江西省吉安市2022届高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案）

吉安市高三上学期期末教学质量检测
数学试题（文科）
2022.1
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（i为虚数单位），则在复平面内，z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号没有被抽到的是（ ）
A．112 B．37 C．22 D．9
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．若双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
8．函数的定义城为R，且，当时，，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
9．在四棱锥中，底面为正方形，且平面，则直线与直线所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，点D是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，若与共线，则实数_________．
14．已知实数x，y满是约束条件，则的最大值是_________．
15．已知定义在R上的函数，其导函数为，满足，且，则不等式的解集为__________．
16．已知抛物线的焦点为F，圆为抛物线上一点，且，过M作圆F的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围为____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前n项和为，求证：．
18．（本小题满分12分）
推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
得分
男性人数 22 43 60 67 53 30 15
女性人数 12 23 40 54 51 20 10
（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，
附：，其中．
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，点D是棱的中点．
（1）求证；
（2）若，点E在棱上，且，求点C到平面的距离．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，过椭圆的左，右焦点，分别作斜率为1的两条直线，这两条直线之间的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点，直线l与（O为坐标原点）平行且与C交于A，B两点，求面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）若有两个零点，求k的取值范围．
（三）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点；以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程，并求a的取值范围；
（2）求证：为定值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，且对任意正数a，b满足，求的最小值．
吉安市高三上学期期末教学质量检测2022.1
数学试题（文科）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D C D C B A A C D C
1．D 因为集合，，集合，所以．故选D．
2．C 复数，则z对应点的坐标为，位于第三象限．故选C．
3．D 由系统抽样的特点知抽样间隔为15，故所抽样本编号符合（为第一段的抽取样本编号，），由抽取样本中有编号67，则，选项中不符合的是9．故选D．
4．C 因为，所以．故选C．
5．D 由题意易知p为假命题，q为假命题，所以D为真命题．故选D．
6．C 设双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距分别为a，b，c，则由题意，得，又离心率为，则，又，所以．故选C．
7．B 由题意可知几何体的形状如图：
是矩形，，所以几何体的体积为，故选B．
8．A 因为，所以的周期为3，所以．故选A．
9．A 连接交于点O，取的中点E，连接．不妨设．因为四边形是正方形，所以O是的中点，又E是的中点，所以．所以直线与直线所成角即为（或其补角）．因为平面，又平面，所以．在中，，所以；在中，，所以，所以；在中，，所以，即直线与直线所成角的余弦值是．故选A．
10．C 设，由，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，故，所以，又，所以，所以．故选C．
11．D 当时，，则，此时对应的方程为，又过点，所以，所以，所以，又，所以；当时，，故选D．
12．C 设，所以，即①，由余弦定理得，即②，由①②得：，即，令，设，则方程在上有解，所以，解得，即．故选C．
13．1或 因为与共线，，解得或．
14．2 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：
，其几何意义为与连线的斜率．当取时，．
15． 构造函数，则，所以在R上为增函数，且．．即．所以不等式的解集为．
16． 由题意知圆F的圆心为，半径，抛物线方程，四边形的面积，又，所以，由抛物线定义，得，又，所以，所以，所以．
17．（1）解：当时，，即； 1分
当时，由，得，两式相减得． 3分
又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列． 5分
所以． 6分
（2）证明：由（1）知， 8分
所以，．
相减得到：，
所以． 10分
又，所以． 12分
18．解：（1）由题意得列联表如下：
不太了解 比较了解 总计
男性 125 165 290
女性 75 135 210
总计 200 300 500
2分
计算得． 3分
因为， 4分
所以有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关． 6分
（2）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人， 7分
记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为、、、、、、、、、，共10种， 9分
抽取的3人恰好是两男一女共有6种， 10分
所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是． 12分
19．（1）证明：连接．因为，点D是棱的中点，所以． 1分
在中，，点D是棱的中点，所以．
在和中，，所以，所以． 2分
又平面，所以平面． 5分
又平面，所以． 6分
（2）解：在中，作，垂足为H．
由（1）知平面，又平面，所以．
又平面，所以平面，即是点C到平面的距离． 8分
由题意知，．
在中，由余弦定理得，即．
由正弦定理得，
得． 10分
所以．
所以点C到平面的距离为． 12分
20．解：（1）因为分别过所作的两条直线的斜率为1，故其倾斜角为，又两直线间的距离为，所以焦距，所以，因为离心率，
所以． 2分
所以，
所以椭圆C的方程为． 4分
（2）， 5分
由，可设直线l的方程为，
代入，并整理得． 6分
由直线l与C交于两点，得．
解得． 7分
由韦达定理，得，
所以． 9分
点M到直线l的距离， 10分
所以． 11分
因为．
所以当且仅当，即（适合）时，面积的最大值为． 12分
21．解：（1）当时，，则． 1分
当时，；当时，，
所以在上为增函数．在上为减函数． 3分
所以是的极大值点，也是的最大值点，且，
故当时，． 4分
（2）法一：的定义域为，， 5分
当，即时，在上单调递增，
所以最多有一个零点，不合题意； 6分
当，即时，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，
且． 8分
（ⅰ）若，即时，，所以最多有一个零点，不合题意； 9分
（ⅱ）若，即时，．
一方面，，则，且，
所以在上有一个零点； 10分
另一方面，由（1）得，即，即，
所以；
又时，，
所以在上有一个零点，
综上所述，当时，有两个零点． 11分
故k的取值范围是． 12分
法二：有两个零点，即有两个不相等的实根，
等价转化为，即的图象与直线有两个交点， 7分
而，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减， 8分
所以，由此作出的图象（如图所示）．
当时，；即时，， 10分
所以，即．所以k的取值范围为． 12分
注意：因为法二运用了数形结合，建议扣三分．
22．（1）解：将直线l的参数方程化为普通方程，得，
所以直线l的极坐标方程为；
将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得，
所以圆C的极坐标方程为． 4分
由原点O在圆C的内部，得，解得，
故a的取值范围是． 6分
（2）证明：将代入，得．
则， 8分
所以，
故为定值． 10分
23．解（1） 1分
当时，不等式变为，解得； 2分
当时，不等式变为，无解； 3分
当时，不等式变为，解得． 4分
故不等式的解集为． 5分
（2）由（1）知的最小值为3，所以，则， 6分
， 8分
当且仅当即时，等号成立， 9分
所以的最小值为． 10分