第一学期高三年级期末考试
数学试卷(理科
或
时间:上午
说明:本试卷分第
分,答题时
取
选择题
符合题日要求的请将其字母标号填入下表相应
图象姓图
集
积
垂直于
的最小值为
数
域为R,且f(2x+1)是偶数,f
是奇函数,则下列命题正确
命题屮,正确的是
数
应写出文字说明,证明过程或
年第
期末考试
题
分
得分评卷
数学试卷(理科)
分别是△ABC内角
考生都必须做
求
考
注意事项
钢
卷
射线
「评卷人
题
题
印a为锐角
BCD中
余各
为6,则四面体
外接球的表面积
为
数
高三(埋)数学第
分评
第24屈冬奥会将在叶国北京
数
生中随机抽
是否喜
体
悄况进
卷
男生
关
动
按
愿者服务前期集训,且这
集
成为合格的冬奥
选取的3人中女牛人数为
其
里)数学.第
卷
卷
20.〔本小题满分12分
如图,已知四棱锥P-ABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD为等边二三角形,AB∥CD
已知函数f(x
单调
平
f(x)恒成立,求实数a的取值范围
面
平面BDM所成锐二面角的余弦
理)数学第
选考
第
中仁选一题做
果多做,则按所做的第
[得分泮卷人
本小题满分10分)【选修4-5】不等式选讲
分)【选修4-4】坐标系与参数方
在直角坐
线的参数方程
为参数
成立,求实数a的取值范闹
轴的正半轴为极轴,建立
曲线C的极坐标方程
B
页
21~2022学年第一学期高三年级期末考试
题
题区域内作答,超出黑色矩形边
请在各题目的答
域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学(理)答题
考试编
生禁
第「卷选择题(共60分
分
填空题(每小题5分
解答题
题(共60分
请在各
形边框
题
色矩
域的
请在各题目的答题
区域
请在各题
题区域
黑色炬形边框
域的答案无效
题目
定区域的答案无
请在各题目的答题区域内
黑色矩形边框跟
案无效
题目的
区域内
限定区诚的爷案无效
在各题
答题区域内作
出黑色矩形边框限定区域的
请在各题目
题
内
色矩形边框限定区域的答案无效2021-2022 学年第一学期高三年级期末考试
数学试题参考答案及评分标准（理科）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D C A D A C B A D D
二、填空题：
2
13. -40 14. 15. 52 16. 6
10
三、解答题：
17. 解（1）由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC b2 2b 4，……………………2 分
2b 1
又a 2， cosC ，……………………………………………………………5 分
2ab 2
0
所以C=60 . ………………………………………………………………6分
2 6
（2）sin B sin[ ( )] ，………………………………………………9 分
4 3 4
a b
由正弦定理得 , 解得b 3 1.…………………………………………12 分
sin A sin B
a (n 1) 2(a n)
18.解：（1）由条件可得 n 1 n ， ……………………………………4分
n 1 n
a
又 1
a
1 1，所以{ n 1}是首项为1，公比为 2 的等比数列. ………………………5 分
1 n
a n 2n 1 n . ………………………………………………………………………6分 n
（2） Sn 1 2 2 3 2
2 n 2n 1 (1 2 3 n)，
设 Tn 1 2 2 3 2
2 n 2n 1，
T 1 2 2 22 3 23则 2 n 2n ，………………………………………………8 分 n
n
两式相减，整理得 T (n 1) 2 1， ………………………………………………10 分 n
n2n n 2
所以 Sn (n 1)2 .………………………………………………………12 分
2
2 110 (100 300)
2
19. 解：(1)因为 K 7.486 6.635，…………………………3 分
60 50 80 30
所以有 99% 的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关. ………………………4 分
(2)根据分层抽样方法得，选取的 8人中，男生有 5 人，女生有 3 人. …………………5 分
由题意可知， X 的可能取值有 0，1，2，3. ………………………………………………6 分
C 3 10 C
2C1 30
P(X 0) 5 ; P(X 1) 5 3 ;
C 3 568 C
3 56
8
C1C 2 3
P(X 2) 5 3
15 C 1
; P(X 3) 3 .…………………………………10 分
C 3 568 C
3 56
8
∴ X 的分布列是：
X 0 1 2 3
10 30 15 1
P
56 56 56 56
10 30 15 1 9
所以： E(X ) 0 1 2 3 . ……………………………12 分
56 56 56 56 8
1
20. 证明（1）取 PD 的中点 N，连接 AN，MN，则MN ∥DC ,且MN = DC ,
2
1
又因为 AB∥DC， AB CD ，
2
所以 MN∥BA 且 MN=BA，
所以四边形 ABMN 是平行四边形，AN∥BM，…………………………………………2 分
因为△PAD 为等边三角形，N 为 PD 中点, 所以 AN⊥PD，
又CD 平面PAD ，所以 CD AN ，所以 AN 平面PCD ，………………4分
由 AN∥BM 得BM 平面PCD . ……………………………………………………5 分
（2）以 AD 中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
1 3
可得 A(1,0,0)， B(1,2,0)， D( 1,0,0)， P(0,0, 3)，M ( , 2, )
2 2
1 3
所以 PA (1,0, 3)， AB (0,2,0)， DB (2,2,0)， DM ( , 2, ) ，…7 分
2 2
设n x, y, z 是平面 PAB的一个法向量，
n1 AB 0, 2y 0,由 得 z
n PA 0, x 3z 0,1
P
所以可取n ( 3,0,1) ， ………………………9 分 M
N
设m 是平面 BDM 的一个法向量，
D
C
同理可取m (1, 1, 3)，………………………11 分
y
A B
3 3 15
则 cos m,n ，
4 5 5 x
15
故平面 PAB 与平面 BDM 所成锐二面角的余弦值为 ． ………………………12 分
5
1 1 2x2
21. 解：（1） f ' (x) 2x (x 0) ， ……………………………………2 分
x x
2 2
令 f ' (x) 0，则 x (0, ) ；令 f ' (x) 0 ，则 x ( , ) .
2 2
2 2
(0, ) 是 f (x) 的单调递增区间； ( ， ) 是 f (x) 的单调递减区间. ……………5 分
2 2
（2） g(x) af (x)在 x (0, ) 恒成立，
即 xex 1
1
x3 2x a(ln x x2 ) 在 x (0, ) 恒成立，
2
x 1 1 2 ln x即 e x 2x a( x)在 x (0, ) 恒成立，
2 x
x 1 1 2 h' (x) ex 1 x 1令 h(x) e x 2x ， x 2 ， h' ' (x) e 1 0 ，
2
y h' (x)在 (0, )上单调递增且h' (1) 0，
y h(x)在 (0,1) 单调递减，在 (1, )单调递增，
1
y h(x)在 x 1处取得最小值，即[h(x)]min h(1) ，……………………………………8 分
2
ln x 1 ln x x2
令 (x) x ' (x) ，
x x2
令 t(x) 1 ln x x
2
，
1
t ' (x) 2x 0 y t(x)在 (0, )单调递减，
x
又 t(1) 0 y (x)在 (0,1) 单调递增，在 (1, )单调递减，
[ (x)]max (1) 1，………………………………………………………………………………………………….11 分
1
要使 h(x) a (x)在 x (0, ) 恒成立，即a . ……………………………………………………12 分
2
22. [选修 4—4 坐标系与参数方程]
x cos 2
解：（1）由 得曲线的普通方程为 x 4y . ……………………………………………..4 分
y sin
（2）设 A, B两点对应的参数分别为 t1, t2 ,
x t cos
将 （ t 为参数）代入 x
2 4y得： t 2 cos2 4sin t 4 0，
y 1 t sin
4sin 4
由韦达定理得： t1 t2 , t1t2 ， ………………………………………………………..6 分
cos2 cos2
2
t t 2
16sin 16 4 4
1 2 (t1 t2 ) 4t1t2 ， t1t2 ，………..8 分
cos4 cos2 cos2 cos2
4
1 1 1 1 t 21 t2 t1 t2
cos 1.
MA MB t t 41 2 t1t2 t1t2
cos2
1 1
故 为定值1. ……………………………………………………………………………………………..10 分
MA MB
23. [选修 4—5 不等式选讲]（10 分）
解：（1）由 f (x) 6得
x 2 2 x 1 x 1
或 或 ，……………3 分
1 x x 2 x 6 1 x x 2 x 6 x 1 x 2 x 6
x 2 2 x 1 x 1 7
即 或 或 ， 解得 x 5，
3x 7 x 3 x 5 3
7
f (x) 6 的解集为{x | x 5}. …………………………………………………5 分
3
3x 1 (x 2),
（2） f (x) x 1 x 2 x 3 x ( 2 x 1), ………………………8 分
x 1 (x 1),
由 y f (x) 与 y g(x)的图象可知a 1或a 3. …………………………………10 分
