(共18张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 15.1
沪 科 版
1. 下面各组中的两个图形是否关于给定的直线
对称？为什么？
解：各组中的两个图形都不关于给定的直线对称，因为各组中的两个图形沿着给定的直线折叠后不能完全重合.
下列各图案是我国几家银行的标志，哪些标志是轴对称图形？若是，请你画出它的所有对称轴.
2.
解：(1)(3)(4)是轴对称图形，对称轴如图所示.
l1
l2
l1
l2
l
在下列各图中适当位置添加小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称：
3.
解：(1)(2)如图所示.
(2)
(3)(4)如图所示.
(3)
(4)
(1)如图，写出四边形ABCD的4个顶点的坐标；
4.
解：(1)A(-2，4)，
B(-3，3)，
C(-4，1)，
D(-1，2).
(2)画出四边形ABCD关于y轴的对称图形
A1B1C1D1；
(2)如图所示.
(3)写出点 A1，B1，C1，D1的坐标；
(3)A1(2，4)，
B1(3，3)，
C1(4，1)，
D1(1，2).
已知长方形ABCD的顶点坐标为A(2，4)，B(6，4)，C(6，2)，D(2，2).
(1)在图(1)中画出长方形ABCD向下平移6
个单位得到的长方形A1B1C1D1，写出点
A1，B1，C1，D1的坐标；
5.
解：(1)如图所示.
A1(2，-2)，
B1(6，-2)，
C1(6，-4)，
D1(2，-4).
(2)在图(2)中画出长方形ABCD关于x轴对称的
长方形A2B2C2D2，写出
点A2，B2，C2，D2的坐标；
(2)如图所示.
A2(2，-4)，B2(6，-4)，
C2(6，-2)，D2(2，-2).
(3)你认为上述两题变换所得的结果是否一样？
为什么？
(3)结果不一样.平移和对称虽不改变图形的形状，但两次变换后所得长方形对应顶点位置不一样.
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
6.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，
并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
解：(1)如图所示.
A1(0，4)，
B1(2，2)，
C1(1，1).
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的
△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(2)如图所示.
A2(6，4)，
B2(4，2)，
C2(5，1).
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.
(3)△A1B1C1和△A2B2C2关于直线 x=3对称，如图所示.
直线 x=3(共7张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 15.2
沪 科 版
已知：如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B，C在x轴上.
(1)若点C的坐标为(3，0)，则点B的坐标是什么？
1.
解：(1)点B的坐标是(-3，0).
(2)若点B的坐标为(m，0)，则点C的坐标是什么？
(2)点C的坐标是(-m，0).
已知：如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长等于多少？
2.
解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=
AE+EC+BC=AC+BC=13.
已知：如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE分别与边AB，BC交于点D，E.求证：AB>AC.
3.
证明：连接CD，∵DE是△ABC的
边BC的垂直平分线，∴BD=CD.
在△ADC中，∵AD+CD>AC,
∴AD+BD>AC, 即AB>AC.
已知：如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE=∠CDE.
4.
证明：连接AE，CE.
∵线段AC的垂直平分线
与线段BD的垂直平分线
相交于点E.
∴AE=CE，BE=DE. 在△ABE与△CDE中，
∵
∴△ABE≌△CDE.(SSS)
∴∠ABE=∠CDE.(共30张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 15.3
沪 科 版
已知：P，Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的度数.
1.
解：∵PQ=AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=∠APQ=
∠PQA=60°，
∵AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP, ∠C=∠QAC,
∵∠APQ=∠B+∠BAP，∴∠B=∠BAP=30°.
同理可得∠C=∠QAC=30°,
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+
∠QAC=120°.
已知：如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在BC，CA，AB上，且AF=BD=CE.
求证：△DEF是等边三角形.
2.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=AC.
∵AF=BD=CE，
∴AB-AF=BC-BD=AC-CE，
即BF=AE=CD. 在△BDF与△AFE中，
∵
∴△BDF≌△AFE.(SAS)
∴DF=FE. 同理可得DF=DE，
∴DF=EF=DE. ∴△DEF是等边三角形.
求证：等腰三角形两个底角平分线的交点到底边两端点的距离相等.
3.
证明：如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC, CE平分∠ACB, BD平分∠ABC,
CE与BD交于点O.
∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,
又∵CE平分∠ACB, BD平分∠ABC,
∴∠OCB= ∠ACB,
∠OBC= ∠ABC,
∴ ∠OCB=∠OBC.
∴ OB=OC.
本节的例4中，这艘船到达B处后继续以
原来速度向北航行，中午某时到达B1处，
从B1处测得礁石C在南偏西60°
的方向上.
(1)画出此时船的位置；
4.
解：(1)如图所示，B1即为此时船的位置.
60°
(2)求从B1处到礁石C的距离.
(2)∵∠B1AC=30°，∠B1BC=60°，
∴∠ACB=∠B1BC－∠B1AC=30°，∴∠ACB=∠BAC.∴BC=AB.
又∵∠B1BC=∠BB1C=60°，∴B1C=BC.
60°
∴B1C=BC=AB=20 (n mile)，
即B1到礁石C的距离为20 n mile.
60°
已知：如图，AC=DB，∠1=∠2，AC与DB相交于点O.
求证：(1)AB=DC.
5.
证明：(1)在△ABC和△DCB中，
∵
∴△ABC≌△DCB.(SAS)
∴AB=DC.
(2)OA=OD.
(2)∵∠1=∠2，
∴OB=OC.
又∵AC=DB,
∴AC－OC=DB－OB.
∴OA=OD.
已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E.求证：△ACE是等腰三角形.
6.
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD.
∵AE∥DC，
∴∠BCD=∠E，∠ACD=∠CAE.
∴∠EAC=∠E.
∴△ACE是等腰三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D, E分别在边BC, AC上，AD=AE, 若∠BAD=30°.求∠EDC的度数.
7.
解：设∠EDC= x°，∠B= y°.
∵AB=AC，∴∠B=∠C= y°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=
( x+ y)°.
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=( x+ y)°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=(x+ y+x)°，
∠ADC=∠B+∠BAD= y°+30°,
∴ (x+ y+x)°=y°+30°.
∴ x=15.
即∠EDC= 15°.
已知：如图，AD是△ABC的中线，∠1=2∠2.
CE⊥AD，BF⊥AD，点E, F为垂足. 求证：EF=BD .
8.
解：∵∠1=2∠2，∠1+∠2=180°，
∴∠1=120°，∠BDF=∠2=60°.
又∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠CED=∠BFD=90°,
∴∠DCE=∠DBF=30°,
∴CD=2DE，BD=2DF .
∵AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD .
∴DE=DF，∴EF=DE+DF=2DF=BD.
解：如图所示，AB=AC=2a, ∠ABC=∠ACB=
15°，过C作CD垂直于BA交BA的延长线于点D.
∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠CAD=30°，
∴在Rt△ACD中，
CD= AC=a.即腰上的高为a.
已知：一个等腰三角形的底角等于15°，
腰长为2a. 求腰上的高 .
9.
已知：如图，点E，F分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，BE=CF，AE与BF交于点G.求∠AGF的度数 .
10.
解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°.
在△ABE和△BCF中，
∵
∴△ABE≌△BCF.(SAS)
∴∠BAE=∠CBF，∴∠AGF=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠CBF=∠ABC=60°.
已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点. 求证：AF⊥CD.
11.
证明：连接AC， AD．在△ABC
和△AED中，
∴△ABC≌△AED.(SAS)
∴AC=AD，
又∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD.
已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F .
求证：(1)CE=CF；
12.
证明：(1)∵△ACM和△CBN是等边三角形，∴AC =MC，CN =CB，∠ACM=∠BCN=60°.
∴∠ACM+∠MCN=
∠BCN+∠MCN，
即∠ACN=∠MCB.
在△ACN和△MCB中，
∵
∴△ACN≌△MCB, (SAS)
∴∠CAN=∠CMB.
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠MCF=∠ACE.
在△ACE和△MCF中，
∵
∴△ACE≌△MCF. (ASA)
∴CE=CF.
(2) EF∥AB .
(2)由(1)知∠ECF=60°，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠FEC=60°=∠ACM,
∴EF∥AB .(共11张PPT)
八（上）数学教材习题
习题 15.4
沪 科 版
已知：如图，C，D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为点E，CF⊥OB，垂足为点F.求证：∠CDE=∠CDF.
1.
证明：∵C，D是∠AOB平分线
上的点，CE⊥OA，CF⊥OB，
∴CE=CF.
在Rt△OCE和Rt△OCF中，
∴Rt△OCE≌Rt△OCF.(HL)
∴∠DCE=∠DCF.
∵
在△CDE和△CDF中，
∵
∴△CDE≌△CDF，(SAS)
∴∠CDE=∠CDF.
已知：如图，BD平分∠ABC，且AB=CB，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，点M, N为垂足. 求证：PM=PN.
2.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∵
∴△ABD≌△CBD.(SAS)
∴∠ADB=∠CDB. ∴DB平分∠ADC.
又∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN.
已知：如图，△ABC的外角∠EBC，∠BCF的平分线交于点D.
求证：AD是∠BAC的平分线.
3.
证明：如图所示，过点D分别作直线AB，AC，BC的垂线，垂足分别为M，N，G.
∵BD平分∠EBC，CD平分∠BCF，∴DM=DG，DN=DG.∴DM=DN.
又∵DM⊥AE，DN⊥AF，
∴AD是∠BAC的平分线.
G
M
N
到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？各是如何找到的？
4.
解：有4个. 作内角的平分线，三个内角的平分线的交点是符合条件的一个点；作外角的平分线，外角的平分线相交得到的三个点都是符合条件的点.
已知：如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线上一点，PC∥OA，交OB于点C，PD⊥
OA，垂足为点D. 如果PC=4，求PD的长.
5.
解：过点P作PE⊥OB于点E.
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PE=PD.
∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°，
在Rt△CEP中，PC=4，
∴PE=2.∴PD=2 .(共58张PPT)
八（上）数学教材习题
复习题 15
沪 科 版
已知：点A(a，b)与点B(c，d) .
(1)如果点A，B关于 y 轴对称，那么a，b，c，
d 应满足什么条件？
1.
解：(1)a+c=0(a≠0,c≠0)，b=d .
(2)如果点A，B关于 x 轴对称，那么a，b，c，
d 应满足什么条件？
(2)b+d=0(b≠0,d≠0)，a=c .
直线l 与直线 y=2x关于 y轴对称，写出直线 l所表示的函数表达式.
2.
解：直线 l所表示的函数表达式为 y=-2x .
已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点.△EAD为等腰直角三角形，∠AED=90°.
试猜想线段BE和EC的
关系，并证明你的猜想.
3.
解：BE=EC. 证明如下：
∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AC=2DC，∴AB=DC.
∵△EAD为等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠EAD=∠EDA=
45°，
∵∠BAE=∠BAC+∠DAE=135°，
∠CDE=180°－∠EDA=135°，
∴∠BAE=∠CDE .
在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE.(SAS) ∴BE=CE.
已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上中线，AB的垂直平分线交AD于点O，∠B的平分线交AD于点I.
求证：(1)OA=OB=OC；
4.
证明：(1)如图所示，
∵AB=AC，AD是BC边上中线，
∴AD⊥BC，即AD是线段BC的垂直平分线，
∴OB=OC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
又∵AB的垂直平分线交AD于点O，
∴OA=OB.(线段垂直平分线上的
点到线段两端的距离相等)
∴OA=OB=OC .
(2)点I到BC，CA，AB的距离相等.
(2)由(1)知，AD是∠BAC的平分线，
∴点I到AB，AC的距离相等，
又∵∠ABC的平分线交AD于点I，
∴点I到AB，BC的距离相等，
∴点I到BC，CA，AB的距离相等.
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足.求证：AD垂直平分EF .
5.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，即点D是EF
垂直平分线上的点.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD.(HL)
∴AE=AF，即点A是EF
垂直平分线上的点.
∴AD垂直平分EF .
已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线. 点E在BC的延长线上，使CE=CD.
求证：DB=DE.
6.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD是∠ABC的平分线.
∴∠DBC=30°.
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°，
∴∠CDE=∠E=30°.
∴∠DBC=∠E.
∴DB=DE .
求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形.
7.
证明：如图所示，在△ABC中，CE⊥AB，交AB于点E，BD⊥AC，交AC于点D.
CE=BD.
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
∵CE=BD(已知)，BC=CB(公共边).
∴Rt△BCE≌Rt△CBD.(HL)
∴∠EBC=∠DCB .
∴AB=AC .
即△ABC为等腰三角形.
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，DF⊥AC,
垂足分别是E，F . 求证：DE +DF= BC .
8.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=30°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
DE= BD, DF= DC,
∵BD+DC=BC,
∴DE +DF= BC .
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E、交BC于点F.求证：BF=2CF.
9.
证明：如图，连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.
∵EF垂直平分AC，∴AF=CF，
∴∠FAC=∠C=30°.
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=90°.
在Rt△ABF中，∵∠B=30°,
∴BF=2AF，
∴BF=2CF.
已知：如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.
10.
证明：如图，过点C作CF⊥AB，
交AB于点F.
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，∴CD=CF=CE.
在Rt△ACD和Rt△ACF中，
∵CD=CF(已证), AC=AC(公共边).
∴Rt△ACD≌Rt△ACF.(HL)
∴ AD=AF .
同理可得BE=BF .
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BE.
已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=AB，作DE⊥BC，点E在边AC上.求证：
(1)BE平分∠ABC；
11.
证明：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，
∵AB=DB(已知)， BE=BE(公共边).
∴Rt△ABE≌Rt△DBE.(HL)
∴∠ABE=∠DBE.
∴BE平分∠ABC .
(2) AE=ED=DC .
(2)由(1)知Rt△ABE≌Rt△DBE，∴AE=DE.
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°,
∴∠DEC=90°－∠C=45°，
即∠DEC=∠C.
∴ED=DC . ∴AE=ED=DC .
已知：如图，在△ABC中，以它的边AB，AC为边，分别在形外作等边三角形ABD，ACE，连接BE，DC. 求证：BE=DC.
12.
证明：∵△ABD，△ACE
是等边三角形，
∴AB=AD, AE=AC,
∠DAB=∠CAE=60°.
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠CAE+
∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE.
在△ABE和△ADC中，
∵
∴△ABE≌△ADC.(SAS) ∴ BE=DC.
已知：如图，线段CD与∠AOB，通过作图求一点P，使PC=PD，并且点
P到∠AOB两边的距离相等.
13.
E
M
N
P
解：作法如图所示，
(1)作∠AOB的平分线OE;
(2)作线段CD的垂直平分
线MN，交OE于点P.
点P即为所求.
已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与边AB上的点D重合.要使D恰好为AB的中点，问还需增加一个什么
条件？说出你增加的
条件及依据.
14.
解：还需要增加的条件是∠A=30°.
依据：在Rt△ABC中，因为∠A=30°，
∴BA=2BC，根据折叠可知
BC=BD，
∴BA=2BD,
即D为AB的中点 .
根据下列点的坐标变化，判断它们进行了怎样的变换？
(1)(-3，-1)→(3，-1)；
(2)(-5，6)→(-5，1)；
1.
解：(1)向右平移6个单位或关于y轴对称.
(2)沿y轴向下平移5个单位.
(3)(4，3)→(4，-3)；
(4)(2，-3)→(3，-2)；
(3)向下平移6个单位或关于x轴对称.
(4)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位(或先向上平移1个单位，再向右平移1个单位).
BD是△ABC的角平分线，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E.求证：∠EAB=∠EBC.
2.
证明：如图所示.
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB.
又∵∠EAB=∠1+∠EDB,
∠EBC=∠2+∠EBD,
∴∠EAB=∠EBC.
已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O，点C, D在直线MN上，∠1=∠2=45°.
(1)若点C与点O重合[图(1)]，请直接写出
AC与BD的数量关系和位置关系；
3.
解：AC=BD，AC⊥BD.
(1)
解析：∵∠1=∠2=45°
∴∠DOB=∠1=45°.∴∠DBO=90°.
∴△DBO为等腰直角三角形.
∴OB=DB，OB⊥DB
又∵O是线段AB的中点，点C与点O重合，
∴AC=OB=BD，AC⊥BD.
(1)
(2)若点C，D不与点O重合[图(2)]，求证：
AC=BD，AC⊥BD.
证明：过点A作AE⊥AC交MN于点E，
则有∠AEC=∠1=∠2=45°，∴AE=AC.
∵O是线段AB的中点，
∴OA=OB.
E
(2)
在△AOE和△BOD中，
∵
∴△AOE≌△BOD.(AAS)
∴AE=BD，
∴AC=BD.
E
(2)
∵∠AEC=∠2，
∴AE∥BD.
又∵AE⊥AC，
∴AC⊥BD.
E
(2)
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D, E是边AB上的两点，且AD=AC，BE=BC.
求证：∠DCE=45°.
4.
证明：设∠BCD=∠1, ∠DCE=∠2,∠ACE=∠3,
∵AD=AC,∴∠ADC=∠2+∠3.
∵BE=BC,∴∠BEC=∠2+∠1.
在△DEC中，∠EDC+∠DEC+∠2=180°，
即∠2+∠3+∠2+∠1+∠2=180°，①
又∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°.②
由①②可得，2∠2=90°，
∴∠2=45°.即∠DCE=45°.
已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AC上，点E在边AB的延长线上，使BE=CD,DE交BC于点P.求证：PD=PE.
5.
证明：过点D作DF平行AE，
交CB于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CFD=∠CBA=60°=∠C，
F
∴CD=DF=BE, 在△DFP和△EBP中，
∵
∴△DFP≌△EBP.(AAS)
∴PD=PE.
F
(1)已知：如图(1)，在△ABC中，∠ABC,
∠ACB的平分线交于点O,过点O的直线
DE∥BC, DE分别与AB，AC交于点D, E.
求证：BD+CE=DE.
6.
(1)证明：∵BO平分∠ABC, ∴∠OBD=∠OBC,
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC,
∴∠OBD=∠DOB，
∴BD=OD.
同理可得OE=CE.
∵OD+OE=DE, ∴BD+CE=DE.
(2)将(1)题条件“∠ACB的平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，如图(2)所示.原来的关系式BD+CE=DE还成立吗？如果不成立，你能推断出BD，CE，DE存在的数量
关系式吗？请证明你的推断.
(2)解：不成立，BD-CE=DE. 证明如下：
∵BO平分∠ABC, ∴∠OBD=∠OBC.
∵DO∥BC, ∴∠DOB=∠OBC,
即 ∠OBD=∠DOB，
∴BD=OD.
∵CO是∠ACB的外角平分线, ∴∠ACO=∠OCF,
∵DO∥BC, ∴∠DOC=∠OCF,
即 ∠ACO=∠DOC，
∴CE=OE.
∴BD-CE=OD-OE=DE.
已知：等腰三角形ABC中，AB=AC.
(1)P为底边BC上任一点，自点P向两腰所在直
线作垂线PE，PF，点E，F为垂足.求证：
PE+PF等于定值；
1.
证明：如图所示，连接AP，设△ABC的腰AB上的高为h, 则S△ABC=S△ABP+S△ACP,
即 AB·h= AB·EP+ AC·FP,
∵AB=AC，∴PE+PF=h
∴PE+PF等于定值.
(2)证得(1)中的结论后，请你对本章A组复习题
第8题的条件和你原来的证明方法进行反思.
解：本章A组复习题第8题是本题的一个特例，点D是底边的中点.运用本题的方法也可以证明.
解：如图所示，连接AP，设△ABC的腰AB上的高为h, 则S△ABC=S△ABP-S△ACP,
即 AB·h= AB·EP - AC·FP,
∵AB=AC，∴PE-PF=h.
∴点P在BC的延长线上时, PE-PF等于定值.
(3)若点P在底边BC的延长线上时，情况如何？
已知：等边三角形ABC.
(1)P为△ABC内任一点，自点P向三边所在直
线作垂线PD，PE，PF，点D，E，F为垂足.
求证：PD+PE+PF等于定值；
2.
(1)证明：如图所示，连接AP，BP，CP，设△ABC的边AB上的高为h, 则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP,
即 AB·h= AB·EP + AC·FP+
BC·DP. ∵AB=AC=BC，
∴PD+PE+PF=h , 即PD+PE+PF等于定值.
解：如图所示，连接AP，BP，CP，设△ABC的边AB上的高为h, 则
S△ABC=S△ABP+S△BCP-S△ACP,
即 AB·h= AB·EP + BC·DP-
AC·FP,
(2)若点P在△ABC外时，情况如何？
∵AB=AC=BC，
∴PD+PE-PF=h ,
即当点P在△ABC外时，PD+
PE-PF等于定值.
