第六章 特殊平行四边形专项训练 利用特殊平行四边形的性质巧解动点问题（含答案）

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专项训练
利用特殊平行四边形的性质巧解动点问题
类型一 菱形中的动点问题
1.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为( )
A.4 B. C.6 D.
2.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长，交射线AB于点F，连接BE.
(1)求证：∠FFB=∠CBE；
(2)若∠DAB=90°，△BEF为等腰三角形，求∠EFB的度数.
3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是边AD的中点，M是边AB上的一动点(不与点A重合)，连接ME并延长，交射线CD于点N，连接MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形.
(2)填空：①当AM=_________时，四边形AMDN是矩形.
②当AM=_________时，四边形AMDN是菱形.
③四边形AMDN能为正方形吗 若能，请求出AM的长，并给出证明；若不能，请说明理由.
4.如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(-3，4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，连接BM，边AB交y轴于点H.
(1)如图②，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PM.设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数表达式(要求写出自变量t的取值范围).
(2)在(1)的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形PMB 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
类型二 矩形中的动点问题
5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，速度均为1单位长度/秒，设运动时间为t秒，0≤t≤5.
(1)AE=_________，EF=__________;
(2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形
6.如图①，在矩形ABCD中，E是边AD上的一个动点，F是边BC上的一个动点，连接EF，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处.如图②，把矩形展开铺平，连接BE，FG.判断四边形BEGF的形状，并证明你的结论.
类型三 正方形中的动点问题
7.如图，在平面直角坐标系中，D是正方形OABC的边AB上的动点，OC=6.以AD为一边在AB的右侧作正方形ADEF，连接BF.
(1)请直接写出点A，B的坐标.
(2)在点D的运动过程中，OD与BF是否存在特殊的位置关系 若存在，试写出OD与BF的位置关系，并证明；若不存在，请说明理由.
8.(1)如图①，正方形ABCD的对角线交于点O，E是AC上的一个动点，过点A作AG⊥BE于点G，交BD于点F.求证：OF=OE.
(2)在(1)的条件下，当点E在AC的延长线上时，如图②，OF=OE是否成立 为什么
参考答案
1.B
2.(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD=BC，∠ACD=∠ACB.
在△DCE和△BCE中 ∴△DCE≌△BCE.∴∠CDE=∠CBE.
∵CD∥AB，∴∠CDE=∠EFB.∴∠EFB=∠CBE.
(2)当∠DAB=90°时，四边形ABCD为正方形.分两种情况：
①如图①，当点F在AB的延长线上时.∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF.∴可设∠BEF=∠BFE=x°，则∠ABE=2x°.易得∠ABE=∠ADE=2x°，∴在△ADF中，通过三角形内角和为180°，得90+x+2x=180，解得x=30.∴∠EFB=30°.
②如图②，当点F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB.设∠BEF=∠EBF=y°，则∠AFD=2y°.易得∠AFD=∠FDC=∠EBC，∴y+2y=90，解得y=30.∴∠EFB=120°.
综上所述，∠EFB的度数为30°或120°.
3.(1)∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥MA.∴∠CNDE=∠MAE，∠DNE=∠AME.∵E是边AD的中点，∴DE=AE.∴△NDE≌△MAE.∴ND=MA.又∵ND∥MA，∴四边形AMDN是平行四边形.
(2) ①1 ②2 ③不能
理由：当四边形AMDN为正方形时，它既是矩形又是菱形，而AM=1，AM=2不能同时满足.∴四边形AMDN不能为正方形.
4.(1)∵点A的坐标为(-3，4)，∴∴AB=BC=OC=AO=5.∴点C的坐标为(5，0).设直线AC对应的函数表达式为y=kx+b.将A(-3，4)，C(5，0)代入，
易得：∴∴易得点M的坐标为设点M到BC的距离为h.由 得 解得 ①当点P在线段AB上时，S与t之间的函数表达式为 ”，即
②当点P在线段BC上时，S与t之间的函数表达式为 5)×,即 .
(2)存在 ①当MB=MP时，x点A的坐标为(-3，4)，AB=5，MB=MP，MH⊥AB，∴PH=BH，即3-t=5-3.∴t=1.
②当BM=BP时，即 解得
综上所述，当t=1或时,△PN是以BM为腰的等腰三角形.
5.(1)t 5-2t或2t-5
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°.∴AC= /HCE.∵G，H分别是AB，DC的中点，∴ AB D.∴AG=CH.由题意，得AE=CF，∴AF=CE.在△AFG和△CEH中，∴△ .同理可得GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形.
(3)如图，连接GH.由(2)，可知四边形EGFH是平行四边形.∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，∴易得GH=BC=4.∴当EF=GH=4时，四边形EGFH是矩形.分两种情况：
①0≤t≤2.5时，EF=5-2t=4，解得t=0.5.②2.5＜t≤5时，EF=2t-5=4，解得t=4.5.
∴当t的值为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.
6.四边形BEGF是菱形.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DEF=∠EFB.∵把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处，∴∠EFB=∠EFG，BF=FG.∴∠DEF=∠EFG.∴EG=FG.∴EG=BF.
∵AD∥BC，∴四边形BEGF是平行四边形.又∵BF=FG，∴四边形BEGF是菱形.
7.(1)点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(6，6)
(2)存在 OD⊥BF 延长OD交BF于点G.∵四边形OABC和四边形ADEF都是正方形，∴OA=BA，AD=AF，∠BAF=∠OAD=90°.在△AOD和△ABF中，
∴△AOD≌△ABF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠AOD+∠AFB=90°.∴∠OGF=90°.∴OD⊥BF.
8.(1)∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB，∠AOF=∠BOE=90°.∴∠OBE+∠BEO=90°.∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°.∴∠GAE+∠BEO=90°.∴∠GAE=∠OBE.
在△AOF和△BOE中， ∴△AOF≌△BOE.∴OF=OE.
(2)成立 ∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO，∠AOB=∠BOC=90°.
∴∠OBE+∠BEO=90°.∵AG⊥GE，∴∠AGE=90°.∴∠EAG+∠BEO=90°.∴∠EAG=∠OBE.在△AOF和△BOE中，∴△AOF≌△BOE.∴OF=OE.
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