第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角

第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角
一、单选题
1．已知，则角所在的区间可能是（ ）．A． B． C． D．
2．终边落在轴上的角的集合是（　　）
A． B．
C． D．
3．钟的时针和分针一天内会重合（ ）
A．21次 B．22次 C．23次 D．24次
4．下列说法中正确的是
A．第一象限的角是锐角
B．锐角是第一象限的角
C．小于90°的角是锐角
D．第二象限的角必大于第一象限的角
5．是一个任意角，则的终边与的终边一定
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
6．将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像．若，且，则的最大值为.
A． B． C． D．
7．已知集合第二象限角，钝角，小于180°的角，则A，B，C关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第二象限 D．以上答案都不正确
9．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．与终边相同的角是
A． B． C． D．
11．与40°角终边相同的角是
A．， B．，
C．， D．，
12．已知，下列各角中与的终边在同一条直线上的是（ ）
A． B． C． D．
13．下列叙述正确的是(　　)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
14．与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列各组角中，终边相同的角是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
二、多选题
16．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
17．下列说法正确的有（ ）
A．与的终边相同
B．小于的角是锐角
C．若为第二象限角，则为第一象限角
D．若一扇形的中心角为，中心角所对的弦长为，则此扇形的面积为
三、双空题
18．直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于___________对称；角的终边与的终边关于___________对称.
四、填空题
19．角属于第________象限角.
20．与终边相同的角的集合是________.
21．设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有____________.（选填序号）
22．若角，则的终边在第___________象限．
23．写出在-360°到360°之间与-120°的角终边相同的角．
五、解答题
24．已知，且与的终边重合，求的值.
25．已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．
(1)设与相交于两点，求；
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．
26．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围．
27．如图，用弧度制分别写出下列条件下角的集合：
（1）终边在射线上；
（2）终边在直线上.
28．判断下列命题的真假：
（1）终边相同的角一定相等；
（2）第一象限角都是锐角；
（3）钝角是第二象限角；
（4）若是第一象限角，则也必定是第一象限角.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
先化简已知得，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案.
【详解】
由得，，
对于A， 当时，，，
而，，两个式子不可能相等，故错误；
对于B，当时，，， ，，，存在使得，故正确；
对于C， 时，，，，而，，不可能相等，所以错误；
对于D， 当时，，，
，而，，不可能相等，所以错误
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
2．C
【解析】
【分析】
利用象限角、周线角的定义依次判断选项即可.
【详解】
A表示的角的终边在x轴非负半轴上；
B表示的角的终边x轴上；
C表示的角的终边在y轴上；
D表示的角的终边在y轴非负半轴上.
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
根据一天24小时中时针和分针转的圈数求解.
【详解】
一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，
所以分针比时针多转的圈数是24-2=22，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合22次，
故选：B
4．B
【解析】
【分析】
根据任意角的概念逐项分析即可
【详解】
第一象限的角可能大于90°，也可能小于0°，故错
锐角取值范围为，正确
小于90°的角还有负角，错
370°大于120°，但370°为第一象限的角，错
答案选
【点睛】
本题考查任意角的大小与象限的关系，象限角没有绝对大小，但锐角、钝角等都有明确的大小
5．A
【解析】
将终边逆时针旋转，可得，然后根据终边相同的角，可得结果.
【详解】
因为终边与的终边相同，
将终边逆时针旋转得，
终边与终边关于坐标原点对称
则的终边与的终边关于坐标原定对称
故选：A
【点睛】
本题考查两角终边的位置关系，属基础题
6．D
【解析】
根据变换的过程可以根据，求出，可以知道，
，显然当时，函数值取到最大值，，可以求出的取值，最后计算出的最大值.
【详解】
由已知可得
，故选D
【点睛】
本题考查了正弦型函数的变换过程，以及自变量取何值时，正弦型函数有最大值.本题的关键是变换后解析式要写正确，要对符号语言加以理解，能准确地挖掘背后的隐含结论.
7．C
【解析】
【分析】
由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．
【详解】
由题意得，故A错误；
A与C互不包含，故B错误；
由钝角小于180°的角，所以，故C正确 .
由以上分析可知D错误．
故选：C．
8．D
【解析】
【分析】
由已知判断的终边所在的位置即可.
【详解】
由，分类讨论如下：
当时，的终边在第一象限；
当时，的终边在y轴上；
当时，的终边在第二象限；
故选：D
9．B
【解析】
【分析】
分别判断，，的范围即可求出；
【详解】
解：第一象限角，；锐角，
小于的角
，
，；
“小于的角”里边有“第一象限角”，从而．
故选：．
10．D
【解析】
终边相同的角相差了的整数倍，由，，令，即可得解．
【详解】
终边相同的角相差了的整数倍，
设与角的终边相同的角是，则，，
当时，．
故选D．
【点睛】
本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．
11．C
【解析】
【分析】
直接利用终边相同的定义得到答案.
【详解】
与40°角终边相同的角是，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了相同终边的角，属于简单题.
12．A
【解析】
【分析】
根据终边相同角的定义即可求出．
【详解】
解：因为，
所以与的终边在同一条直线上．
故选：A．
13．B
【解析】
【分析】
举例说明A、C、D错误；由终边相同角的概念说明B正确．
【详解】
90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；
280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；
－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错.
故选B
【点睛】
本题考查终边相同角及任意角的概念，是基础题．
14．D
【解析】
【详解】
当终边相同的角与相差的整数倍，所以，与角终边相同的角的集合是，故选．
15．C
【解析】
【分析】
分析各选项中两组角对应集合的包含关系，分析两组角的终边是否相同，由此可得出结论.
【详解】
对于A选项，表示的整数倍，表示的奇数倍，与的终边不一定相同；
对于B选项，，表示除余数为的整数，表示除余数为的整数，而表示的整数倍，
所以，，
则与的终边不一定相同；
对于C选项，对于，取得，对于，取得，
，
均为的整数倍，
则与 的终边相同；
对于D选项，显然，
则与的终边不一定相同.
故选：C.
【点睛】
本题考查终边相同的角的判断，考查推理能力，属于基础题.
16．AD
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的集合，即可求解.
【详解】
当时，，
此时角的终边在轴正半轴，
当时，，
此时角的终边在第二象限，
当时，，
此时角的终边在第三象限，
所以终边不会出现在第一、四象限，
故选：AD.
17．AD
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的概念可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断BC选项的正误；利用扇形的面积公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为，所以，与的终边相同，A对；
对于B选项，不是锐角，B错；
对于C选项，取，则为第二象限角，但为第三象限角，C错；
对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，
因此，该扇形的面积为，D对.
故选：AD.
18． 轴 直线.
【解析】
【分析】
将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程；
【详解】
解：因为，所以角的终边与的终边关于轴对称；
因为，所以角的终边与的终边关于直线对称；
故答案为：轴；直线；
19．二；
【解析】
【分析】
通过与角终边相同的角所在的象限判断得解.
【详解】
由题得与终边相同的角为
当k=1时，与终边相同的角为，
因为在第二象限，
所以角属于第二象限的角.
故答案为二
【点睛】
本题主要考查终边相同的角，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
与终边相同的角的集合是终边落在y轴正半轴的角构成的，写出来即可.
【详解】
与终边相同的角的集合是终边落在y轴正半轴的角构成的，即.
故答案为.
【点睛】
本题考查了终边相同的角的写法，属于基础题.
21．①②③
【解析】
【分析】
先将角化为的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确.
【详解】
因为，所以①正确，
令k=0，可得②正确；
令k=-1，可得③正确.
故答案为：①②③.
22．三
【解析】
【分析】
画出图像即可判断
【详解】
由图可知的终边在第三象限
故答案为：三
23．240°
【解析】
【分析】
表示出与-120°终边相同角的通式，给赋值即可
【详解】
与-120°终边相同角的表示方法为 ，当时， ，其余值不符合题意
故在-360°到360°之间与-120°的角终边相同的角为240°
【点睛】
本题考查与角终边相同角在具体区间的求法，写出通式，给赋值判断，进行合理取值是常规解法
24．θ＝ 或θ＝．
【解析】
【分析】
根据θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，可得7θ＝θ+2kπ，利用k∈Z，即可求得满足条件的角θ．
【详解】
∵θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，
∴7θ＝θ+2kπ，k∈Z
∴θ∵，∴
∴0＜k＜3∵k∈Z
∴k＝1，2∴θ＝ 或θ＝
故θ＝ 或θ＝．
【点睛】
本题重点考查终边相同的角，考查解不等式，正确运用终边相同的角的关系是解题的关键．
25．(1)；(2)
【解析】
【分析】
（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得.（2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.
【详解】
（1）的普通方程为，的普通方程为，
联立方程组，解得交点为,
所以=；
（2）曲线：（为参数）．设所求的点为，
则到直线的距离.
当时，取得最大值．
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.
26．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）本小题先根据导函数求在切点处切线的斜率，再求切点坐标，最后写切线方程即可；
（2）本小题根据恒成立问题先化简不等式，再建立新函数，根据函数的单调性求最大值即可解题.
【详解】
解：（1）由，有，
故曲线在点处的切线方程为，
整理为．
（2）不等式可化为
令，函数的定义域为，
则．
令，则，令，
得，，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以对，．
又当时，，故有．
所以，有，，有，所以函数的增区间为，减区间为，所以
所以实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查借导函数求函数的切线方程，求解恒成立不等式，函数的单调性求最大值，是偏难题.
27．（1）.（2）
【解析】
（1）先将改为弧度，再加周期，最后写出集合形式；
（2）先分别写出终边在射线上以及终边在射线上角的集合,再求并集得结果.
【详解】
（1）终边在射线上的角的集合.
（2）终边在射线上的角的集合，
所以终边在直线上的角的集合，
即.
【点睛】
本题考查终边相同的角的集合，考查基本求解能力，属基础题.
28．（1）假命题（2）假命题（3）真命题（4）假命题
【解析】
【分析】
（1）由题意结合终边相同的角的概念，举出反例即可判断；
（2）由题意结合象限角、锐角的概念即可判断；
（3）由题意结合钝角、象限角的概念即可判断；
（4）由题意结合象限角的概念举出反例即可判断.
【详解】
（1）45°角与角终边相同，但它们不相等，故该命题为假命题；
（2）第一象限角是指在范围内的角，而锐角是指大于0°且小于90°的角，故该命题为假命题；
（3）设为钝角，则，故是第二象限角，故该命题为真命题；
（4）若是第一象限角，则是第三象限角，故该命题为假命题.
【点睛】
本题考查了终边相同的角、象限角概念的应用，解题关键是对概念有准确的理解，属于基础题.
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