如东县2021-2022学年高三上学期期末学情检测
数 学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含[单选题(1~8)多选题9~12，填空题(第13题~第16题，共80分)、解答题(第17~22题，共70分)]．本次考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置．
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效．
4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝0}，则
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C． D．
2．已知复数z满足，则z＝
A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i
3．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”．古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是
A． B． C． D．
4．已知A，B是圆0的一条直径，则
A．0 B．19 C． D．1
5．某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为
A．20m B．10m C．m D．m
6．已知函数，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是
A．(1，＋∞) B． C． D．(－∞，1)
7．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且，若F1关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．已知三棱锥P－ABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，则三棱锥P－ABC体积的最大值是
A． B． C．24π D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则
A．若m∥n，nα，则m∥α B．若m⊥n，nα，则m⊥α
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
10．记椭圆C1：与椭圆C2：内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上任意一点，则
A．椭圆C1与椭圆C2的离心率相等
B．曲线C关于y＝±x对称
C．P到点(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距离之和为定值
D．P到原点的距离的最大值为
11．正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号获得广泛应用．已知某个信号的波形可以表示为f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x．则
A．f(x)的最大值为3 B．π是f(x)的一个周期
C．f(x)的图像关于(π，0)对称 D．f(x)在区间上单调递增
12．若不相等正数a，b，满足aa＝bb，则
A．a＞1 B．b＜1
C． D．(n∈N*)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．已知(－)n的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数之和为 ．
14．写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝ ．
15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α，当平面α过点B1时，平面α截此正方体所得截面多边形的面积为 ；当平面α过线段BC中点时，平面α截此正方体所得截面多边形的周长为 ．
16．函数有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x2x3的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)判断△ABC的形状；
(2)在(1)的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a1＝2，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列{}的前n项和．
19．(本小题满分12分)
大气污染物PM2.5(大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康．为了研究PM2.5的浓度受汽车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度(单位：μg/m3)得到的数据如下表所示：
监测点编号 1 2 3 4 5
汽车流量 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9
PM2.5浓度 66 72 113 34 35
根据以上信息，完成下列问题：
(1)建立PM2.5的浓度关于汽车流量的一元线性回归模型；
(2)我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24h平均浓度为75μg/m3，该地为使PM2.5 24h平均浓度不超过68.6，拟对汽车流量作适当控制请你根据本题数据估计汽车流量控制的最大值；
(3)从5个监测点中抽取3个，记PM2.5平均浓度不超过68.6的个数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：＝＝，＝－．
20．(本小题镇分12分)
在四棱锥A－BCDE中，直线AB⊥平面BCDE，底面BCDE是梯形，BC∥DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点．
(1)证明：AE⊥CE；
(2)若平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(，b)都在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1∥BF2．证明：为定值．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex(x－lnx)＋mx(m∈R)．
(1)若m＝0，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)≥0，求m的取值范围．
高三数学试题2021－2022学年度第一学期期末学期检测
高 三 数 学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4页，包含[单选题(1~8)多选题 9~12，填空题(第 13题~第 16题，共 80分)、解
答题(第 17~22题，共 70分)]．本次考试时间 120分钟，满分 150分，考试结束后，请将答
题卡交回．
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5毫米的黑色
签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置．
3．答题时请用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律
无效．
4．如有作图需要，可用 2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2．已知集合 A＝{x|log2(x－1)＜0}，B＝{x|x －3x－4＜0}，则
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C．( RA)∩B＝B D．A∩(CRB)＝A
2 2021 2022 2023．已知复数 z满足zi ＝4i －3i ，则 z＝
A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i
3．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”．古
人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取“两行”，则取出
的“两行”相生的概率是
A 1 1 1 1． B． C． D．
2 3 4 5
高三数学试题 第 1 页 (共 14 页)
4 A B x2 y2
→ →
．已知 ， 是圆 ＋ －8x－4y＋19＝0的一条直径，则OA·OB＝
A．0 B．19 C． 19 D．1
5．某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高 AB，先在旗杆底端的正西方点 C处
测得杆顶的仰角为 45°，然后从点 C处沿南偏东 30°方向前进 20m 到达点 D处，在 D处测
得杆顶的仰角为 30°，则旗杆的高为
A．20m B 10 3．10m C．10 3m D． m
3
高三数学试题 第 2 页 (共 14 页)
6．已知函数f(x)＝ex－e－x 2＋ln( x ＋1＋x)，则不等式 f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是
A (1 ∞) B 1 1． ，＋ ．( ，＋∞) C．(－∞， ) D．(－∞，1)
3 3
2 2
7 x y π．已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠FPF
a2 b2 2
＝ ，
3
若 F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆 C上，则该椭圆的离心率为
A 2 B 3 C 1 D 1． ． ． ．
2 3 2 3
8．已知三棱锥 P－ABC的外接球半径为 4，底面 ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，则三棱锥
P－ABC体积的最大值是
A 16 3＋24．18 3 B．54 3 C．24π D．
3
高三数学试题 第 3 页 (共 14 页)
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则
A．若 m∥n，n α，则 m∥α B．若 m⊥n，n α，则 m⊥α
C．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m∥α，m∥β，α∩β＝n，则 m∥n
10 x
2 y2 y2 x2
．记椭圆 C1： ＋ ＝1与椭圆 C2： ＋ ＝1内部重叠区域的边界为曲线 C，P是曲线 C
4 3 4 3
上任意一点，则
A．椭圆 C1与椭圆 C2的离心率相等
B．曲线 C关于 y＝±x对称
C．P到点(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距离之和为定值
D 2 42．P到原点的距离的最大值为
7
高三数学试题 第 4 页 (共 14 页)
11．正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而
得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型
信号或测试信号获得广泛应用．已知某个信号的波形可以表示为 f(x)＝sinx＋sin2x＋sin3x．则
A．f(x)的最大值为 3 B．π是 f(x)的一个周期
C f(x) (π 0) D f(x) (0 π． 的图像关于 ， 对称 ． 在区间 ， )上单调递增
2
12．若不相等正数 a，b，满足 aa＝bb，则
A．a＞1 B．b＜1
n＋1 n＋2 n＋2
C 2． D．(n＋1) n ＞( )n＋1(n∈N*)
e n n＋1
高三数学试题 第 5 页 (共 14 页)
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分。
高三数学试题 第 6 页 (共 14 页)
13．已知( x 3－ )n的展开式中第 3项为常数项，则这个展开式中各项系数之和为 ．
x
14．写出一个满足 tan20°＋4cosθ＝ 3的θ＝ ．
15．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，AC1⊥平面α，当平面α过点 B1时，平面α截
此正方体所得截面多边形的面积为 ；当平面α过线段 BC中点时，平面α截此正方
体所得截面多边形的周长为 ．
高三数学试题 第 7 页 (共 14 页)
2x－t，x≥0，
16．函数f(x)＝ x2 4x t x t有三个零点 x1，x2，x3，且 x1＜x2＜x3，则 x1x2x3的取值范－ － － ， ＜
围是 ．
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
a b a2 b2
在① ＝ ；② ＝ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
cosA cosB tanA tanB
已知在锐角△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， ．
(1)判断△ABC的形状；
(2) 5在(1)的条件下，若cosA＝ ，b＝10，AD为 BC边上的中线，求 AD的长．
5
【解析】
高三数学试题 第 8 页 (共 14 页)
18．(本小题满分 12分)
已知数列{an}的各项均为正数，其前 n页和为 Sn，且 a1＝2，log2an＋1＝log2(an＋1)＋1．
(1)证明：数列{an＋2}是等比数列；
2n＋2(2) －2求数列{ }的前 n项和．
SnSn＋1
【解析】
高三数学试题 第 9 页 (共 14 页)
19．(本小题满分 12分)
大气污染物 PM2.5(大气中直径小于或等于 2.5μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影
响人的身体健康．为了研究 PM2.5 的浓度受汽车流量影响的程度，某校数学建模社团选择
了学校附近 5个监测点，统计每个监测点 24h内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空
相同的高度测定每个监测点该时间段内的 PM2.5的平均浓度(单位：μg/m3)得到的数据如下
表所示：
监测点编号 1 2 3 4 5
汽车流量 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9
PM2.5浓度 66 72 113 34 35
根据以上信息，完成下列问题：
(1)建立 PM2.5的浓度关于汽车流量的一元线性回归模型；
(2)我国规定空气中 PM2.5的浓度安全标准为 24h平均浓度为 75μg/m3，该地为使 PM2.5 24h
平均浓度不超过 68.6，拟对汽车流量作适当控制请你根据本题数据估计汽车流量控制的最大
值；
(3)从 5个监测点中抽取 3个，记 PM2.5平均浓度不超过 68.6的个数为 X，求 X的分布列和
数学期望．
n n n nn x i yi xi yi xi x yi y
参考公式： b i 1 i 1 i 1 ＝ 2 ＝
i 1
n ， a＝ y－ b x ．n n
n x 2 x x x
2
i i i
i 1 i 1 i 1
【解析】
高三数学试题 第 10 页 (共 14 页)
20．(本小题镇分 12分)
在四棱锥 A－BCDE中，直线 AB⊥平面 BCDE，底面 BCDE是梯形，BC∥DE，BC⊥CD，
CD 1＝ DE＝BC＝2，F是边 BC的中点．
2
(1)证明：AE⊥CE；
(2)若平面 ADF与平面 ABE所成二面角为 45°，求直线 AD与平面 ABE所成角的正弦值．
【解析】
高三数学试题 第 11 页 (共 14 页)
21．(本小题满分 12分)
2 2
在平面直角坐标系 xOy x y中，已知双曲线 C： － ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为 F1(－c，
a2 b2
0)，F2(c，0)，离心率为 e，且点(e，3)，( 2，b)都在双曲线 C上．
(1)求双曲线 C的标准方程；
(2) 1 1若 A，B是双曲线 C上位于 x轴上方的两点，且 AF1∥BF2．证明： ＋ 为定值．
AF1 BF2
【解析】
高三数学试题 第 12 页 (共 14 页)
高三数学试题 第 13 页 (共 14 页)
22．(本小题满分 12分)
已知函数 f(x)＝ex(x－lnx)＋mx(m∈R)．
(1)若 m＝0，求函数 f(x)在 x＝1处的切线方程；
(2)若 f(x)≥0，求 m的取值范围．
【解析】
高三数学试题 第 14 页 (共 14 页)
