17.1.1勾股定理证明方法及基础运用 课件（共31页）

(共31张PPT)
17.1 勾股定理
人教版八下数学
第1课时 勾股定理证法及基础运用
精品同步教学课件
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
问题引入
A、B、C的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
问题引入
勾股定理
1
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的
直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由
三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
弦
股
勾
图1
自主学习
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(1)观察图2-1
正方形A中含有 个
小方格，即A的面积
是 个单位面积.
正方形B的面积是
个单位面积.
正方形C的面积是
个单位面积.
9
9
9
18
自主学习
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
=18(单位面积)
S正方形c
自主学习
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(2)在图2-2中，正方形A，B，
C中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方
形A，B，C的面积之间有
什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
自主学习
A
B
C
a
c
b
Sa+Sb=Sc
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
自主学习
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
自主学习
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边
和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a2＋b2＝c2.
自主学习
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
自主学习
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
自主学习
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
自主学习
例 1
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，
c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：
典例分析
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
典例分析
1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，
斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
(1)
(2)
(3)
解：
课堂练习
勾股定理与面积的关系
2
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角形斜边c为边长的小正方形．
自主学习
归 纳
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以
大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等
的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的
面积又可表示成 ab×4+c2． 因此有(a+b)2= ab×4+
c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足
两直角边的平方和等于斜边的平方．
自主学习
观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形为________；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是________； (用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直
角边的长分别为3和4，分别以
直角三角形的三边长为直径作
半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
例2
典例分析
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
典例分析
(1)24　
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆
形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3
＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
典例分析
1．
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边
形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分
别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
SE＝(122＋162)＋(92＋122)
＝400＋225
＝625.
解：
课堂练习
勾股定理
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1) 已知a=12，b=5，求c；
(2) 已知a=3，c=4，求b；
(3) 已知c=10，b=9，求a．
解：
备选习题
2.一木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端
4 m处.木杆折断之前有多高？
解：由题意得，图中直角三角形斜边长为 =5 (m)，
∴木杆折断之前有3+5=8 (m).
备选习题
3.如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7. AB的
长是多少？
解：在Rt△ABO中，AO=2.4，OB=0.7，由勾股定理得
AB=
故AB的长为2.5.
备选习题
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