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相遇问题
北师大版 五年级下
新知导入
1.解方程。
12x+11x=99 （31+33）x=12.8
解：33x=99
x=3
解：64x=12.8
x=0.2
新知导入
2.（1）一辆汽车每小时行驶70千米，4小时行驶多少千米？
（2）一辆汽车每小时行驶70千米，行驶350千米要行几小时？
70×4=280（千米）
答：4小时行驶280千米。
350÷70=5（小时）
答：行驶350千米要行5小时。
新知导入
速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
说一说速度、时间和路程三者之间的关系。
新知导入
步行速度是50米/分。
步行速度是70米/分。
淘气家
邮局
笑笑家
淘气家到笑笑家的路程是840m。
两人同时从家里出发。
相遇问题
商店
新知讲解
操作提示：
1.请两名同学上台模拟演示，两人分别站在讲台的两侧，并且面对面。
2.两人同时从两边出发，相遇时停下来。
3.观察他们的演示过程中，你有什么发现？
新知讲解
他们同时出发，相遇同时停，两人所用的时间相同。
他们是相对而行。
新知讲解
像这种从两地同时出发，相对而行后两人相遇了，叫做相遇问题。
新知讲解
估计两人在何处相遇？说一说你的想法。
淘气的速度比笑笑的快，估计相遇的地点在邮局附近。
商店
新知讲解
淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
用画图的方式来表示过程。
淘气家
笑笑家
840千米
商店
新知讲解
从线段图中，你能发现数量关系吗？
淘气家
笑笑家
840千米
淘气走的路程
笑笑走的路程
70米/分
50米/分
淘气走的路程 ＋ 笑笑走的路程 = 840米
怎么解决这个问题呢？
新知讲解
思考提示：
1.淘气走的路程和笑笑走的路程怎么算？
2.两人的相遇时间有什么特点？尝试用方程解答。
新知讲解
淘气走的路程 ＋ 笑笑走的路程 = 840米
淘气走的速度×时间
笑笑走的速度×时间
70米/分
50米/分
两人相遇时所用时间相等，所以设出发后x分相遇。
x分
x分
新知讲解
淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
解：设经过x时两车相遇，那么淘气走了70x米，笑笑走了50x米。
70x + 50x ＝ 840
120x ＝ 840
x ＝ 7
答：出发后7分相遇。
商店
新知讲解
淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
想想怎么检验
淘气走的路程：70×7=490（米）
笑笑走的路程：50×7=350（米）
总路程：490+350=840（米）
与原题符合，是正确的。
新知讲解
淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
走的时间 淘气走的路程 笑笑走的路程 两人所走的路程和
1分钟
2分钟
3分钟
……
……
……
……
新知讲解
70米/分
50米/分
淘气家
笑笑家
840米
走的时间 淘气走的路程 笑笑走的路程 两人所走的路程和
1分钟
2分钟
3分钟
……
70米
50米
120米
140米
100米
240米
210米
150米
360米
……
……
……
新知讲解
走的时间 淘气走的路程 笑笑走的路程 两人所走的路程和
1分钟
2分钟
3分钟
……
70米
50米
120米
140米
100米
240米
210米
150米
360米
……
……
……
通过填表，想想还可以先算什么？
还可以先算两人一分钟走的速度和。
速度和×相遇时间=总路程
新知讲解
淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
我用方程。
解：设经过x时两人相遇。
（70+50）x =840
120x ＝ 840
x ＝ 7
答：出发后7分相遇。
新知讲解
淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
我用算术法：相遇时间=总路程÷速度和。
840÷（70+50）=7（分）
答：出发后7分钟后相遇。
新知讲解
如果淘气的步行速度为80米／分，笑笑的步行速度为60米／分，他们出发后多长时间相遇呢？先想一想，再列方程解决问题。
解：设出发后x分相遇，那么淘气走了80x米，笑笑走了60x米。
答：出发后6分相遇。
80x+60x=840
140x=840
x=6
新知讲解
请举出生活中的其他情境，也可以用类似的等量关系。
可以是两辆车同时相对开出两地，然后相遇。
还可以是两个人同时做一件事。
课堂练习
1.用含有字母的式子表示下面的等量关系。
甲乙两队合挖一条隧道，甲队每天挖75m，乙队每天挖50m，两队合作x天后完成任务。
（1）甲队挖了（ ）米。
（2）乙队挖了（ ）米。
（3）这条隧道全长（ ）米。
75x
50x
125x
课堂练习
2.甲、乙两人合打一份稿件，甲每分打112个字，乙每分打120个字，两人同时工作10分，正好打完这份稿件，这份稿件有多少个字？
工作效率之和×工作时间=工作总量
(112+120)×10=2320（个）
答：这份稿件有2320个字。
课堂练习
3.甲车每小时行45km，乙车每小时比甲车慢4km，两车同时从相距430km的两地相向开出，经过几小时相遇？相遇时两车各行了多少千米？
解：设出发后x小时相遇。
45x+（45－4）x=430
86x=430
x=5
甲行了：45×5=225（千米）
乙行了：41×5=205（千米）
答：两车经过5小时相遇，相遇时甲车行了225千米，乙车行了205千米。
课堂练习
4.A、B两车分别以每小时75千米与每小时60千米的速度，同时从两地相对开出。相遇时A车比B车多行驶了60千米，求两地的距离。
先求出相遇时间。
解：设出发后x小时相遇。
75x－60x=60
15x=60
x=4
(75+60)×4=540（千米）
答：两地的距离是540千米。
课堂练习
5.拓展练习：甲地到乙地长436千米，两辆汽车从两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行46千米，甲车开出两小时后，乙车才出发，再经过几小时辆车相遇？
先求出甲乙两车共行的路程。
解：设再经过x小时辆车相遇。
42x+46x=436－42×2
88x=352
x=4
答：再经过4小时辆车相遇。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会列方程解决相遇问题了。
我还知道速度和×相遇时间=总路程。
板书设计
相遇问题
特点：同时出发 相对而行 相遇
淘气走的路程＋笑笑走的路程＝840米
解：设出发后x分相遇。
70x+50x=840
120x=840
x=7
作业布置
完成课本“练一练”第1、2、3题。
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《相遇问题》导学单
【学习目标】
1.结合具体的生活情境，理解相遇问题的结构特点，能根据速度、时间、路程的数量关系列方程解答相向运动中求相遇时间的实际问题。
2.通过探究相遇问题的特点，提高用方程解决简单实际问题的能力，培养用方程解决问题的意识。
3.在探索的过程中，进一步体验数学与生活的的联系， 体会数学的应用价值。
【学习重点】理解相遇问题的结构特点，能根据速度、时间、路程的数量关系解决求相遇时间的问题。
【学习难点】理解相向运动中求相遇时间问题的解决方法。
【知识链接】
1.解方程。
12x+11x=99 （31+33）x=12.8
2.（1）一辆汽车每小时行驶70千米，4小时行驶多少千米？
（2）一辆汽车每小时行驶70千米，行驶350千米要行几小时？
思考：说一说速度、时间和路程三者之间的关系。
我发现：（ ）×（ ）=路程
（ ）÷（ ）=时间
（ ）÷（ ）=速度
3.淘气和笑笑是好朋友，他们经常一起玩，一起做作业。可是粗心的淘气把作业忘在了笑笑家，笑笑准备给淘气送过去。想一想，怎样做淘气能最快拿到作业本？
我发现：两人（ ）从家里出发，他们在途中（ ）最节省时间。
【合作探究】
一、了解相遇的特点
1.操作提示：
（1）请两名同学上台模拟演示，两人分别站在讲台的两侧，并且面对面。
（2）两人同时从两边出发，相遇时停下来。
（3）观察他们的演示过程中，你有什么发现？
2.我发现：
（1）他们（ ）出发，相遇（ ）停，两人所用的时间（ ）。
（2）他们是（ ）而行。
3.像这种从两地（ ）出发，（ ）而行后两人（ ）了，叫做相遇问题。
二、解决相遇问题
1.估计两人在何处相遇？说一说你的想法，并标出来。
我发现：淘气每分钟走（ ）米，笑笑每分钟走（ ）米，淘气的速度比笑笑的（ ），估计相遇的地点在（ ）附近。
2.淘气和笑笑出发后多长时间相遇呢？你能用画图的方式来表示刚才演示的过程吗？
画图：
2.从线段图中，你能发现数量关系吗？
数量关系：_________________________________________
3.思考提示：
（1）淘气走的路程和笑笑走的路程怎么算？
（2）两人的相遇时间有什么特点？尝试用方程解答。
4.我发现：
淘气走的路程=（ ）×（ ）
笑笑走的路程=（ ）×（ ）
两人的相遇时间（ ）。
解：设出发后（ ）分相遇，淘气就走了（ ）米，笑笑就走了（ ）米。
答：淘气和笑笑出发后（ ）分钟后相遇。
5.这样列方程算出的答案正确吗？想想怎么检验。
淘气走的路程:______________________（米）
笑笑走的路程：______________________（米）
总路程：______________________（米）
与原题（ ），是（ ）。
6.这道题还有可以怎么解决？
（1）填一填。
（2）通过填表，想想还可以先算什么？
我认为：还可以先算两人一分钟走的（ ），再把“（ ）×（ ）时间”就等于（ ）。
7.你能用这种方法算算吗？
（1）用方程。
解：设出发后（ ）分相遇。
我用算术法：相遇时间=（ ）÷（ ）。
列式：
答：出发后（ ）分钟后相遇。
三、如果淘气的步行速度为80米／分，笑笑的步行速度为60米／分，他们出发后多长时间相遇呢？先想一想，再列方程解决问题。
四、请举出生活中的其他情境，也可以用类似的等量关系。
可以是两辆车（ ）开出两地（ ）开出，然后（ ）；
还可以是两个人（ ）做一件事；
……
【达标检测】
一、填一填。
一份稿件两人合作完成。甲每分钟打120字，乙每分钟打80字，x分钟两人打完。
1.稿件打完，甲打了（ ）字。
2.稿件打完，乙打了（ ）字。
3.一份稿件有（ ）字。
二、小明每秒跑7米，小丽每秒跑3米，两人从百米的跑道两端迎面同时起跑。
（1）估计两人在何处相遇，在图中标出；
（2）几秒后相遇？（用方程解答）
三、两车同时出发，几小时相遇？
解决问题。
1.两个施工队共同挖一条900米的隧道，甲队从东往西挖，每天挖27.5米，乙队同时从西往东挖，每天挖32.5米，多少天挖通？这时甲、乙两队各挖多少米？
2.甲、乙两地相距1300千米，两列火车从两地相向而行，甲车每小时行120千米，乙车每小时行130千米，甲车先行1.5小时后，乙车才出发，乙车出发后几小时与甲车相遇？
参考答案
一、算一算。
1.120x 2.80x 3.200x
二、小明每秒跑7米，小丽每秒跑3米，两人从百米的跑道两端迎面同时起跑。
（1）
（2）解：设x秒后相遇。
7x+3x=100
X=10
三、两车同时出发，几小时相遇？
解：设x小时相遇。
65x+80x=1305
x=9
四、解决问题。
1.900÷（27.5+32.5）=15（天）
27.5×15=412.5（米）
32.5×15=487.5（米）
2.解：设乙车出发后x小时与甲车相遇。
120x+130x=1300－120×1.5
x=4.48
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《相遇问题》教学设计
课题 相遇问题 单元 第七单元 学科 数学 年级 五下
学习目标 1.结合具体的生活情境，理解相遇问题的结构特点，能根据速度、时间、路程的数量关系列方程解答相向运动中求相遇时间的实际问题。2.通过探究相遇问题的特点，提高用方程解决简单实际问题的能力，培养用方程解决问题的意识。 3.在探索的过程中，进一步体验数学与生活的的联系， 体会数学的应用价值。
重点 理解相遇问题的结构特点，能根据速度、时间、路程的数量关系解决求相遇时间的问题。
难点 理解相向运动中求相遇时间问题的解决方法。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习旧知1.解方程。12x+11x=99 （31+33）x=12.82.（1）一辆汽车每小时行驶70千米，4小时行驶多少千米？（2）一辆汽车每小时行驶70千米，行驶350千米要行几小时？提问：说一说速度、时间和路程三者之间的关系。反馈：速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度二、导入新课师：淘气和笑笑是好朋友，他们经常一起玩，一起做作业。可是粗心的淘气把作业忘在了笑笑家，笑笑准备给淘气送过去。课件出示：师：想一想，怎样做淘气能最快拿到作业本？引导学生得出：两人同时从家里出发，他们在途中相遇最节省时间。师：像这样的运动有什么特点呢？这节课我们就来研究相遇问题。板书课题：相遇问题 学生独自完成，然后集体订正。 学生自由说说。 学生独自思考，然后自由说说。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。 结合教材创设的情境，通过观察、交流。初步感受相遇问题的特点，激发学生探究的欲望。
讲授新课 一、了解相遇的特点课件出示——操作提示：1.请两名同学上台模拟演示，两人分别站在讲台的两侧，并且面对面。2.两人同时从两边出发，相遇时停下来。3.观察他们的演示过程中，你有什么发现？师：大家有什么发现吗？引导学生得出：他们同时出发，相遇同时停，两人所用的时间相同。他们是相向而行。师揭示：像这种从两地同时出发，相对而行后两人相遇了，叫做相遇问题。二、解决相遇问题师：估计两人在何处相遇？说一说你的想法。引导学生得出：淘气每分钟走70米，笑笑每分钟走50米，淘气的速度比笑笑的快，估计相遇的地点在邮局附近。师：那么淘气和笑笑出发后多长时间相遇呢？你能用画图的方式来表示刚才演示的过程吗？展示：师：从线段图中，你能发现数量关系吗？ 反馈：淘气走的路程＋笑笑走的路程=840米师：怎么解决这个问题呢？课件出示——思考提示：1.淘气走的路程和笑笑走的路程怎么算？2.两人的相遇时间有什么特点？尝试用方程解答。反馈：淘气走的路程=淘气走的速度×时间笑笑走的路程=笑笑走的速度×时间两人的相遇时间相等，所以设出发后x分相遇，淘气就走了70x米，笑笑就走了50x米。70x+50x=840 120x=840 x=7答：淘气和笑笑出发后7分钟后相遇。师：这样列方程算出的答案正确吗？想想怎么检验。展示：淘气走的路程：70×7=490（米）笑笑走的路程：50×7=350（米）总路程：490+350=840（米）与原题符合，是正确的。师：这道题还有可以怎么解决？课件出示：师：通过填表，想想还可以先算什么？引导学生观察得出：还可以先算两人一分钟走的速度和，再把“速度和×相遇时间”就等于总路程。师：你能用这种方法算算吗？反馈：（1）我用方程。解：设出发后x分相遇。（70+50）x=840 x=7我用算术法：相遇时间=总路程÷速度和。 840÷（70+50）=7（分） 答：出发后7分钟后相遇。三、巩固应用课件出示：如果淘气的步行速度为80米／分，笑笑的步行速度为60米／分，他们出发后多长时间相遇呢？先想一想，再列方程解决问题。 四、回归生活师：请举出生活中的其他情境，也可以用类似的等量关系。反馈：可以是两辆车同时开出两地相对开出，然后相遇；还可以是两个人同时做一件事；…… 学生根据老师的口令开始模拟演示，其余学生观看思考。学生自由说一说。 学生根据自己的认识自由说说。学生尝试画图，然后展示反馈。学生独自找一找，然后集体交流。学生分组交流，然后集体交流反馈。学生独自检验，然后集体交流。学生独自填一填，然后展示反馈。学生独自思考，然后集体交流。学生独自算一算，然后展示反馈。学生独自列出方程解答，然后集体交流。学生结合生活实际自由说说。 借助演示，让学生亲身体会相遇问题的特点，从感性认识，抽象概括出相遇问题的特点，进一步深化对相遇问题的理解。 通过画线段图，让学生感受画线段图可以更直观、清晰地分析数量关系，为后面解决问题提供帮助。采用思考提示的方法引导学生解决问题，让学生亲身经历知识的发展过程，有助于理解和掌握解决相遇问题的方法。利用列表法，让学生感受速度和与时间之间的关系，进而找到解决问题的方法，有助于培养学生观察、分析、比较、总结、归纳等思维能力。通过应用，提高学生解决问题的能力，同时检查学生掌握知识、运用知识的能力。 通过本环节的学习，让学生感受到数学与生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
巩固运用 1.用含有字母的式子表示下面的等量关系。甲乙两队合挖一条隧道，甲队每天挖75m，乙队每天挖50m，两队合作x天后完成任务。甲队挖了（ ）米。乙队挖了（ ）米。（3）这条隧道全长（ ）米。2.甲、乙两人合打一份稿件，甲每分打112个字，乙每分打120个字，两人同时工作10分，正好打完这份稿件，这份稿件有多少个字？3.甲车每小时行45km，乙车每小时比甲车慢4km，两车同时从相距430km的两地相向开出，经过几小时相遇？相遇时两车各行了多少千米？4.A、B两车分别以每小时75千米与每小时60千米的速度，同时从两地相对开出。相遇时A车比B车多行驶了60千米，求两地的距离。5.拓展练习：甲地到乙地长436千米，两辆汽车从两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行46千米，甲车开出两小时后，乙车才出发，再经过几小时辆车相遇？ 学生独自完成，然后集体订正。 设计不同的练习题，检查学生掌握知识的情况，同时提高运用知识解决问题的能力。
课堂小结 通过今天的学习，你有哪些收获？ 学生自由说说。 利用说一说帮助学生回忆新知，整体感知。
板书 相遇问题 特点：同时出发 相对而行 相遇 淘气走的路程＋笑笑走的路程＝840米 解：设出发后x分相遇。 70x+50x=840 120x=840 x=7 答：淘气和笑笑出发后7分钟后相遇。 通过板书呈现本课的知识点，帮助学生建立完整的知识体系，形成知识框架。
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