山东省烟台市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

烟台市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”否定为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（ ）（参考数据：）
A. 63dB B. 66dB C. 72dB D. 76dB
5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若直线将圆分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）
A. ﹣4 B. ﹣4或2 C. 2 D. ﹣2或4
8. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列命题成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 函数部分图象如图所示，则（ ）
A. 的值为2
B. 的值为
C. 是函数的一个增区间
D. 当时，取最大值
11. 已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 设点，则的最小值为4
C. 若A，B，F三点共线，则的最小值为2
D. 若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
12. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 棱上存在一点M，使得//平面
B. 直线到平面的距离为
C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在等差数列中，，则______．
14. 已知，，则的值为______．
15. 若是函数的极值点，则的极大值为______．
16. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠，在折叠过程中三棱锥体积的最大值为______，此时异面直线与CD所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．
（1）用分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．
（1）若M为BC中点，求证：；
（2）求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．
20. 已知椭圆的长轴长为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，过定点的直线与椭圆交于、两点（异于点、），试探究直线、的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
21. 已知数列满足，．
（1）记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前2n项和．
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上有零点，
①求a取值范围；
②求证：．
烟台市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学 答案版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
2. 命题“，”否定为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
答案 A
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
答案 C
4. 在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（ ）（参考数据：）
A. 63dB B. 66dB C. 72dB D. 76dB
答案 B
5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案 C
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
7. 若直线将圆分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）
A. ﹣4 B. ﹣4或2 C. 2 D. ﹣2或4
答案 D
8. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案 C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列命题成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
答案 ABD
10. 函数部分图象如图所示，则（ ）
A. 的值为2
B. 的值为
C. 是函数的一个增区间
D. 当时，取最大值
答案 AD
11. 已知抛物线C：的焦点为，点A，B为C上两个相异的动点，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程为
B. 设点，则的最小值为4
C. 若A，B，F三点共线，则的最小值为2
D. 若，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
答案 ABD
12. 如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 棱上存在一点M，使得//平面
B. 直线到平面的距离为
C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
答案 BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在等差数列中，，则______．
答案 2
14. 已知，，则的值为______．
答案
15. 若是函数的极值点，则的极大值为______．
答案 ##
16. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠，在折叠过程中三棱锥体积的最大值为______，此时异面直线与CD所成角的余弦值为______．
答案 ①. ②.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案 答案不唯一，具体见解析.
18. 如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．
（1）用分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
答案 （1）；
（2）
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．
（1）若M为BC中点，求证：；
（2）求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．
答案 （1）证明见解析
（2）
20. 已知椭圆的长轴长为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，过定点的直线与椭圆交于、两点（异于点、），试探究直线、的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
答案 （1）；
（2）直线、的交点的横坐标为定值.
21. 已知数列满足，．
（1）记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前2n项和．
答案 （1）证明见解析；，；
（2）.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上有零点，
①求a取值范围；
②求证：．
答案 （1）时，在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）① ；②证明见解析