(共13张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 13.1
沪 科 版
1. 填空：
(1)已知：等腰三角形的一条边长为3 cm，另一
条边长为5 cm，则它的周长是 cm；
(2)已知：等腰三角形的一条边长为2 cm，另一
条边长为5 cm，则它的周长是 cm.
11或13
12
△ABC满足下列条件时，它是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
(1)∠A=∠B=∠C；
2.
解：(1) ∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC是锐角三角形.
(2)∠A+∠B=∠C；
(2) ∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，
解得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
(3)∠A=∠B=30°；
(3) ∵∠A=∠B=30°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-30°-30°=120°，
∴△ABC是钝角三角形.
(4) 设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，
那么x°+2x°+3x°=180°，解得x=30.
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
(4)∠A= ∠B= ∠C.
3. 填空：
(1)已知：△ABC中，∠B+∠C=2∠A，∠B∶
∠A=5∶3，则∠A= ，∠C= ；
(2)△ABC中，∠B=∠C=2∠A，∠C= .
60°
72°
20°
已知：如图，BD是△ABC的中线，AB=5 cm，BC=3 cm，那么△ABD与△CBD的
周长的差是多少？
4.
解：△ABD与△CBD的周长的差=(AB+BD+
AD)-(BC+BD+CD)=AB+AD-BC-CD.
∵BD是中线，∴AD=CD.
∴周长差=AB-BC=5-3=2 (cm).
在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠A大10°，求△ABC中各角的度数.
5.
解：设∠B=x°，则∠A=(x+10)°，∠C=
∠A+10°=(x+20)°，由三角形内角和为180°，得x°+(x+10)°+(x+20)°=180°，解得x=50，∴∠A=60°，∠B=50°，∠C=70°.
在△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，∠B=65°，∠C=50°，求∠ADB的度数.
6.
解：如图所示，
因为∠BAC+∠B+∠C=180°，
∠B=65°，∠C=50°，
所以∠BAC=65°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=32.5°.
所以∠ADB=180°-65°-32.5°=82.5°.
已知：△ABC中，AB=5，BC=2a+1，AC=12.求a的范围.
7.
解：由题意可得12-5<2a+1<12+5，
即7<2a+1<17，∴3
八（上）数学教材习题
习题 13.2
沪 科 版
指出下列命题的条件与结论：
(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相
等；
1.
解：(1)条件：两条平行线被第三条直线所截
形成一对内错角；
结论：这一对内错角相等.
(2)直角三角形的两个锐角互余；
(2)条件：一个三角形是直角三角形；
结论：它的两个锐角互余.
(3)两条直线相交，只有一个交点；
(3)条件：两条直线相交；
结论：它们只有一个交点.
(4)两条直线都垂直于同一条直线，这两条
直线平行.
(4)条件：两条直线都垂直于同一条直线；
结论：这两条直线平行.
判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例：
(1)不等式的两边都乘以同一个数，不等号
的方向不变；
2.
解：(1)假命题，反例：3>2，而3×(-1)<2×
(-1)，不等号方向改变.
(2)互为补角的两个角的平分线互相垂直；
(2)假命题，反例：如图所示，∠AOB与∠BOC
互补且OM平分
∠AOB，ON平分
∠BOC，OM与
ON不垂直.
(3)平行于同一条直线的两条直线平行；
(3)真命题.
(4)若a>b，则 ；
(4)假命题，反例：3>2， .
写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假：
(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为
零；
3.
解：(1)逆命题：如果两个数的和为零，那么
这两个数互为相反数. 真命题.
(2)两个角的和等于平角时，这两个角互为补
角.
(2)逆命题：如果两个角互为补角，那么这两
个角的和等于平角. 真命题.
要证明一个命题是假命题，一般用什么方法？你能举出例子吗？
4.
解：一般用举反例的办法证明，如证明“相等的角是对顶角”是一个假命题，可举这样的反例：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，但这对内错角不是对顶角(答案不唯一).
证明下列各题：
(1)已知：如图(1)，∠A+∠B=180°.
求证：∠C+∠D=180°.
5.
(1)
证明：(1)∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥CB， (同旁内角互补，两直线平行)
∴∠C+∠D=180°.(两直线平行，同旁内角互补)
(2)已知：如图(2)，AB⊥CD. 求证：∠1=∠2.
(2)∵AB⊥CD，
∴∠1=90°，∠2=90°，
∴∠1=∠2.
(2)
1
2
已知：如图，AB∥DC，∠BAD=∠BCD.
求证：AD∥BC.
6.
证明：∵AB∥DC，∴∠D+∠BAD=180°.
(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠BAD=∠BCD，∴∠D+∠BCD=180°.
(等量代换)
∴AD∥BC.(同旁内角互补，
两直线平行)
已知：如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'，BC交A'B'于点D.
求证：∠B=∠B'.
7.
证明：∵AB∥A'B'，∴∠B=∠A'DC.
(两直线平行，同位角相等)
又∵BC∥B'C'，
∴∠B'=∠A'DC.
(两直线平行，同位角相等)
∴∠B=∠B'.(等量代换)
已知：如图，AB∥A'B'，BC∥B'C'，B'C'交AB于点D.
求证：∠B+∠B'=180°.
8.
D
证明：∵AB∥A'B'，∴∠B'+∠ADB'=180°.
(两直线平行，同旁内角互补)
又∵BC∥B'C'，
∴∠B=∠ADB'.
(两直线平行，同位角相等)
∴∠B+∠B'=180°.(等量代换)
D
已知：如图，D是△ABC内一点.
求证：∠BDC >∠A.
9.
证明：如图所示，
延长BD交AC于点E.
∵∠BDC是的△CDE
的一个外角，
E
∴∠BDC >∠DEC.(三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角)
∵∠DEC是的△ABE的一个外角，
∴∠DEC >∠A.(三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角)
∴∠BDC >∠A.
(不等式的传递性)
E(共44张PPT)
八（上）数学教材习题
复习题 13
沪 科 版
判断下列命题是真命题还是假命题：
(1) 三角形的三条高所在直线一定相交于三角
形内； （ ）
(2)三角形的三个内角中至少有两个是锐角.
（ ）
1.
假命题
真命题
2.
写出下列命题的逆命题，并判断原命题和它的逆命题是真命题还是假命题.
(1)对顶角相等；
解：(1)原命题：真命题
逆命题：相等的两个角是对顶角. 假命题.
(2)一个数能被4整除，这个数也能被2整除.
(2)原命题：真命题.
逆命题：一个数能被2整除，这个数也能被4整除. 假命题.
填空：
(1)有4条线段的长度分别是3 cm，7 cm，9 cm
和11 cm，选择其中能组成三角形的三条线
段作三角形，共可作 个不同的三角形；
3.
3
(2) 三角形中，已知两边长为4 cm和8 cm，
还有一边与前面两边长中的一边长相等，
这个三角形周长是 cm；
(3) 如果三角形的一个外角等于140°，且
∠B=∠C，那么∠A= .
20
40°或100°
已知三角形两边长分别为4和5，第三边长为正整数.求第三边长.
4.
解：由三边关系可知5-4<第三边长<5+4.
即1<第三边长<9.因为第三边长为正整数，所以第三边长可以取2，3，4，5，6，7，8这7个正整数中任一个.
已知：如图，△ABC中，∠A=64°.
(1)若△ABC的两个外角
平分线BP，CP交于点P，
求∠P的度数.
5.
解：(1)如图所示，由角平分线及外角性质可知∠1= (∠A+∠ACB)，∠2= (∠A+∠ABC).
在△PBC中，由三角形内角和可知
∠P=180°-(∠1+∠2)=180°-[ (∠A+∠ACB)
+ (∠A+∠ABC) ]
=180°-[∠A+ (∠ABC+
∠ACB) ]
=180°-[∠A+ (180°-∠A) ]
=90°- ∠A
=58°.
(2)如果BP，CP分别是∠B，∠C两内角平分线，求∠P的度数.
(2)如图所示，BP，CP分别平分 ∠ABC，∠ACB.
则∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB.
在△PBC中，由三角形内角和
定理知
∠P=180°-(∠1+∠2)=180°-
=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
=90°+ ∠A
=122°.
(3)如果BP，CP中一个是内角平分线，另一个是外角平分线，求∠P的度数.
(3)如图所示，BP，CP分别
平分 ∠ABC，∠ACD. 则
∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD= (∠A+∠ABC).
∠P =∠2-∠1
= (∠A+∠ABC)- ∠ABC
= ∠A
=32°.
已知：如图，△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE，CF
是两边AC，AB上的高，
它们交于点H，求∠ABE，
∠ACF和∠BHC的度数.
6.
解：△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°.
由∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴在Rt△ABE中，
∠ABE=90°-∠A=30°.
同理可求∠ACF=30°.
∵∠FBH=30°，∠BFH=90°，
∴∠BHC=∠FBH+∠BFH=30°+90°=120°.
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
已知：如图，∠A=33°，∠ABC=83°，∠C=30°，求∠ADC的度数.
7.
解：如图，延长AD交BC于点F.
∵∠ADC=∠DFC+∠C，∠DFC=∠ABC+∠A，
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠ADC=∠C+∠ABC+∠A=30°+
83°+33°=146°.
已知：如图，AB与CD相交于点O，∠1=∠C，∠2=∠D.
求证：AC∥DB.
8.
O
证明：∵∠1=∠C，∠2=∠D.
且∠1=∠2，(对顶角相等)
∴∠C=∠D.(等量代换)
∴AC∥DB.
(内错角相等，两直线平行)
O
已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E . ∠B=38°，∠C=70°.
求∠DAE的度数.
9.
解：在△ABC中，
∠B=38°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=72°.
又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC= ∠BAC=36°.
又∵AE⊥BC，∴∠EAC=90°-∠C=20°.
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=
36°-20°=16°.
已知：如图，在△ABC中，若∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC，DE∥BC，DE交AB于点E.求∠BDE与∠BDC的度数.
10.
解：∵∠A=50°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-(∠A+∠C)
=70°.
又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC=35°.
又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=35°.
在△CDB中，∠BDC=180°-(∠C+
∠DBC)=180°-95°=85°.
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E.
求证：∠CFE=∠CEF.
11.
证明：在△BCE中，∠ACB=90°，
则∠CEF+∠CBE=90°.(直角三角形两锐角互余)
在△BDF中，FD⊥DB，
则∠DBF+∠DFB=90°.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠DBF . (角平分线定义)
∴∠CEF=∠DFB.(等量代换)
又∵∠DFB=∠CFE，(对顶角相等)
∴∠CFE=∠CEF.(等量代换)
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
12.
证明：∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD.
又∵∠B=∠C，
∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B.
∴2∠EAD=2∠B，即∠EAD=∠B.
∴AD∥BC.
(同位角相等，两直线平行)
已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c.
求证：a∥b.
1.
证明：如图，作直线l分
别与 a，b，c相交.
∵a∥c，
∴∠1=∠3.(两直线平行，同位角相等)
又∵b∥c，
∴∠2=∠3.
(两直线平行，同位角相等)
∴∠1=∠2.(等量代换)
∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)
已知：如图，直线a，b，c在同一平面内，a⊥c，b⊥c.
求证：a∥b.
2.
证明：如图，∵a⊥c，
∴∠1=90°.
∵b⊥c，∴∠2=90°.
∴∠1=∠2.
∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)
已知：AB∥CD.
(1)点E在AB与CD之间，如图(1)，问∠A，∠C与∠E有什么关系？
3.
解：(1)如图，过点E作EF∥AB，
则∠AEC=∠AEF+∠CEF.
(1)
又AB∥CD∥ EF，可得∠AEF=∠A,
∠CEF =∠C, 则∠AEC=∠AEF+∠CEF=
∠A+∠C .
(1)
(2)点E在AB与CD之间，如图(2)，问∠A，∠C与∠E又有什么关系？
(2)如图，过点E作EF∥AB，
则∠AEC=∠AEF+∠CEF.
(2)
又AB∥CD∥ EF，可得∠AEF+∠A=180°,
∠CEF +∠C=180°,
则∠AEC+∠A+∠C=
∠AEF+∠A+∠CEF +∠C=
360 °.
(2)
(3)点E在AB与CD之外呢[图(3)]？
(3)如图，过点E作EF∥AB.
易得AB∥CD∥ EF，
则有∠A=∠AEF，∠C=∠CEF.
故∠AEC=∠AEF- ∠CEF=
∠A- ∠C.
F
(3)
(1)已知：图(1)是五角星形.求∠A+∠B+∠C+
∠D+∠E的度数；
4.
(1)
解：(1)如图，∠EFG=∠B+∠D，
∠EGF=∠A+∠C，
在△EFG中，
∠E+∠EFG+∠EGF=180°.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E=180°.
F
G
(1)
(2)已知：图(2)是七角星形.求∠A+∠B+∠C+
∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
4.
(2)如图，∵∠GIA=∠A+∠D，
∠FHE=∠B+∠E，
∴∠3=∠GIA+∠FHE=
∠A+∠D+∠B+∠E.
(2)
又∵∠4=∠C+∠F，
∠G+∠3+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F+∠G=180°.
(2)