2021-2022学年湖南省永州市新田县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A．（x﹣1）2＝16 B．3（x﹣2）2＝27 C．5x2﹣3x＝0 D．x2+2x＝8
2．若反比例函数y的图象上有两个点A（﹣1，m），B（，n），那么m、n大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
3．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．各有一角是70°的两个等腰三角形
B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形
D．任意两个菱形
4．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．没有变化
C．缩小为原来的 D．不能确定
5．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．下列线段（单位：cm）成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．1，2，2，4 D．3，5，6，9
7．两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
8．边长为2的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y与y的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．sinB B．sinB C．sinB D．sinB
10．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（ ）
A．位似中心是点B，相似比是2：1
B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．己知反比例函数y的图象经过点（1，2），则k的值为 ．
12．反比例函数y与正比例函数y＝2x的图象的一个交点为（2，4），则另一个交点为 ．
13．甲、乙、丙三位选手各10次射击，成绩的平均数均为93环，方差依次分别为0.026、0.015、0.032．则射击成绩最稳定的选手是 （填“甲”、“乙”“丙”中的一个）．
14．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA，则sinB＝ ．
15．在△ABC中，若∠A，∠B满足|sinA|+（cosB）2＝0，则△ABC是 三角形．
16．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1：，堤坝BC高为40m，则迎水坡面AB的长度是 ．
17．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为 .（用一般式表示）
18．庄子说：“一尺之推，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C2⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1 n、…．假设AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明或解答过程）
19．计算：
2sin45°．
20．先化简，再求值．，其中X是方程x2﹣5x+6＝0的根．
21．亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．
类别 时间t（小时） 人数
A t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 20
C 1＜t≤1.5 a
D 1.5＜t≤2 30
E t＞2 10
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？
（4）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．
22．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，EF∥BC，分别交AB、AC、AD于点E、F、G．
求证：EG＝FG．
23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．如图，A，B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：1.732，1.414）．
25．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点G，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标．
26．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠PCB＝∠ABC，则△BCP∽△ABG，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2所示，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3所示，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．2021年下期期末监测答案
九年级数学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B C C D A C C
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. __1__, 12. （-2、-4） , 13.乙 , 14. ,
15.等边三角形 , 16. 80米 , 17.
18.
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明或解答过程）
19.（本题8分）计算：
解：原式=1-+3+ （4分）
=1+3 （6分）
=4 （8分）
20．（本题8分）先化简，再求值．
，其中是方程的根．
解：原式＝ ＝，( 2分)
方程x2﹣5x+6＝0，变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，（ 4分)
解得：x＝2（舍去）或x＝3，(6分)
当x＝3时，原式＝．(8分)
21．（本题8分）
【解答】∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ Δ＝（2b）2－4×（a+c）（a–c）＝0 （2分）
∴，（4分）
∴， （6分）
∴△ABC是直角三角形.（8分）
22．（本题10分）证明：∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，(2分)
∴＝，＝，(6分)
∴＝，(8分)
∵AD为△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∴EG＝FG．(10分)
23．（本小题满分10分）
【答案】不会穿越保护区
【解析】过点P作PC⊥AB，C是垂足.
则
∵AC+BC=AB，
∴ （6分）
∴
∴
所以计划修的这条路不会穿越保护区.（10分）
24.（本题10分）解：（1）a＝100﹣（5+20+30+10）＝35．(2分)
故答案为35；
（2）补全条形统计图如下所示：(4分)
（3）根据中位数的定义可知，这组数据的中位数落在C类别，所以小王每天进行体育锻炼的时间范围是1＜t≤1.5；(7分)
（4）30×＝22.5（万人）．
即估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数是22.5万人．(10分)
25.(本题12分)
【解析】（1）∵直线y=-x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，
∴-a+2=3，-3+2=b，
∴a =-1，b =-1，（3分）
∴A（-1，3），B（3，-1），
∵点A（-1，3）在反比例函数y =上，
∴k =-1×3=-3，
∴反比例函数解析式为y =．（6分）
（2）设点P（n，-n+2），
∵A（-1，3）， ∴C（-1，0），
∵B（3，-1）， ∴D（3，0），
∴S△ACP=AC×|xP xA|=×3×|n+1|，
S△BDP=BD×|xB xP|=×1×|3 n|，
∵S△ACP=S△BDP， ∴×3×|n+1|=×1×|3 n|，
∴n=0或n= 3，
∴P（0，2）或（ 3，5）．（12分）
26.(本题12分)
答案】（1）P（，）；
（2）（1，）或（2，）；
（3）存在, M（，3），N（，0）．
【解答】解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，
∴△NOP∽△MON， ∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=，
∴∠AON=60°，
∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），
∴∠MNO=90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO=∠MNO=90°，
在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，
∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP sin60°=×=，
∴P（，）； （4分）
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），
∴OM==2，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO=PN，OQ=ON=1，
∵P的横坐标为1，
∴y =×1=，∴P（1，）； （6分）
②如图4所示：
由勾股定理得：MN==2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM ∽△NOM，
∴，即，
解得：PN=，
即P的纵坐标为，代入y=得：=x，
解得：x=2，
∴P（2，）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）； （8分）
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2，0）；
理由如下：
∵M（，3），N（2，0），
∴OM=2=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点． （12分）
