2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形 同步练习 (word版含答案)

1.1等腰三角形
一．选择题
1．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．7 B．9 C．9或12 D．12
2．在△ABC中，AB＝AC，点B，点C在直角坐标系中的坐标分别是（2，0），（﹣2，0），则点A的坐标可能是（　　）
A．（0，2） B．（0，0） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
3．如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OCE的度数不可能为（　　）
A．130° B．77.5° C．65° D．25°
5．用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm
6．关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，∠B＝59°，∠BAC＝62°；
②△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC；
④△ABC中，AD平分∠BAC且AD平分边BC；
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（　　）
A． B．4 C． D．4.5
二．填空题
11．等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D，如果BC＝6，则BD＝　 　．
12．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是　 　．
13．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　．
14．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为　 　．
15．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
17．如图，已知△ABC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD，AD＝AC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若∠BAD＝130°，求∠BDC的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
19．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．
故选：D．
2．解：由题意可知BO＝CO，
∵又AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∴点A在y轴上，
∴A符合题意，B选项三点共线，
故选：A．
3．解：连接AF，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠D+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
∵E为AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝，
又∵∠D＝30°，
∴CF＝DF，
∴DF＝AF＝4．
故选：B．
4．解：∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝25°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝25°，
∴∠OEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣25°）＝77.5°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝25°；
综上，∠OEC的度数不可能为65°，
故选：C．
5．解：分两种情况讨论：
（1）如果8cm长的边为底边，设腰长为xcm，则有x+x+8＝36cm，
解得x＝14，
（2）如果8cm长的边为腰，设底边为xcm，则有8+8+x＝36cm，
解得x＝20．
因为8+8＜20，出现两边的和小于第三边的情况，
所以不能围成腰长是8cm的等腰三角形，
由以上讨论可知，这个等腰三角形的腰长为14cm，
故选：D．
6．解：①∵△ABC中，∠B＝59°，∠BAC＝62°，
∴∠C＝59°，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA＝90°；
又∵AD＝AD（公共边），
∴△ACD≌△ABD（ASA）．
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
③∵AD⊥BC，AD平分边BC，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，BD＝CD；
又∵AD＝AD（公共边），
∴△ACD≌△ABD（SAS）．
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
④过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故能判定△ABC是等腰三角形的条件共有4组．
故选：D．
7．解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；
②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．
故选：C．
9．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
10．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．
∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE．
又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，
于是DE＝，
∴CD＝DE＝4．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
故答案为：3．
12．解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
13．解：设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x＝180°，解得，x＝30°，4x＝120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当x是顶角时，则x+4x+4x＝180°，解得，x＝20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；
所以该三角形的顶角为120°或20°．
故答案为：120°或20°．
14．解：∵DE＝DF，∠F＝20°，
∴∠E＝∠F＝20°，
∴∠CDF＝∠E+∠F＝40°，
∵AB∥CE，
∴∠B＝∠CDF＝40°，
故答案为：40°．
15．解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
三．解答题
16．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
17．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AD＝AC，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵∠BAD＝130°，AB＝AD＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB＝25°，
∴∠DBC＝25°，
∴∠ABC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝50°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠BDC＝40°．
18．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）解：∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
19．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝3，
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
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