2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明自主提升训练(Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4-5相似三角形判定定理的证明》
自主提升训练（附答案）
1．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：
①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；
其中正确结论的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF＝CD；②G为AD中点；③△DCF∽△AGF；④＝，其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①BH垂直平分AE；②AH＝DF；③DF＝DE；④∠AEF＝45°；⑤S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
5．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M则下列结论①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM；④AM＝MF，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，ED，连接CO并延长交AD于点M，则下列结论中：①FG＝2AO；②HE＝5BH；③OD⊥CM；④OD∥HE；⑤；⑥2DE2＝AH DE；⑦GO+BH＝HC．正确的结论的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在正方形ABCD中，△ABF和△BCE是等边三角形，边AF与CE交于点H，BE的延长线交AD于点P，AF的延长线交CD于点G，连接DH．给出下列结论：
①AE＝DH；
②4S△AEB＝S正方形ABCD；
③DH2＝HF AD；
④5EP＝3EH．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
8．如图所示，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N，下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③＝；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
9．如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．给出以下结论：①△AED≌△BFA；②DE﹣BF＝EF；③△BGF∽△DAE；④DE﹣BG＝FG．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF；⑤若点F是DC的中点，则CE＝CB，其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝2，BC＝3，则的最小值为 　 　．
13．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 　 　．
14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　 　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　 　；
（2）EF长的最小值为 　 　．
16．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD＝DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是 　 　．
17．如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线EF分别交边AB，AC于点E，F．当CD＝2BD时，的值为 　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF BH，FG＝，则S四边形EFKC＝　 　．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为　 　．
20．已知AC，EC分别是矩形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，且＝k，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝2，AE＝4，CE＝6，求k的值．
参考答案
1．解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，
∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，
∵CG⊥DE，
∴∠CDG+∠GCD＝90°，
∴∠BCN＝∠CDG，
∴△NBC≌△ECD（ASA），
∴DE＝CN，
故①正确；
②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△NBH∽△CDH，
∴＝，
∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，
∴NB＝BC＝CD，
∴＝＝，
故②正确；
③如下图所示，过H点作IJ∥AD，
∵△NBH∽△CDH，
∴I③J＝HJ，
∴HI＝IJ＝DC，
∴S△DEC＝EC DC，S△BNH＝BN HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），
∴S△DEC＝3 S△BNH，
故③正确；
④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，
∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NBP＝∠QBE，
由①得△NBC≌△ECD，
∴EC＝BN，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴BE＝BN，
∵∠BPN＝∠BQE＝90°，
∴△BPN≌△BQE（AAS），
∴BP＝BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE＝45°，
故④正确；
⑤如图所示，连接N，E，
设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，
∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，
∴CN＝＝＝，
EN＝＝＝，
由△ECN面积可得CN GE＝EC BN，
∴GE＝，
∴GN＝＝，
∴GN+GE＝+＝，
∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△NGB∽△CGF，
∴，
∴BG＝FG，
∴BG＝BF，FC＝BN＝x，
∴BG＝×＝，
∴GN+GE＝BG，
故⑤正确；
综上所述，故选：D．
2．解：如图，作CM⊥DF于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCM＝90°，
∴∠ADF＝∠DCM，
∵DF⊥AE，CM⊥DF，
∴∠AFD＝∠CMD＝90°，
∴△DAF≌△CDM，
∴CM＝DF，DM＝AF，
∵∠ADF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∵BE＝CE，
∴AB＝2BE，
∴tan∠BAE＝tan∠ADF＝＝，
∴＝，
∴DM＝MF，∵CM⊥DF，
∴CD＝CF，故①正确，
∴∠CDF＝∠CFD，
∵∠CDG＝∠CFG＝90°，
∴∠GFD＝∠GDF，
∴GF＝GD，
∵∠GDF+∠DAF＝90°，∠GFD+∠AFG＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴GF＝GA，
∴GD＝GA，
∴G是AD中点，故②正确，
∵∠AFD＝∠GFC，
∴∠AFG＝∠CFD，∠GAF＝∠CDF，
∴△DCF∽△AGF，故③正确，
设AF＝a，则DF＝2a，AB＝a，BE＝a，
∴AE＝a，EF＝a，
∴＝，故④正确，
故选：D．
3．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，故①正确；
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，故②正确；
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故④正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，故③正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故⑤错误，
∴正确的是①②③④，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF；故①正确；
∵AB∥CD，
∴＝，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AN＝AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，
∵∠DCE＝∠DCM，∠CDE＝∠CMD＝90°，
∴△CMD∽△CDE，
∵∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠HCG＝90°，
∴∠DEC＝∠HCG，
又∵∠CDE＝∠CHG＝90°，
∴△GHC∽△CDE，由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，
∴CH＝MH＝CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确，
（补充方法：延长MF交CG的延长线于T，证明CG＝GT，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题）
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴＝＝，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误，
故选：C．
5．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝∴BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠AME＝∠ADE+∠DAM＝90°，
故①正确；
（2）设AF与BD交于点N，正方形ABCD的边长为4，
则AE＝BE＝BF＝2，
∴DE＝AF＝＝2，
∵AD∥BF，
∴△BFN∽△DAN，
∴＝＝，
∴FN＝，AN＝，
∵S△AED＝AD AE＝DE AM，
∴AM＝＝＝，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM≠MN，
若∠BAF＝∠EDB，
则∠ADE＝∠EDB，
又∵DM＝DM，∠DMA＝∠DMN＝90°，
∴△DAM≌△DNM（ASA），
∴AM＝MN，
不符合题意，
故②错误；
（3）由（1）知，∠BAF＝∠ADE，
又∵∠AME＝∠EAD＝∠AMD＝90°，
∴△AME∽△DMA∽△DAE，
∴＝＝＝，
∴AM＝2EM，DM＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，
故③正确；
（4）由（2）知AM＝，MN＝，FN＝，
∴MF＝MN+FN＝+＝，
∴＝，
故④正确；
故选：B．
6．解：①如图，过G作GK⊥AD于K，
∴∠GKF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝90°，AD＝AB＝GK，
∴∠ADE＝∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF＝∠OAF+∠AFO＝90°，
∵∠OAF+∠AED＝90°，
∴∠AFO＝∠AED，
∴△ADE≌△GKF（AAS），
∴FG＝AE，
∵FH是AE的中垂线，
∴AE＝2AO，
∴FG＝2AO，
故①正确；
②∵tan∠DAE＝tan∠AHO＝＝＝，
设OF＝x，AO＝2x，
∴AE＝FG＝OH＝4x，
∴FH＝5x，
∴HG＝x，
∴AH＝HE＝＝2x，
∵△HBG∽△HOA，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝x，
∴＝＝5，
∴EH＝5BH，故②正确；
③延长DO交AB于P，则OD＝OP，
∴AE＝PD，
∴Rt△ADE≌Rt△PDA（HL），
∴AP＝DE，
∴AP＝PB，
∴△ADP≌△BCP（SAS），
∴PD＝PC，
∵PC＞BC，
∴PC＞CD，
∵PO＝DO，
∴OD不垂直于CM，故③错误；
④∵FH是AE的中垂线，
∴AH＝EH，
∴∠HAE＝∠HEA，
∵AB∥CD，
∴∠HAE＝∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中点，
∴OD＝AE＝OE，
∴∠ODE＝∠AED，
∴∠HEA＝∠AED＝∠ODE，
当∠DOE＝∠HEA时，OD∥HE，
但AE＞AD，即AE＞CD，
∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD与HE不平行，
故④不正确；
⑤设正方形ABCD的边长为2x，则AD＝AB＝2x，DE＝EC＝x，
∴AE＝x，AO＝x，
易得△ADE∽△HOA，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝x，
Rt△AHO中，由勾股定理得：AH＝＝，
∴BH＝AH﹣AB＝﹣2x＝，
∴＝，
延长CM、BA交于R，
∵RA∥CE，
∴∠ARO＝∠ECO，
∵AO＝EO，∠ROA＝∠COE，
∴△ARO≌△ECO（，
∴AR＝CE，
∵AR∥CD，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故⑤正确；
⑥由①知：∠HAE＝∠AEH＝∠OED＝∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∴＝，
∵AE＝2DE，OD＝DE，
∴DE 2DE＝AH DE，
∴2DE2＝AH DE，
故⑥正确；
⑦由⑤知：HC＝＝x，
∵AE＝2AO＝OH＝x，
tan∠EAD＝＝＝，
∵AO＝，
∴OF＝x，
∵FG＝AE＝x，
∴OG＝x﹣x＝x，
∴OG+BH＝x+x，
∴OG+BH≠HC，
故⑦不正确；
本题正确的有；①②⑤⑥，4个，
故选：B．
7．解：①连接AC，与BE交于点Q，如图1，
∵AB＝BC，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAH＝∠BCH＝60°，
∴∠CAH＝∠ACH，
∴HA＝HC，
∵DA＝DC，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SSS），
∴∠ADH＝∠CDH＝∠ADC＝，
∴∠BAQ＝∠CDH，
∵∠ABQ＝∠DCH＝90°﹣60°＝30°，AB＝DC，
∴△ABQ≌△DCH（AAS），
∴AQ＝DH，
∵AB＝BC＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝∠EAB＝75°，
∵∠AQE＝∠ABQ+∠BAQ＝30°+45°＝75°，
∴AQ＝AE，
∴AE＝DH，
故①正确；
②设AF与BE交于点M，如图2，
∵∠BAF＝60°，∠ABM＝30°，
∴∠AMB＝90°，
∴AM＝AB，
∴，
∵，
∴4S△AEB＝S正方形ABCD，
故②正确；
③过点H作HN⊥CD于点N，如图3，
设HN＝a，
∵∠CDH＝45°，
∴DN＝HN＝a，
∵∠HCN＝30°，
∴CH＝2HN＝2a，CN＝HN＝a，
∵AH＝CH，AF＝AB＝CD，
∴AH＝2a，AF＝（+1）a，
∴HF＝AF﹣AH＝（﹣1）a，
∴HF AD＝（﹣1）a （+1）a＝2a2，
∵，
∴DH2＝2a2，
∴DH2＝HF AD，
故③正确；
④由③知，EH＝CE﹣CH＝（+1）a﹣2a＝（）a，
∴3EH＝（3﹣3）a，
∵AB＝（+1）a，∠ABP＝30°，
∴BP＝＝，
∴EP＝BP﹣BE＝﹣（+1）a＝a，
∴5EP＝a，
∴5EP≠3EH，
故④错误；
故选：B．
8．解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴BF＝CG，
∵在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG，
∴∠BAF＝∠CBG，
∵∠BAF+∠BFA＝90°，
∴∠CBG+∠BFA＝90°，即AF⊥BG；①正确；
②∵在△BNF和△BCG中，∠CBG＝∠NBF，∠BCG＝∠BNF＝90°，
∴△BNF∽△BCG，∴＝＝，
∴BN＝NF；②错误；
③作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，
AF＝＝，
∵S△ABF＝AF BN＝AB BF，
∴BN＝，NF＝BN＝，
∴AN＝AF﹣NF＝，
∵E是BF中点，
∴EH是△BFN的中位线，
∴EH＝，NH＝，BN∥EH，
∴AH＝，＝，解得：MN＝，
∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，
∴＝；③正确；
④连接AG，FG，根据③中结论，
则NG＝BG﹣BN＝，
∵S四边形CGNF＝S△CFG+S△GNF＝CG CF+NF NG＝1+＝，
S四边形ANGD＝S△ANG+S△ADG＝AN GN+AD DG＝+＝，
∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AED＝∠DEF＝∠BFE＝90°，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
∴△AED≌△BFA（AAS）；故①正确；
∴DE＝AF，AE＝BF，
∴DE﹣BF＝AF﹣AE＝EF，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BGF，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠GFB＝90°，
∴△BGF∽△DAE，故③正确；
∵DE，BG，FG没有等量关系，
故不能判定DE﹣BG＝FG正确．故④错误（也可以用排除法判断）；
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
③解法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∵E是BC的中点，
∴＝＝，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∵AB＝CD，
∴BF＝AB．
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确，
故选：D．
11．解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴＝，
∴＝，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于H，
∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF中，OC＝EF＝x，
△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝＝AO+OC，
∴1+x＝，
x＝2﹣，
∴＝＝，故③不正确，
③如图3，
∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故④正确，
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF＝CF＝a，AF＝a，
∵DF∥AB，
∴＝＝，
∴AN＝NE＝AF＝a，
∴AE＝AN＝a
∴BE＝＝＝a，
∴EC＝a＝BC，故⑤正确．
故选：C．
12．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DH⊥BC于点H，作FB⊥AB于B，FC⊥BC于C，BF与CF交于点F，
取BF的中点G，连接AG，CG，
在RtDBH中，
∵∠DBC＝45°，BD＝2，
∴DH＝BH＝2，
∵AD∥BC，
∴AE＝DH＝2，
∵∠ABF＝∠AEB＝∠BCF＝90°
∴∠ABE+∠FCB＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FBC，
∴△BAE∽△FBC，
∴＝＝，
设AB＝4x，则BF＝6x，
∴BG＝FG＝BF＝3x，
∴AG＝＝5x，
∴≥＝＝．
故答案为：．
13．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，
设BD＝a，
∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，
∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，
∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，
∴∠FED＝∠ACD＝45°，
∵∠BED＝45°，
∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，
∵DG⊥EF，DH⊥BE，
∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，
∴四边形DGEH是正方形，
∴DE＝DG＝3，DH∥EF，
∴DG＝DH＝3，
∵DH∥EF，
∴∠BDH＝∠DFG，
∴△BDH∽△DFG，
∴，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝4，
故答案为：4．
14．解：①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EN⊥AE，
∴∠AEN＝90°，
∴∠BEA+∠NEC＝90°，
∴∠BAE＝∠NEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴＝，
∴＝，
解得：CN＝；
故答案为：；
②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝．
故答案为：2或．
15．解：（1）如图，连接AF交BD于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAF＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBG，
∴∠ADB＝∠BAF，
∴△ABF∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴当AE＝1时，EF的长为；
故答案为：；
（2）如图，因为EF⊥AE，
所以当点F与点B重合时，EF长最小，
在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝＝，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAD＝∠AEF＝90°，
∵∠DBA＝∠AFE，
∴△DBA∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
故答案为：．
16．解：∵△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
①当点D位于C点左侧时，如图：
设直线l交BE于点M，
∵l∥BC，
∴，∠MGB＝∠ABC，
又∵四边形ABEF是正方形，且PD1＝D1E，
∴BE＝AB＝5，∠EBA＝90°，
即，
解得：BM＝，
∵∠MGB＝∠ABC，∠EBA＝∠ACB＝90°，
∴△GBM∽△BCA，
∴，
∴，
解得：GB＝，
∴AG＝AB﹣GB＝，
∵l∥BC，
∴△AGH∽△ABD1，
∴，
∵CD1＝1，
∴BD1＝BC﹣CD1＝3，
∴，
解得：GH＝；
②当点D位于C点右侧时，如图：
与①同理，此时CD2＝BC+CD1＝5，
∴，
解得：GH＝，
综上，GH的长为或，
故答案为：或．
17．解：如图，连接DE，DF，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠EAF＝∠EDF＝60°，
∴∠EDB+∠FDC＝120°，
∵∠EDB+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△EBD∽△DCF，
∴＝＝，
设BD＝x，则CD＝2x，BE＝y，
∴CF＝，
∴DE＝AE＝AB﹣BE＝3x﹣y，
∴DF＝AF＝AC﹣CF＝BC﹣CF＝3x﹣，
∴＝，
∴8x2＝5xy，
∴＝，
∴＝＝＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵CG＝3DG，
∴可以假设DG＝3a，CG＝9a，
则AB＝AD＝BC＝CD＝12a，
∴DG∥AB，
∴＝＝＝，
∴DH＝4a，GH＝5a，BH＝20a，
∵AE2＝BF BH，AE＝AB，
∴AB2＝BF BH，
∴＝，∵∠ABF＝∠ABH，
∴△ABF∽HBA，
∴∠AFB＝∠BAH＝90°，
∴AF＝＝a，BF＝a，
∴FG＝BH﹣BF﹣GH＝a，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠GDK＝90°，∠KEF+∠EKF＝90°，∠EKF＝∠GKD，
∴∠GDK＝∠GKD，
∴GD＝GK＝3a，
作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，
∵＝，
∴KM＝a，
∵△AFB≌△ANE，
∴EN＝BF＝a，
∴S四边形EFKC＝S△EFK+S△ECK
＝s△EFK+（S△CDE﹣S△CDK）
＝×a×a+（×12a×a﹣×12a×a）
＝a2，
∵FG＝a＝，
∴a＝，
∴S四边形EFKC＝，
故答案为．
19．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝2，BO＝1，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×CE，
∴4＝×CE，
∴CE＝，
∵∠OFC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠OCF，
∴△OCF∽△ACE，
∴，
∴CE＝2CF，
∴CF＝EF＝，
∴OF＝＝＝，
故答案为：．
20．（1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴∠ABC＝∠EFC＝90°，
∵＝k，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，∠ACB＝∠ECF，
∴＝，∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
（2）解：∵△CAE∽△CBF，
∴＝，
∵＝k，
∴AB＝kBC，
∴AC＝＝＝BC，
∴＝，
∴＝＝，
∵AE＝4，
∴BF＝，
∵∠CAE+∠CBE＝90°．∠CAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠CBE＝90°．
∴∠EBF＝90°，
∴EF2＝EB2+BF2＝22+＝4+，
∵＝k，
∴FC＝EF，
∴CE＝＝＝EF，
∴CE2＝（1+）（4+）＝36，
解得k＝±（负值舍去），
∴k＝．