
又CH 平面ABC,所以２分
５００×(１２５×１３５－１６５×７５)２ PD⊥CH．
计算得K２＝ ２００×３００×２９０×２１０ ≈２．７７１． 又PD∩DE＝D,PD,DE 平面PDE,所以CH⊥
３分 平面PDE,即CH 是点C 到平面PDE 的距离．
因为２．７７１＞２．７０６, ４分 ８分
所以有９０％的把握认为“居民对垃圾分类的了解程 ２ ２
由题意知,CD＝２,CE＝ ,３ ∠ACB＝４５°．
度”与“性别”有关． ６分
在△CDE 中,由余弦定理得 DE２＝CD２＋CE２－
(２)由题意可知,
３０
抽到的女性有５× ＝２人,抽到７５
２ CD
２０ ２ ５
CE cos∠DCE＝ ,即９ DE＝ ３ ．
４５
的男性有５× ＝３人, ７５ ７
分
DE CE
由正弦定理得 ,
sin∠DCE＝sin∠EDC
吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题 文科 参考答案 第 ３页 共６页
n２５ ＋(１２－n
２)
得sin∠EDC＝ ． １０分 因为 n
２(１２－n２)≤ ＝６．
５ ２
所以当且仅当n２５ ２ ５ ＝１２－n２,即n＝± ６(适合０＜
所以CH＝CD sin∠EDC＝２× ５＝ ５ ．
n２＜１２)时,△MAB 面积的最大值为 ３． １２分
２ ５
所以点C 到平面PDE 的距离为 ５ ．
１２分
２１．解:()
１ １
１ 当k＝－ 时,４ f
(x)＝lnx－２x
,则f′(x)＝
２０．解:(１)因为分别过F１,F２ 所作的两条直线的斜率
１ １ x－２
－ ＝－ ． １分
, π为１ 故其倾斜角为 ,
x ２ ２x
又两直线间的距离为 ,所
４ ２
当０＜x＜２时,f′(x)＞０;当x＞２时,f′(x)＜０,
以焦距２c＝２,
c １
所以c＝１,因为离心率e＝ ＝ ,a ２ 所以f(x)在(０,２)上为增函数．在(２,＋∞)上为减
所以a＝２, ２分 函数． ３分
所以b２＝a２－c２＝４－１＝３, 所以x＝２是f(x)的极大值点,也是f(x)的最大
x２ y２ 值点,且f(x)max＝f(２)＝ln２－１＜０,
所以椭圆C 的方程为４＋３＝１．
４分
１
故当k＝－ 时, ( )４ f x ＜０．
４分
３
－０
() ２ ３２kOM ＝ １－０ ＝
, ５分２ (２)法一:f(x)的定义域为(,
１
０ ＋∞),f′(x)＝x －
３
由OM∥l,可设直线l的方程为y＝ x＋n(n≠０),２ (( １－ ２k＋１
)x
２k＋１)＝ , 分x ５
代人３x２＋４y２＝１２,并整理得
１
３x２＋３nx＋n２－３＝０．
当２k＋１≤０,即k≤－ 时,f(x)在(０,＋∞)上单６分 ２
由直线l与C 交于A(x１,y１),B(x２,y２)两点,得 调递增,
Δ＝９n２－１２(n２－３)＞０． 所以f(x)最多有一个零点,不合题意; ６分
解得０＜n２＜１２． ７分
当２k＋１＞０,
１
即k＞－ 时,令f′(x)＞０,得２ ０＜x
n２－３
由韦达定理,得x１＋x２＝－n,x１x２＝ ,３ １
＜ ;令f′( ) ,
１
得 ,
２k＋１ x ＜０ x＞２k＋１
所 以|AB|＝ (１＋k２)[(x１＋x２)２－４x１x２]＝
( １ １所以
２ ２ f x)在 (０, ) 上单调递增,在 ( ,
( ９ ) [ n －３ １３(１２－n ) ２k＋１ ２k＋１１＋ (４ －n)２－４× ３ ] ＝ １２ ．
＋∞ 上单调递减,
９分 )
|２n| １
点 M 到直线l的距离d＝ , １０分 所以x＝ 是f(x)的极大值点,也是 ( )的
１３ ２k＋１
f x
最大值点,
１ １ １３(１２－n２)
所以S△MAB ＝ |AB| ２ d＝２ １２ ．
且f(x) ( １max＝f [ ( ) ]２k＋１) ＝－ ln２k＋１ ＋１ ．
|２n| n２(１２－n２)
＝ ． １１分
１３ １２ ８分
吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题 文科 参考答案 第 ４页 共６页
( ) １
( ) , ,
ⅰ 若ln(２k＋１)≥－１,即k≥ －１时, (x) g
′x ＜０ 得x＞e
２e f max
所以g(x)在(０,e)上单调递增,在(e,＋∞)上单调
≤０,所以f(x)最多有一个零点,不合题意;
递减, ８分
９分
所以g(x)
１ lnx
max＝g(e)＝ ,由此作出 (x)＝
( ) ( ) , １ １ １ e
g x
ⅱ 若ln２k＋１ ＜－１ 即－ ＜k＜ － 时,２ ２e ２
的图象(如图所示)．
１
f(x)max＝f(２k＋１) ＞０．
, －１, １一方面 ０＜２k＋１＜e 则１＜e＜ ,且２k＋１ f
(１)
＝－(２k＋１)＜０,
所以f(x)在 ( １１, ) 上有一个零点; １０分 当x→０时,g(x)→－∞;即x→＋∞时,g(x)→０,２k＋１
１０分
另一方面,由( １１)得lnx－２x＜０
,即lnx２＜x,即
１ １
所以０＜２k＋１＜ ,即e －１＜２k＜ －１．
所以 的
e k
x２＜ex,
１ １ １
１ １ １ 取值范围为 ( － , － ) ． 分
所以f( １２e２k＋１ ) ＝ －(２k＋１)e２k＋１ (２k＋１ ＝ ２k＋１) ２ ２e ２
注意:因为法二运用了数形结合,建议扣三分．
[ ( １ )２ １－e２k＋１ ] ＜０;２k＋１ ２２．(１)解:将 直 线l 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程,得
１ , １ １
２ １
又 时 , y＝x
,
２k＋１
２k＋１＞e e ＞ (２k＋１) ＞２k＋１
π
所以直线l的极坐标方程为θ＝ (４ ρ∈R
);
１ １
所以f(x)在 ( ,２k＋１ 上有一个零点,２k＋１e )
２分
, １ １ １综上所述 当－ ＜k＜ － 时,f(x)有两个２ ２e ２ 将圆C 的参数方程化为直角坐标方程,得(x－a)
２＋
２
零点． y ＝４,
１１分 所以圆C 的极坐标方程为ρ
２－(２acosθ)ρ＋a２－
( １ １ １ ) ４＝０．
４分
故k的取值范围是 － ,２ ２e－２ ．
１２分
由原点O 在圆C 的内部,得(０－a)２＋０２＜４,解得
法二:f(x)有两个零点,即f(x)＝lnx－(２k＋１)x＝０
－２＜a＜２,
有两个不相等的实根,
故a的取值范團是(－２,２)． ６分
lnx
等价转化为 ＝２k＋１,即g(x)
lnx
＝ 的图象与直x x (２) :
π
证明 将θ＝ 代入ρ２－(２acosθ)４ ρ＋a
２－４＝
线y＝２k＋１有两个交点, ７分
０,得ρ２－ ２aρ＋a２－４＝０．
１－lnx
而g′(x)＝ ２ ,令g′(x)＞０,得０＜x＜e;令x 则ρ ＋ρ ＝ ２a,ρρ ＝a２１ ２ １ ２ －４, ８分
吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题 文科 参考答案 第 ５页 共６页
所以|OM|２＋|ON|２＝ρ２１＋ρ２２＝(ρ ＋ρ )２１ ２ －２ρ１ρ２ (２)由(１)知f(x)的最小值为３,所以a＋b＝３,则
＝(２a)２－２(a２－４)＝８, (a＋１)＋b＝４, ６分
故|OM|２＋|ON|２ 为定值． １０分 m＋１ １ ４ １
a＋１＋b ＝a＋１＋b
ì－１－２x,x≤－２,
１ ４ １
() (x) , ＝
[(a＋１)＋b] ＋
２３．解 １f ＝ í３ －２＜x≤１, １分 ４ (a＋１ b )
２x＋１,x＞１, １ ４b a＋１＝４ (５＋a＋１＋ b )
当x≤－２时,不等式变为－１－２x＞３,解得x＜－２;
１ ４b a＋１ ９
２分 ≥ (５＋２ ) ＝ , 分４ a＋１ b ４ ８
当－２＜x≤１时,不等式变为３＞３,无解; ３分
ì ４b a＋１ ＝ , ５ ４
当x＞１时,不等式变为２x＋１＞３,解得x＞１． 当且仅当 ía＋１ b 即a＝ ,３ b＝
时,等号
３
４分 a＋b＝３
,
成立, 分
故不等式f(x)＞３的解集为{x|x＞１或x＜－２}．
９
５分 m＋１ １ ９所以 的最小值为 分a＋１＋b ４． １０
吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题 文科 参考答案 第 ６页 共６页
