2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件自主达标测评(Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4-4探索三角形相似的条件》
自主达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C
2．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（　　）
A．B．C．D．
4．依据下列条件不能判断△ABC和△DEF的相似是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°
B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm
C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm
D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm
5．如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（　　）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
6．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
7．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A．B．C．D．
8．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共6小题，满分24分）
9．在△ABC中，AB＝12，AC＝10，点D在边AC上，且AD＝5．若要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线DE交AB边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 　 　条．
11．如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝3，CD＝1，要使△ADB∽△ABC，则AB的长为 　 　．
12．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 　 　．
13．如图，△ABC是正三角形，D、E分别是BC、AC上的点，当∠ADE＝　 　时，△ABD∽△DCE．
14．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为　 　秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．
三．解答题（共8小题，满分56分）
15．如图，BD，CE是△ABC的高，连接DE．求证：△ADE∽△ABC．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD．
17．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
18．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
19．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
20．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：△AFG∽△ABC．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC的延长线上有一点D，CD＝BC，CE⊥BD于点C，交AD于点E，BE交AC于点F．求证：△BCF∽△DBA．
22．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：B．
2．解：如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．
则△ADP1∽△BCP1，△ADP2∽△BCP2，
取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则△ADP3∽△BCP3，
故选：B．
3．解：AB＝，BC＝，AC＝3，
A、∵ED＝，EF＝2，DF＝3，
∴＝＝，
∴△DEF与△ABC相似；
B、∵DE＝，EF＝1，DF＝2，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似；
C、∵DE＝，EF＝1，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似；
D、∵DE＝，EF＝2，DF＝，
∴≠≠，
∴△DEF与△ABC不相似．
故选：A．
4．解：A、∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，
∴∠C＝∠F，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DFE，故此选项不符合题意；
B、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠E，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不符合题意；
C、∵AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm，
∴＝且∠A＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
D、∵AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm，
∴＝，
∴△ABC∽△EFD，故此选项不合题意；
故选：C．
5．解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，
故选：C．
6．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
7．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴∠BEG＝45°，
∴∠BEA＞45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠HEC＜45°，
则HC＜EC，
∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中，
∵
∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
9．解：∵∠A是公共角，
∴当＝，即＝时，△ADE∽△ACB，
解得：AE＝6
当＝，即＝时，△ADE∽△ABC，
解得：AE＝，
故答案为：6或．
10．解：如图；
①作∠ADE＝∠B；②作DE′∥BC．
因此共有2种作法，
故答案为：2．
11．解：∵AD＝3，CD＝1，
∴AC＝4，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴当时，△ADB∽△ABC，
即，
∴AB＝2．
故答案为2．
12．解：若△AOB∽△DOC，点D在x轴上方：∠B＝∠OCD，
∴＝，即＝．
∴OD＝．
∴D（0，），
若△AOB∽△COD，点D在x轴上方：可得D（0，2）．
综上所述，D点的坐标是（0，）或（0，2）．
故答案是：（0，）或（0，2）．
13．解：当∠ADE＝60°时，△ABD∽△DCE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
14．解：①如图，当△PFE∽△EAD时，
可知此时PE⊥CD，
t＝DP＝1；
②如图，当△EFP∽△EAD时，
可知，此时F为DE中点，
EF＝DF＝DE＝，
∵＝＝，
即＝，
解得t＝DP＝，
综上所述，满足条件的t的值为1s或s．
故答案为：1或．
三．解答题（共8小题，满分56分）
15．证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
16．证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
17．证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
18．证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴．
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
19．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
20．证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴∠EDB＝∠CFA＝90°，
∴∠1+∠B＝∠2+∠AFG＝90°，且∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠B，且∠FAG＝∠GAB，
∴△AFG∽△ABC．
21．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC＝CD，EC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D，
∴△BCF∽△DBA．
22．（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD＝；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．