2022届江西省吉安市高三上学期期末数学（理）试题word版含答案

吉安市高三上学期期末教学质量检测
数学试题（理科）2022.1
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（i为虚数单位），则在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知各项均为正数的数列满足，且，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1~120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号没有被抽到的是（ ）
A．112 B．37 C．22 D．9
5．已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中4位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的2位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（ ）
A．135 B．360 C．90 D．270
10．已知点F是双曲线的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点M，与y轴交于点N，若点N为的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该萄芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是（ ）
A． B．（O为坐标原点）的面积为
C． D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若与共线，则实数___________．
14．已知实数x，y满足约束条件，则中的最大值是_________．
15．已知为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的a的取值范围是__________．（用区间表示）
16．已知等差数列的前n项和为，若，则的取值范围是__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）设D为边上一点，，且________，求面积的最小值．
从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．
注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查，随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占，这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如右图．
（1）补全下面的列联表，并判断能否有的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关？
拥有驾驶证 没有驾驶证 总计
具有很强安全意识 22
不具有很强安全意识
总计 200
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附临界值表：，．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面，，点E是棱上的一点，且，点F是棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线l与C交于P，Q两点．
（1）设和的面积分别为，若，求直线l的方程；
（2）当直线l绕F点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，求证：在区间内有且仅有一个实数，使得．
（二）选考题：共10分．请考生在第2223两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点：以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；
（2）求证：为定值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的及小值为m，且对任意正数a，b满足，求的最小值．
吉安市高三上学期期末教学质量检测
数学试题（理科）参考答案2022.1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B D C A A C A D D A
1．A 由题意知，，所以．故选A．
2．B 复数，故，对应点的坐标为，位于第二象限．故选B．
3．B 数列满足，则数列为等比数列且公比，由等比数列的性质可得，则．故选B．
4．D 由系统抽样的特点知抽样间隔为15，故所抽样本编号符合（为第一段的抽取样本编号，），由抽取样本中有编号67，则，选项中不符合的是9，故选D．
5．C 设圆锥的底面半径为r，高为h，则，得，所以圆锥的高为，因此该圆锥的体积．故选C．
6．A 因为，得，所以，，所以，又，所以，，因此，因此．故选A．
7．A 连接交于点O，取的中点E，连接，．不妨设．因为四边形是正方形，所以O是的中点，又E是的中点，所以．所以直线与直线所成角即为（或其补角）．因为平面，又，平面，所以，．在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，所以，即直线B与直线所成角的余弦值是．故选A．
8．C 设，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，故所以，又，所以，所以，故选C．
9．A 从6个医疗小组选出4位主治医师，有种不同的方法；不妨设这4位主治医师分别为甲、乙、丙、丁，调整为均不在原来的医疗小组且每组均有1位主治医师，有9种不同的方法．所以调整的不同方案数为．故选A．
10．D 设双曲线的右焦点为，半焦距为c，连接，由点N为的中点，点O为的中点，知为的中位线，所以轴，得，又由三角形中位线定理可知，直线的方程，故，得，，，即，又，所以．故选D．
11．D 当时，，则．此时对应的方程为，又过点，所以，所以，所以，又，所以；当时，．故选D．
12．A 因为l过点F且倾斜角为，所以直线l的方为，与抛物线方程联立，得，设，则，，所以，，又，所以，所以；不妨设，当时，，所以过A的切线斜率为，同理可得过B的切线斜率为，所以，所以，故A正确：，故B错误；，故C错误：设点M到准线的距离为d，若，则，则D错误．故选A．
13．1或 因为与共线，，解得或为．
14．2 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：
，其几何意义为与连线的斜率．当取时，．
15． 因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，所以，，，所以．
16． 由题意可得所以，令，，令，则在上恒成立，故函数在上单调递减，，即的取值范围是．
17．解：（1）因为，由正弦定理，得， 2分
即，
所以． 4分
由，得，所以，即，
因为，所以． 6分
（2）选①．
由，得，化简得． 8分
由余弦定理，得，即，
解得（当且仅当时取等号）， 10分
所以的面积．
故面积的最小值为． 12分
选②．
由，
得，
即，化简得． 8分
由，得（当且仅当时取等号）， 10分
所以的面积．
故面积的最小值为． 12分
18．解：（1）200人中拥有驾驶证的占，有80人，没有驾驶证的有120人，由题意知，解得．所以具有很强安全意识的人有人，不具有很强安全意识的有160人． 1分
补全列联表如下：
拥有驾驶证 没有驾驶证 总计
具有很强安全意识 22 18 40
不具有很强安全意识 58 102 160
总计 80 120 200
3分
计算得， 4分
∴有的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关． 5分
（2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为， 6分
所以X的所有可能取值为0，1，2，3． 7分
同，
，
，
，
以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
10分
故． 12分
19．（1）证明：在棱上取一点G，使得，连接，
在中，，所以，且． 1分
又，
所以，所以四边形是平行四边形． 2分
所以， 3分
又平面，平面，
所以平面． 6分
（2）解：如图，以D为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
不妨设，易得．所以，，．，，．所以，，． 7分
设平面的一个法向量是，可得
令，解得，所以． 9分
设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值是． 12分
20．（1）解：由，得， 2分
因为，所以， 4分
根据对称性，得轴，
故直线l的方程为． 6分
（2）证明：．
设，由题意，得．
设直线l的方程为，代入并消去x，得，
则．（※） 8分
因为，
所以 10分
将（※）代入，得出，
故四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数． 12分
21．解：（1）由题意知， 1分
所以，又， 2分
所以曲线在处的切线方程是，即． 4分
（2）证明：令，． 5分
令，所以．因为，所以在上单调递减．
所以． 7分
令，
所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以． 9分
又，所以，因为，，所以．
令，则在上恒成立，所以，所以． 10分
又因为在上恒成立，所以在上单调递增． 11分
所以存在唯一的，使，即在区间内有且仅有一个实数，
使得． 12分
22．（1）解：将直线l的参数方程化为普通方程，得，
所以直线l的极坐标方程为； 2分
将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得，
所以圆C的极坐标方程为． 4分
由原点O在圆C的内部，得，解得，
故a的取值范围是． 6分
（2）证明：将代入，得．
则， 8分
所以，
故为定值． 10分
23．解（1） 1分
当时，不等式变为，解得； 2分
当时，不等式变为，无解； 3分
当时，不等式变为．解得． 4分
故不等式的解集为或． 5分
（2）由（1）知的最小值为3．所以，则， 6分
8分
当且仅当即时，等号成立， 9分
所以的最小值为． 10分