2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1 等腰三角形 同步练习题（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题（附答案）
1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（　　）
A．3 cm或5 cm B．3 cm或7 cm C．3 cm D．5 cm
2．在△ABC中，AB＝AC，点B，点C在直角坐标系中的坐标分别是（2，0），（﹣2，0），则点A的坐标可能是（　　）
A．（0，2） B．（0，0） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
3．如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OCE的度数不可能为（　　）
A．130° B．77.5° C．65° D．25°
5．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数可以是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．65°
6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（　　）
A．60° B．45° C．30° D．15°
7．如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），则A点的坐标是（　　）
A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）
8．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，下列结论：①DE＝DF；②D是AC的中点；③E是AB的中点；④AB＝BC+CD；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（　　）
A． B． C．D．
10．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、10cm，则该等腰三角形的周长为 　 　cm．
12．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为 　 　．
13．如图，在△ABC中．AB＝AC，∠B＝76°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交射线BC于点D，连接AD．则∠CAD的度数是 　 　°．
14．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝　 　cm．
15．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积是S，则图中阴影部分的面积是 　 　．
16．边长为6的等边三角形AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点B的坐标为 　 　．
17．如图，已知△ABC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD，AD＝AC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若∠BAD＝130°，求∠BDC的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
19．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度．
20．如图，在△ABC中，AB⊥BC，DE是边AC的垂直平分线，连接AE．
（1）若∠C＝20°，求∠BAE的度数．
（2）若∠C＝30°，BE＝4，求AE的长．
参考答案
1．解：①3cm是腰长时，底边＝13﹣3×3＝7cm，
此时，三角形的三边分别为3cm、3cm、7cm，
∵3+3＝6＜7，
∴不能组成三角形；
②3cm是底边时，腰长＝（13﹣3）＝5cm，
此时，三角形的三边分别为5cm、5cm、3cm，
能够组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底长为3cm．
故选：C．
2．解：由题意可知BO＝CO，
∵又AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴点A在y轴上，
∴A符合题意，B选项三点共线，
故选：A．
3．解：连接AF，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠D+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
∵E为AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝，
又∵∠D＝30°，
∴CF＝DF，
∴DF＝AF＝4．
故选：B．
4．解：∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝25°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝25°，
∴∠OEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣25°）＝77.5°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝25°；
综上，∠OEC的度数不可能为65°，
故选：C．
5．解：设等腰三角形的底角为x，则顶角为（180°﹣2x），
由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，
∴45°＜x＜60°，
∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，
故选：C．
6．解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：D．
7．解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图所示．
∵△AOB是等边三角形，B点的坐标是（3，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝OB＝，
在Rt△ACO中，OA＝3，OC＝，
∴AC＝＝＝，
∴点A的坐标为（，）．
故选：C．
8．解：①∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴DE＝DF，故①正确．
②因为∠A＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD，但BD≠CD，故②错误；
③∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，③正确；
∴④∵BD＝BC，AD＝BD，
∴AD＝BD＝BC，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AD+CD＝BC+CD，故④正确；
①③④正确．
故选：C．
9．解：A．是“奇妙三角形”，不合题意；
B．是“奇妙三角形”，不合题意；
C．不是“奇妙三角形”，符合题意；
D．是“奇妙三角形”，不合题意；
故选：C．
10．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝3，
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故选：C．
11．解：当等腰三角形的腰为5cm时，三边为5cm，5cm，10cm，5+5＝10，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为10cm时，三边为5cm，10cm，10cm，三边关系成立，周长为5+10+10＝25（cm）．
故答案为：25．
12．解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴S△ABC＝AC×BD＝×6×3＝9，
故答案为：9．
13．解：由题意可得，AC＝CD，
∵AB＝AC，∠B＝76°，
∴∠ACB＝∠B＝76°，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠ACB＝38°，
故答案为：38．
14．解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3cm．
∴BC＝6cm．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
15．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，BC＝2CD＝6cm，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影＝S△ABD，
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∴S阴影＝S．
故答案为：S．
16．解：过点A作AD⊥x轴于点D，
由等边三角形的三线合一定理可知：
OD＝OA＝3，
由勾股定理可知：BD＝＝3，
∴A（3，3）．
故答案为：（3，3）．
17．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AD＝AC，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵∠BAD＝130°，AB＝AD＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB＝25°，
∴∠DBC＝25°，
∴∠ABC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝50°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠BDC＝40°．
18．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）解：∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
19．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝3，
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
20．解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵DE是边AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠C＝20°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝70°﹣20°＝50°；
（2）∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵DE是边AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BEA＝∠EAC+C＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠BEA＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2BE＝8．