2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 6.3正方形的性质与判定 同步自主达标测试（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册 6.3正方形的性质与判定 同步自主达标测试（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 212.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-25 21:54:11 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》
同步自主达标测试（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
2．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
3．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是（ ）
A．（）2020 B．（）2021 C．（）2021 D．（）2020
4．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
7．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF＝AF+DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共11小题，满分44分）
10．如图，正方形ABCD，延长AB至E，使AE＝BD，则∠BCE的度数 ．
11．正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．
12．正方形的对角线长为2cm，则它的周长为 cm．
13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
15．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝ ．
16．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．
17．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝ 时，四边形MENF是正方形．
18． ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得 ABCD为正方形．
19．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为 ．
20．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 （只填写序号）．
三．解答题（共4小题，满分40分）
21．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
23．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
24．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
25．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，连接AG．写出线段AG，GE，GF之间的数量关系，并说明理由．
26．已知，如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，EG⊥ED交BC于点G，EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：BF＝GF；
（2）如图，若DE＝DH，AB＝8．
①求证：CG＝FG；
②求EH的值．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分40分）
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
2．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．
则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，
∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，
∴∠PAF＝∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选：B．
3．解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，
∴D1E1＝，则B2C2＝（）1，
同理可得：B3C3＝＝（）2，
故正方形AnBn nDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是：（）2020．
故选：D．
4．解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选：B．
5．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
6．解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．解：如图，∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH，EF⊥EH，
∵BD＝2EF，AC＝2EH，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，
选项D满足题意．
故选：D．
8．解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，可以是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．
9．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
二．填空题（共11小题，满分44分）
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
11．解：由图形可得：
S阴影＝ S正方形ABCD＝×4×4＝8．
故答案为：8．
12．解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴2AB2＝（2）2，
∴AB＝2cm，
∴正方形ABCD的周长＝4×2＝8（cm）；
故答案为：8．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，
∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
14．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
15．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，
∵AG＝1，
∴OG＝OA+AG＝2，
∴GD＝＝，
∴EB＝．故答案为：．
16．解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF＝∠AEF＝90°，∠BMN＝∠QMN＝90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE＝BE＝AE＝AB，BM＝MN＝QM，
同理DQ＝MQ，
∴MN＝BD＝AB，
∴＝＝，
故答案为：．
17．解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
18．解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时， ABCD为正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
19．解：∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形，
点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴矩形ADCF是正方形．
故答案为：∠ACB＝90°．
20．解：有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
三．解答题（共4小题，满分40分）
21．解：（1）AF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE；
（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OP＝BF，
∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝，
∴OP＝．
22．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
在△ABE和△BCF中
∴，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF．
23．证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC＝∠ECB＝45°
∴∠BEC＝90°，BE＝CE
∴四边形BECF是正方形．
24．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
25．解：AG2＝GE2+GF2，理由如下：
如图，连接CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，∠BCD＝90°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∵GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴∠GEC＝∠GFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∴GF＝CE，
在Rt△CEG中，GC2＝GE2+EC2，
∴AG2＝GE2+GF2．
26．（1）证明：如图所示，连接EB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠DCE，BC＝CD．
又∵EC＝EC，
∴△EBC≌△EDC（SAS），
∴EB＝ED．
延长FE交AD于N，
∵∠NAE＝45°，EF⊥BC，
∴∠NEA＝45°，即AN＝NE，
∵AB＝AD，AD∥BC，即AB＝NF，
∴ND＝EF，
∵EG⊥ED，
∴∠FEG+∠EGF＝∠FEG+∠NED，
∴∠EGF＝∠NED，
∵∠EFG＝∠END，
∴△EFG≌△DNE（AAS），
∴ED＝EG，
∴EB＝EG．
∵EF⊥BC，
∴BF＝GF；
（2）①证明：如图所示，作GM⊥AC，垂足为M．
∵DE＝DH，∠DEG＝90°，
∴∠EDH＝45°，
∴∠DEH＝67.5°，
∴∠GEH＝22.5°．
又∵∠FEC＝45°，
∴∠FEG＝22.5°，
∴∠FEG＝∠GEM．
∵GF⊥EF，GM⊥EC，
∴GF＝GM．
∵∠MCG＝45°，
∴GC＝GM＝FG；
②解：∵AD∥BC，
由①可知，CG：FG：BF＝：1：1，
∴．
即，
∴＝，
∵BC＝8，
∴AC＝8，
∴CH＝8﹣8，
∴AE＝8﹣8，
∴EH＝8﹣2×（8﹣8）＝16﹣8．
同步自主达标测试（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
2．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
3．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是（ ）
A．（）2020 B．（）2021 C．（）2021 D．（）2020
4．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
7．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF＝AF+DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共11小题，满分44分）
10．如图，正方形ABCD，延长AB至E，使AE＝BD，则∠BCE的度数 ．
11．正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．
12．正方形的对角线长为2cm，则它的周长为 cm．
13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
15．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝ ．
16．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．
17．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝ 时，四边形MENF是正方形．
18． ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得 ABCD为正方形．
19．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为 ．
20．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 （只填写序号）．
三．解答题（共4小题，满分40分）
21．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
23．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
24．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
25．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，连接AG．写出线段AG，GE，GF之间的数量关系，并说明理由．
26．已知，如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，EG⊥ED交BC于点G，EF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：BF＝GF；
（2）如图，若DE＝DH，AB＝8．
①求证：CG＝FG；
②求EH的值．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分40分）
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
2．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．
则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，
∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，
∴∠PAF＝∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选：B．
3．解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，
∴D1E1＝，则B2C2＝（）1，
同理可得：B3C3＝＝（）2，
故正方形AnBn nDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是：（）2020．
故选：D．
4．解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选：B．
5．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
6．解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．解：如图，∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH，EF⊥EH，
∵BD＝2EF，AC＝2EH，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，
选项D满足题意．
故选：D．
8．解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，可以是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．
9．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
二．填空题（共11小题，满分44分）
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
11．解：由图形可得：
S阴影＝ S正方形ABCD＝×4×4＝8．
故答案为：8．
12．解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴2AB2＝（2）2，
∴AB＝2cm，
∴正方形ABCD的周长＝4×2＝8（cm）；
故答案为：8．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，
∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
14．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
15．解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，
∵AG＝1，
∴OG＝OA+AG＝2，
∴GD＝＝，
∴EB＝．故答案为：．
16．解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF＝∠AEF＝90°，∠BMN＝∠QMN＝90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE＝BE＝AE＝AB，BM＝MN＝QM，
同理DQ＝MQ，
∴MN＝BD＝AB，
∴＝＝，
故答案为：．
17．解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
18．解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时， ABCD为正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
19．解：∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形，
点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴矩形ADCF是正方形．
故答案为：∠ACB＝90°．
20．解：有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
三．解答题（共4小题，满分40分）
21．解：（1）AF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE；
（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OP＝BF，
∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝，
∴OP＝．
22．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
在△ABE和△BCF中
∴，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF．
23．证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC＝∠ECB＝45°
∴∠BEC＝90°，BE＝CE
∴四边形BECF是正方形．
24．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
25．解：AG2＝GE2+GF2，理由如下：
如图，连接CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，∠BCD＝90°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∵GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴∠GEC＝∠GFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∴GF＝CE，
在Rt△CEG中，GC2＝GE2+EC2，
∴AG2＝GE2+GF2．
26．（1）证明：如图所示，连接EB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠DCE，BC＝CD．
又∵EC＝EC，
∴△EBC≌△EDC（SAS），
∴EB＝ED．
延长FE交AD于N，
∵∠NAE＝45°，EF⊥BC，
∴∠NEA＝45°，即AN＝NE，
∵AB＝AD，AD∥BC，即AB＝NF，
∴ND＝EF，
∵EG⊥ED，
∴∠FEG+∠EGF＝∠FEG+∠NED，
∴∠EGF＝∠NED，
∵∠EFG＝∠END，
∴△EFG≌△DNE（AAS），
∴ED＝EG，
∴EB＝EG．
∵EF⊥BC，
∴BF＝GF；
（2）①证明：如图所示，作GM⊥AC，垂足为M．
∵DE＝DH，∠DEG＝90°，
∴∠EDH＝45°，
∴∠DEH＝67.5°，
∴∠GEH＝22.5°．
又∵∠FEC＝45°，
∴∠FEG＝22.5°，
∴∠FEG＝∠GEM．
∵GF⊥EF，GM⊥EC，
∴GF＝GM．
∵∠MCG＝45°，
∴GC＝GM＝FG；
②解：∵AD∥BC，
由①可知，CG：FG：BF＝：1：1，
∴．
即，
∴＝，
∵BC＝8，
∴AC＝8，
∴CH＝8﹣8，
∴AE＝8﹣8，
∴EH＝8﹣2×（8﹣8）＝16﹣8．