2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元达标测试（Ｗord版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF的周长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．不能确定
2．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．等腰三角形中一个角是84°，则底角为多少度（　　）
A．48° B．48°或12°
C．48°或84° D．12°或48°或84°
4．点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P应是△ABC的三条（　　）的交点．
A．高 B．角平分线
C．中线 D．边的垂直平分线
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若BD＝6，则CP的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或6cm
7．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
8．若三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足PA＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无法确定
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是　 　．
10．已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点 D，交AC于点 E，AC＝8cm，△ABE的周长为15cm，则AB的长是　 　．
11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A＝30°，DE＝2，∠DBC的度数为　 　，CD的长为　 　．
14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
15．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分45分）
16．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．
（1）直接写出∠ADB的度数是　 　；
（2）求证：BD＝AB；
（3）若AB＝2，求BC的长．
17．（1）如图1，求作一点P，使P到两条直线的距离相等，且使PA＝PB；（保留作图痕迹）
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点M、N在边BC上，且AM＝AN，试判断BM和CN的大小关系，并说明理由．
18．如图所示，AC平分∠DAB，AB＞AD，CB＝CD，CE⊥AB于E，
（1）求证：AB＝AD+2EB；
（2）若AD＝9，AB＝21，BC＝10，求AC的长．
19．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
21．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
则△AEF的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝8，
故选：C．
2．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，DE＝5，
∴AC＝2DE＝10．
∵AD＝6，
∴CD＝＝＝8．
故选：D．
3．解：（1）当84°是顶角时，底角＝（180°﹣84°）÷2＝48°；
（2）84°是底角时．
故底角为48°或84°．
故选：C．
4．解：点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P应是△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：D．
5．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∵P点是BD的中点，
∴CP＝BD＝3，
故选：A．
6．解：当3cm是等腰三角形的腰时，底边长＝12﹣3×2＝6cm，
∵3+3＝6，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
当3cm是等腰三角形的底边时，腰长＝＝4.5cm．
∴底为3cm，
故选：A．
7．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
8．解：到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，
到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，
到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，
而三角形三边的垂直平分线交于一点．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4．
故答案为：4．
10．解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，
∵AC＝8cm，△ABE的周长为15cm，
∴AB+8＝15，
解得AB＝7cm，
故答案为：7cm．
11．解：作PE⊥OA于E，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°，
∵PC∥OB，
∴∠POD＝∠OPC，
∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝4，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝4，
故答案为：4．
12．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
13．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ADB是等腰三角形，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴Rt△CDB≌Rt△DEB，
∴CD＝DE＝2．
故答案为：30°，2．
14．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
15．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，
∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，
∴IE＝IF＝IH，
则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，
解得，IH＝2，
故答案为：2
三．解答题（共7小题，满分45分）
16．解：（1）∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°
故答案为75°．
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵∠ADB＝75°，
∴∠A＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝DB．
（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝∠DFC＝90°，
∵∠DBF＝30°，
∴DF＝BD，
∵BD＝AB＝2，
∴DF＝1，
∴FB＝，
∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴FD＝FC＝1，
∴BC＝．
17．解：①
②BM＝CN．
过点A作AP⊥BC于P，
∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝CP，
又∵AM＝AN，AP⊥MN，
∴PM＝PN，
∴BP﹣MP＝CP﹣NP．
即BM＝CN．
18．（1）证明：延长线段AD，过C作CF⊥AD交AD得延长线于F，
∵AC为∠DAE的平分线，CE⊥AB，CF⊥AF，
∴CE＝CF，
在Rt△CFD和Rt△CEB中
，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴FD＝EB，
又在Rt△CFA和Rt△CEA中
，
∴Rt△CFA≌Rt△CEA（HL），
∴AF＝AE，
则AB＝AE+EB＝AF+EB＝AD+DF+EB＝AD+2EB；
（2）解：∵AD＝9，AB＝21，
由（1）得AB＝AD+2EB，代入得9+2EB＝21，
解得EB＝6，
∴AE＝AB﹣EB＝21﹣6＝15，
又∵BC＝10，
在Rt△CEB中，根据勾股定理得：
CE＝＝8，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：
AC＝＝17．
19．证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣BE＝EF﹣BE．
即：CE＝BF．
20．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
21．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
22．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．