2021-2022学年人教版八年级数学上册 15.3分式方程 自主提升训练（word版含解析）

2021-2022学年人教版八年级数学上册《15-3分式方程》自主提升训练（附答案）
1．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
3．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
5．关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1且m≠1
6．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　）
A． B．2 C．或2 D．1或﹣2
8．下面是小明同学解方程＝﹣1的过程．
解：方程两边同时乘（x﹣3），得 1+x＝﹣2﹣（x﹣3）……………第一步 解得：x＝1……………第二步 检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0………第三步 所以原方程的解是x＝1．……………第四步
针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　）
A．完全正确 B．从第三步开始有错
C．从第二步开始有错 D．从第一步开始有错
9．分式方程有解，则字母a的取值范围 　 　．
10．已知关于x的分式方程+＝3，若方程的解为x＝3，则m＝　 　；若方程有增根，则m＝　 　；若方程的解是正数，则m的取值范围为 　 　．
11．甲、乙两人做某种零件，每小时甲比乙多做8个，甲做120个用时与乙做80个用时相等．设乙每小时做x个零件，则列方程为：　 　．
12．已知轮船顺水航行50千米所需的时间和逆水航行40千米所需的时间相同，水流的速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为 　 　．
13．解分式方程：
（1）＝ （2）＝﹣2
14．小佳与小灵共同清点一批图书，已知小佳清点完240本图书所用的时间与小灵清点完300本图书所用的时间相同，且小灵平均每分钟比小佳多清点5本，小佳平均每分钟清点图书多少本？
15．列分式方程解应用题：
随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件．
（1）根据题意，用含x的式子表示：
更换交通工具后平均每人每周投递快件 　 　件，每周投递3000件需快递人员为 　 　人，每周投递4200件需快递人员为 　 　人．
（2）列出方程，完成本题解答．
16．（换元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8＝0
解：设x2﹣3x＝y则原方程可化为y2﹣2y﹣8＝0
解得：y1＝﹣2，y2＝4
当y＝﹣2时，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1
当y＝4时，x2﹣3x＝4，解得x1＝4，x2＝﹣1
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝4，x4＝﹣1，
根据以上材料，请解方程：
（1）（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4＝0．
（2）x2﹣3x+5+＝0
17．已知实数x满足x2++x+＝0
（1）若令x+＝t，则上述等式可化为　 　；
（2）求x+的值．
18．已知关于x的方程无解，求m的值．
19．若关于x的方程＝0只有一个实数解，求k的取值范围．
20．【探索发现】
先观察下面给出的等式，探究其隐含的规律，然后回答问题：；；；…
（1）若n为正整数，直接写出结果：＝　 　．
【拓展延伸】
根据上面探索的规律，解决下面的问题：
（2）解关于x的分式方程：．
21．解分式方程．
（1）﹣3＝；
（2）＝1+．
22．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
23．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
24．“居家嗨购，网上过年”，为做好疫情防控并促进春节线上消费，我省组织开展了2021“全晋乐购”网上年货节活动，某企业采购了具有山西特色的年货慰问响应国家号召就地过年的员工．该企业选购甲，乙两种物品，已知乙种物品单价是甲种物品单价的，购买9000元甲种物品的数量比购买4800元乙种物品的数量多10件．
（1）甲，乙两种物品的单价各为多少元？
（2）如果该企业购买甲，乙两种物品共150件，总费用不超过3.9万元，则购买甲种物品最多为多少件？
25．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同．
（1）求A，B两种奖品的单价各是多少元；
（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件A种奖品或一件B种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件A种奖品？
26．为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程．已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；
（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
27．2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建A，B两类摊位以激活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为50元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．
28．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
参考答案
1．解：①2x+＝10是整式方程，
②x﹣＝2是分式方程，
③﹣3＝0是分式方程，
④+＝0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
2．解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
，
﹣1＝，
2x﹣（x﹣3）＝1﹣m，
x+3＝1﹣m，
把x＝3代入原方程得m＝﹣5，
故选：A．
3．解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
4．解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣1≠0，
∴1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，
∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，
∴和为8，
故选：B．
5．解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2，
解得：x＝，
由分式方程解为正数，得到＞0且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
6．解：分式方程去分母得：x+2+k（x﹣2）＝6，
由分式方程的增根为x＝﹣2，
把x＝﹣2代入x+2+k（x﹣2）＝6得：﹣4k＝6，
解得：k＝﹣，
故选：A．
7．解：当＞，即x＞0时，方程变形得：＝﹣2，
去分母得：2＝6﹣2x，即x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
当＜，即x＜0时，方程变形得：＝﹣2，
去分母得：5＝6﹣2x，
解得：x＝0.5，不符合题意，
综上，方程的解为x＝2．
故选：B．
8．解：＝﹣1，
方程两边同乘x﹣3，得1+x＝﹣2﹣（x﹣3）．
去括号，得1+x＝﹣2﹣x+3．
移项，得x+x＝﹣2+3﹣1．
合并同类项，得2x＝0．
x的系数化为1，x＝0．
检验：当x＝0时，x﹣3＝0﹣3≠0．
∴原方程的解为x＝0．
∴题中解题过程，从第二步有错．
故选：C．
9．解：，
方程两边同时乘以x（x﹣4），得5（x﹣4）＝ax，
解得（5﹣a）x＝20，
∵方程有解，
∴5﹣a≠0，
∴a≠5，
又有x≠0，x≠4，
∴20﹣4a≠20，
∴a≠0，
∴a的取值范围是a≠5且a≠0，
故答案为：a≠5且a≠0．
10．解：把x＝3代入分式方程+＝3得，
＝3，
∴m＝﹣3；
方程两边同乘（x﹣2），
去分母并整理得x＝m+6，
∵原分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
当x＝2时，m＝﹣4；
∵方程的解为正数，
∴x＝m+6＞0，
∴m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：﹣3，﹣4，m＞﹣6且m≠﹣4．
11．解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+8）个零件，
依题意，得：＝．
故答案为：＝．
12．解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
由题意得，＝，
故答案为：＝．
13．解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
14．解：设小佳平均每分钟清点图书x本，则小灵平均每分钟清点（x+5）本，
依题意，得：＝，
解得：x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解．
答：小佳平均每分钟清点图书20本．
15．解：（1）更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，每周投递3000件需快递人员为人，每周投递4200件需快递人员为人；
故答案为：（x+80），，；
（2）设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：＝．
解得x＝200，
经检验x＝200是方程的根，
答：原来平均每人每周投递快件200件．
16．解：（1）设2x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+5y+4＝0
解得：y1＝﹣1，y2＝﹣4
当y＝﹣1时，2x2﹣3x＝﹣1，解得x1＝，x2＝1
当y＝﹣4时，2x2﹣3x＝﹣4，方程无解
∴原方程的根是x1＝，x2＝1；
（2）设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y+5+＝0
去分母，可得y2+5y+6＝0
解得y1＝﹣2，y2＝﹣3
当y＝﹣2时，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1
当y＝﹣3时，x2﹣3x＝﹣3，方程无解
经检验：x1＝2，x2＝1都是原方程的解
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1．
17．解：（1）∵x+＝t，
∴x2+2+＝t2，
∴x2+＝t2﹣2，
∴原方程可以化为：t2+t﹣2＝0，
故答案为t2+t﹣2＝0．
（2）解：由t2+t﹣2＝0得
（t+2）（t﹣1）＝0
∴t1＝﹣2，t2＝1 …（6分）
当t＝﹣2时，x+＝﹣2，即x2+2x+1＝0，Δ＝0；
当t＝1时，x+，即x2﹣x+1＝0，△＝﹣3＜0，舍去，
∴x+＝﹣2．
18．解：，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得，2（x+2）﹣mx＝3（x﹣2），
去括号，得2x+4﹣mx＝3x﹣6，
移项、合并同类项，得（1+m）x＝10，
∵方程无解，
∴1+m＝0，
∴m＝﹣1，
又∵x＝2或x＝﹣2，
∴1+m＝5或1+m＝﹣5，
解得m＝4或m＝﹣6，
综上所述：m值是4或﹣6或﹣1．
19．解：＝0，
方程两边同时乘以x（x﹣1），得x（x+7）+（x﹣1）﹣（4x+k）＝0，
去括号得，x2+7x+x﹣1﹣4x﹣k＝0，
整理得，x2+4x﹣1﹣k＝0，
∵方程只有一个实数解，
∴Δ＝16+4+4k＝0，
∴k＝﹣5，
当x＝0时，k＝﹣1，
当x＝1时，k＝4，
∴k的值为﹣5或﹣1或4．
20．解：（1）
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根．
21．解：（1）去分母，方程两边都乘以（x﹣2）得：
1﹣3（x﹣2）＝﹣2．
整理得：﹣3x＝﹣9，
∴x＝3，
把x＝3代入x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为：x＝3．
（2）去分母，方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：
x2﹣8＝x2﹣4﹣（x+2），
整理得：x＝8﹣4﹣2，
∴x＝2．
把x＝2代入（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
22．解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人；
（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，
解得：y＝35，
35+4＝39（天），
∴该厂共需要39天才能完成任务．
23．解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
24．解：（1）设甲种物品的单价为x元，则乙种物品的单价为x元，
根据题意，得﹣＝10，
解得，x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解，且符合题意，
乙种物品的单价为：×300＝240（元），
答：甲种物品的单价为300元，乙种物品的单价为240元；
（2）设购买甲种物品m件，则购买乙种物品（150﹣m）件，
根据题意得，300m+240（150﹣m）≤39000，
解得，m≤50，
∵m为非负整数，且m的最大值，
∴m＝50，
答：购买甲种物品最多为50件．
25．解：（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A种奖品的单价为50元，B种奖品的单价为40元．
（2）设购买m件A种奖品，则购买（15﹣m）件B种奖品，
依题意得：50m+40（15﹣m）≤700，
解得：m≤10．
答：最多可以购买10件A种奖品．
26．解：（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x米，
依题意，得：．
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲队每天铺设电路管道60米，乙队每天铺设电路管道40米．
（2）设乙队施工m天正好完成该项工程，
依题意，得：≤20，
解得：m≥30．
答：若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工30天才能完成该项工程．
27．解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝4+2＝6．
答：每个A类摊位占地面积为6平方米，每个B类摊位的占地面积为4平方米．
（2）设建A类摊位a个，建造这100个摊位的费用为y元，则建B类摊位（100﹣a）个，
依题意得：y＝6a×50+4×40（100﹣a）＝140a+16000，
∵140＞0，
∴y随a的增大而增大．
∵100﹣a≥4a，
解得：a≤20，
∴当a取20时，费用最大，最大费用为140×20+16000＝18800（元）．
答：建造这100个摊位的最大费用是18800元．
28．解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．