2021－2022 学年度第一学期期末考试
高三数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．
1．已知集合 A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2x＞1}，则 A∩( RB)＝
A．(－1，0) B．(0，3) C．(－1，0] D．(－1，3]
2．已知复数 z满足|z|＋z＝8＋4i，则 z＝
A．3＋4i B．3－4i C．－3＋4i D．－3－4i
3．在平面直角坐标系 xOy中，已知角α的终边上有一点 P(－3，4)，则 tan2α＝
A 7 7 24 24． B．－ C． D．－
24 24 7 7
4．在(x 1＋2)( ＋8)8的展开式中，常数项为
x
A．27 B．28 C．29 D．30
5．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C：y2＝4x的准线为 l，l与 x轴交于点 A，过点 A作
抛物线的一条切线，切点为 B，则△OAB的面积为
A．1 B．2 C．4 D．8
6．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商
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还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网
上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布 N(6000，10000)，则该小区 800名居民中，
网购金额超过 800元的人数大约为
(参考数据：P(|X－μ|＜σ)＝0.683，P(|X－μ|＜2σ)＝0.954，P(|X－μ|＜3σ)＝0.997)
A．16 B．18 C．20 D．25
7．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(2 x－x)＝f(x)．当 0≤x≤1 时，f(x)＝3 ＋a，则 f(2021)
＋f(2022)＝
A．－4 B．－2 C．2 D．4
8．已知 2a＝ 3，5b＝2 2，c 4＝ ，则 a，b，c的大小关系是
5
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．对于函数 f(x)＝sinx＋cosx，下列说法正确的有
A．2π π是一个周期 B．关于( ，0)对称
2
C．在[0 π， ] π的值域为[1， 2] D．在[ ，π]上递增
2 4
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→ → → →
10．在平行四边形 ABCD 1 1中，若AE＝ AB，AF＝ AD，则
2 2
→ 1→ → → →A．EF＝ BD B．AD＋CD＋BE＝0
2
→
C．AC
→ → → → → →
＋2DF＋2BE＝0 D．若 AC⊥BF，AB·AD＝BC2－2CD2
11 2 2．已知首项为正数的等比数列{an}的公比为 q，曲线 Cn：anx ＋an＋1y ＝1，则下列叙述正确
的有
A．q＝1，Cn为圆 B．q＝－1，Cn离心率为 2
B．q＞1，C 1n离心率为 1－ D．q＜0，Cn为共渐近线的双曲线
q
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12．如图，两个底面为矩形的四棱锥 S－ABCD，S1－ABCD组合成一个新的多面体Γ，其中
△SAD，△S1BC为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面 SAD，平
面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为 L，则下列结论正确的有
A．SB⊥BC B．SC⊥AB C．多面体Γ有外接球 D．L为定值
S
D
C
A B
S1
第 12题图
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分．请将答案填写在答题卡相应的位
置上．
13．写出一个公差不为零，且满足 a1＋a2－a3＝1的等差数列{an}的通项公式 an＝ ．
14．若直线 x－ay＋2a＝0被圆 x2＋y2＝4截得的弦长为 2，则实数 a的值为 ．
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15．若函数 f(x)＝cos2x＋acosx在(0 π， )上是减函数，则实数 a的取值范围为 ．
3
因为 x∈(0 π， )，所以 a＞－4 1× ＝－2，所以实数 a的取值范围为[2，＋ ）
3 2
16．△ABC的三条边分别为 a，b，c，若该三角形绕着三条边 a，b，c旋转一周所得几何体
1 1 1
的体积分别为 Va，Vb，Vc．若 Va＝ ，Vb＝ ，Vc＝ ，则 cosA的值为 ；若∠BAC＝
4 3 2
π
，V 1bVc＝1，则 Vb2＋Vc2－ 的值为 ．
6 V 2a
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知asin2B－ 3bsinA＝0．
(1)求角 B的大小；
(2)给出三个条件：①b＝ 3；②a＋c＝3＋ 3；③csinC＝sinA，试从中选出两个条件，求△ABC
的面积．
【解析】
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18．(本小题满分 12分)
已知数列{an}的前 n项和为 Sn，an＞0，2 Sn＝an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an·2
an}的前 n项和．
【解析】
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19．(本小题满分 12分)
如图，在三棱锥 P－ABC中，AB＝2，PB＝BC＝4，PA＝PC＝AC＝2 3．
(1)平面 PAC⊥平面 ABC；
→ →
(2)点 D是棱 BC上一点，BD＝λBC，且二面角 B－PA－D与二面角 C－PA－D的大小相等，
求实数λ的值．
P
A C
D
B
【解析】
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20．(本小题镇分 12分)
一学校办公楼共有 10 层，安装了两部电梯 I和 II．电梯运行方式如下：当某人在某层按键
后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯 I先运行．设电梯在每一层运行时间为
a．现王老师在第 4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量 X．
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(1)求 P(X＝0)；
(2)为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电
梯，王老师在第 4层乘电梯平均节省的时间．
【解析】
21．(本小题满分 12分)
在平面直角坐标系 xOy中，已知△ABC的两个顶点坐标为 B(－2，0)，C(2，0)，直线 AB，
AC 1的斜率乘积为 ．
4
(1)求顶点 A的轨迹Γ的方程；
Γ → →(2)过点 P(1，0)的直线与曲线 交于点 M，N，直线 BM，CN相交于点 Q，求证：OP·OQ为
定值．
【解析】
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22．(本小题满分 12分)
已知函数 f(x)＝ex－ax2－sinx，e为自然对数的底数．
(1)求 f(x)在 x＝0处的切线方程；
(2)当 x≥0时，f(x)≥1－x－sinx，求实数 a的最大值；
(3) 1证明：当a＜ 时，f(x)在 x＝0处取极小值．
2
【解析】
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数学试题 第 11 页 (共 11 页)泰州市2021－2022学年度第一学期期末考试
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2x＞1}，则A∩( RB)＝
A．(－1，0) B．(0，3) C．(－1，0] D．(－1，3]
2．已知复数z满足|z|＋z＝8＋4i，则z＝
A．3＋4i B．3－4i C．－3＋4i D．－3－4i
3．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边上有一点P(－3，4)，则tan2α＝
A． B． C． D．
4．在(x＋2)(＋8)8的展开式中，常数项为
A．27 B．28 C．29 D．30
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为
A．1 B．2 C．4 D．8
6．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(6000，10000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为
(参考数据：P(|X－μ|＜σ)＝0.683，P(|X－μ|＜2σ)＝0.954，P(|X－μ|＜3σ)＝0.997)
A．16 B．18 C．20 D．25
7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)．当0≤x≤1时，，则f(2021)＋f(2022)＝
A．－4 B．－2 C．2 D．4
8．已知2a＝，5b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于函数f(x)＝sinx＋cosx，下列说法正确的有
A．2π是一个周期 B．关于(，0)对称
C．在[0，]的值域为 D．在[，π]上递增
10．在平行四边形ABCD中，若＝，＝，则
A．＝ B．＋＋＝0
C．＋2＋2＝0 D．若AC⊥BF，·＝2－22
11．已知首项为正数的等比数列{an}的公比为q，曲线Cn：，则下列叙述正确的有
A．q＝1，Cn为圆 B．q＝－1，Cn离心率为2
B．q＞1，Cn离心率为 D．q＜0，Cn为共渐近线的双曲线
12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S－ABCD，S1－ABCD组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD，△S1BC为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L，则下列结论正确的有
A．SB⊥BC B．SC⊥AB C．多面体Γ有外接球 D．L为定值
第12题图
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
13．写出一个公差不为零，且满足a1＋a2－a3＝1的等差数列{an}的通项公式an＝ ．
14．若直线x－ay＋2a＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值为 ．
15．若函数f(x)＝cos2x＋acosx在(0，)上是减函数，则实数a的取值范围为 ．
16．△ABC的三条边分别为a，b，c，若该三角形绕着三条边a，b，c旋转一周所得几何体的体积分别为Va，Vb，Vc．若Va＝，Vb＝，Vc＝，则cosA的值为 ；若∠BAC＝，VbVc＝1，则Vb2＋Vc2－的值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)给出三个条件：①；②；③csinC＝sinA，试从中选出两个条件，求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，2＝an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列}的前n项和．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝2，PB＝BC＝4，．
(1)平面PAC⊥平面ABC；
(2)点D是棱BC上一点，，且二面角B－PA－D与二面角C－PA－D的大小相等，求实数λ的值．
20．(本小题镇分12分)
一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行．设电梯在每一层运行时间为a．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X．
(1)求P(X＝0)；
(2)为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点坐标为B(－2，0)，C(2，0)，直线AB，AC的斜率乘积为．
(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；
(2)过点P(1，0)的直线与曲线Γ交于点M，N，直线BM，CN相交于点Q，求证：·为定值．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－ax2－sinx，e为自然对数的底数．
(1)求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)当x≥0时，f(x)≥1－x－sinx，求实数a的最大值；
(3)证明：当时，f(x)在x＝0处取极小值．
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