2021-2022学年北师大版八年级数学下册 1.1等腰三角形 同步自主提升训练(word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步自主提升训练
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
2．下列说法中，正确的有（　　）
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　）
A．17 B．22 C．13 D．17或22
5．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数可以是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．65°
6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（　　）
A．60° B．45° C．30° D．15°
7．如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），则A点的坐标是（　　）
A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）
8．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，下列结论：①DE＝DF；②D是AC的中点；③E是AB的中点；④AB＝BC+CD；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
11．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝　 　度．
12．由坐标平面内的三点，，构成的是________三角形．
13．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__．
14．已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有_______个．
15．等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为　 　．
16如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
17．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
19．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=50°，点D是边BC上一点，CD=2，作∠ADE=50°，D交边AC于点E．求证：BD=CE．
20．已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE＝DF？并给出证明；
（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．
21．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．
22．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG＝AF，连接GF并延长交BC于E．
（1）若∠B＝55°，求∠AFG的度数；
（2）求证：GE⊥BC．
参考答案
1．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
2．解：①等腰三角形的两腰相等，正确；
②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．
故选：D．
3．解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．
故选：B．
4．解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；
∵4+4＜9，∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长＝9+9+4＝22．
故选：B．
5．解：∵∠1＝125°，
∴∠ADE＝180°﹣125°＝55°，
∵DE∥BC，AB＝AC，
∴AD＝AE，∠C＝∠AED，
∴∠AED＝∠ADE＝55°，
又∵∠C＝∠AED，
∴∠C＝55°．
故选：A．
6．解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：D．
7．解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图所示．
∵△AOB是等边三角形，B点的坐标是（3，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝OB＝，
在Rt△ACO中，OA＝3，OC＝，
∴AC＝＝＝，
∴点A的坐标为（，）．
故选：C．
8．解：①∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴DE＝DF，故①正确．
②因为∠A＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD，但BD≠CD，故②错误；
③∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，③正确；
∴④∵BD＝BC，AD＝BD，
∴AD＝BD＝BC，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AD+CD＝BC+CD，故④正确；
①③④正确．
故选：C．
9．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
10．解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
11．解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝102°，
∴∠DAC＝102°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+102°﹣＝180°，
解得：α＝52°．
故答案为：52．
12．等腰直角
【分析】
在网格坐标系中画出三角形，由每一个小的网格是正方形，根据图形的轴对称的性质可得答案；
【详解】
解：如图，
由每一个小的网格是正方形，
关于直线成轴对称，都是等腰直角三角形，
所以：是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
【点睛】
本题考查的是坐标与图形，轴对称图形的性质，等腰直角三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．
13．40°
【分析】
延长CB交l1于点D，得出∠1＝∠3＝80°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求∠2．
【详解】
解：如图，延长CB交l1于点D，
∵AB＝BC，∠C＝30°，
∴∠C＝∠4＝30°，
∵l1∥l2，∠1＝80°，
∴∠1＝∠3＝80°，
∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，
∴∠2＝40°.
故答案为：40°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和，解题关键是熟记相关性质，准确进行推理与计算．
14．5
【分析】
先根据等边三角形的性质得到∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAE=30°，再由平行线的性质得到∠AD=∠CAB=60°，从而得到∠DAC=30°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，即可求解．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB=60°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，
∴60度的角一共有5个，
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2＝100°，
故其顶角的度数为100°或40°．
故填100°或40°．
16．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°．，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD．，
∴∠CBE＝∠BAD．
17．9
【分析】
首先由等边三角形的定义可得，然后利用“三线合一”的性质求出，即可得出结论．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，理解等边三角形的基本性质是解题关键．
18（1）54°，（2）见解析
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴BF＝EF．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．
19．见解析
【分析】
根据“”证明，即可得出结论．
【详解】
证明：∵,
∴,
∵，
∴，
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴,
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解本题的关键．
20．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）CG＝DE+DF
证明：连接AD，
∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，
∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
21．（1）证明：延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，如图1，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CHG和△EDG中，
，
∴△CHG≌△EDG（SAS），
∴CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠EBD＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴∠BED+∠DEG＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠HCG＝∠DEG＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠ABD＝∠ACH，
在△ABD和△ACH中，
，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∵HG＝DG，
∴AG⊥DG；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，如图2，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CMG和△EDG中，
，
∴△CMG≌△EDG（SAS），
∴CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，
∴∠BED＝∠EBD＝180°﹣∠BDE，
∵∠BDE+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BED＝2∠EBD，
∵∠BEC＝∠BED+∠DEG＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BED+∠MCG＝∠BAC+∠ACE，
∵∠MCG＝∠ACM+∠ACE，
∴∠BED+∠ACM+∠ACE＝2∠BED+∠ACE，
∴∠ACM＝∠BED＝∠ABD，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，
∵MG＝DG，
∴AG⊥DG．
22．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝55°，
∴∠GAF＝∠B+∠C＝110°，
∵AG＝AF，
∴∠AFG＝（180°﹣110°）＝35°．
（2）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣55°＝35°，
∴∠DAC＝∠AFG，
∴AD∥FG，
∴GE⊥BC．