2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.5.1向量的数量积课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．体会平面向量数量积与投影数量的关系．
3．会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．
数学素养
1.通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过数量积的应用，培养数学运算素养.
课程导图
情境引入
在物理学中，一个物体在力的作用下产生位移，就说这个力对物体做了功.如果力的方向跟物体运动的方向相同，功就等于力的大小和位移大小的乘积
情境引入
如果力F的方向与物体运动的方向成θ角.我们可以将力F进行分解：
与位移方向平行的分力F1满足， =cosθ.物体在F1的方向上产生了位移s，因而力F对物体做的功为|F|cos θ |s|
与位移方向垂直的分力F2，由于没有使物体在该分力的方向上产生位移，因而对物体不做功.
情境引入
综上可知，力F对物体做的功为W=|F| |s|cos θ
当0≤θ<90时，W>0，即力F做正功；当θ=90时，W=0，即力F不做功；
当90<θ≤180时，W<0，即力F做负功.
情境引入
力对物体所做的功是一个数量、它由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算的结果
平面向量数量积概念
平面向量数量积概念
当0°≤<90°时，a·b>0；
当=90°时，a·b=0；
当=90°时，a·b=0；
当90°<≤180°时，a·b<0；
当 ， =0°时，a·b=| || |；
=180°时， a·b=-.
课程导图
投影
如图,已知两个非零向量a和b，作=a.=b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A'，得到a在b上的投影 =称为投影向量。
|a|cos，称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a
投影
实例中，与位移s方向一致的分力F1的长度为|F|cosθ，即是力F在位移s方向上的投影数量.
平面向量数量积几何意义
由向量投影的定义，可以得到向量的数量积a·b的几何意义：b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积(如图)，或a的长度la|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积
平面向量数量积几何意义
1.向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗？
思考
　当且仅当两向量模相等时，相等．
2．当a≠0时， 由a·b＝0一定能得到b＝0吗？
　不一定．例如，当a⊥b时，即使b≠0，也有a·b＝0.
平面向量数量积
典例
例1如图，已知向量a与b，其中3，=4，且a与b的夹角θ=150°.(1)求a·b；(2)求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释.
解(1)a·b=a|b|cosθ
(2)如图，作过点B作直线OA的垂线，垂足为B，则 所以向量b在a方向上的投影数量为
课程导图
数量积运算律
数量积运算律
例2.已知向量a、b.c.其中la|=4.|b|=6，且a与c的夹角θ=120°，b与c的夹角γ=60°，求a+b在c方向上的投影数量.
解:a+b在c方向上的投影数量为
=|a|cosθ+|b| cosγ
60°
=1
课程导图
数量积性质
≤
这些性质都可以用向量数量积的定义和几何意义来证明.
学以致用
1.已知a与b共线，且|a|=1，|b|=2.求a·b.
2.已知|a|=4，|b|=2，求分别在下列条件下a·b的值；

(1)=120°,(2)a⊥b;(3)a//b.
3.在△ABC中，=a，=b，如果a·b=0，试判断△ABC的形状