人教版八年级数学 下册 第十八章 平行四边形 单元综合与测试题 B卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学 下册 第十八章 平行四边形 单元综合与测试题 B卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 331.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-25 13:13:08 | ||
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文档简介
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第十八章 平行四边形 单元复习与检测题 B卷（含答案）
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（ ）
A．4＜α＜16 B．14＜α＜26 C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）.
A．45° B．35°
C．22.5° D．15.5°
3.将矩形纸片按如图的方式折叠，使点B与点D都与对角线AC的中点O重合，得到菱形，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD
C．OA=OB D．OA=AD
5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（ ）
A．6cm B．9cm
C．3cm D．12cm
7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
8.如图，在中，于点E，于点D；点F是AB的中点，连结DF，EF，设，，则
B．
C． D．
9.如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
10.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
填空题（每小题4分，共20分）
11.已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
12.如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝______．
13.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
14.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为_________．
15.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
三、解答题（16-20小题，每小题8分；21-22小题，每小题10分）
16.如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．
17.如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等 先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，并加以证明．
结论：BF＝______．
证明：
18.如图，在 ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
19.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD.
(1)求证：四边形OBFE是平行四边形；
(2)当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
20.如图，在中，垂足为点是外角的平分线，，垂足为点．
求证：四边形为矩形；
当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
21.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F,
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
22.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.
(1)若点A(x，y)是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t.
①不管t为何值，E点总是“完美点”；
②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由.
参考答案：
一、1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.C
二、11.
【详解】
分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
详解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长=cm．
故答案为．
12.4
【分析】
由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】
解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
13.AD=BC．
【详解】
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．
解：条件是AD=BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
14.1
【详解】
试题分析：根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，则周长=（7+4+5）×=1．
考点：三角形中位线的性质．
15.18．
【详解】
试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．
考点：三角形中位线定理．
三、16.（1）证明见解析；（2）25°．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠C＝∠A，由平行线的性质可得∠C＝∠ADE，从而∠A＝∠ADE；
（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.
【详解】
证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB＝BC，D为AC中点，
∴∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°.
17.BF=AE，证明见解析.
【分析】
猜想：BF=AE．根据已知及矩形的性质利用AAS判定△BFC≌△EAB，从而得到BF=AE．
【详解】
解：猜想：BF=AE．
证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=90°．
∵CF⊥BE．
∴∠A=∠BFC=90°，∠AEB=∠FBC．
∵BC=BE（同一半径）．
∴△BFC≌△EAB．
∴BF=AE．
18.证明见解析.
【分析】
利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OE//CF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥BC，且OE=BC．
又∵CF=BC，∴OE=CF．
又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
19.(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，即可得出四边形OBFE是平行四边形；
(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形. 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题．
【详解】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF，
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形；
(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形.
理由：由(1)可知，四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFE是矩形．
20.（1）证明见解析；（2）当满足时，四边形是一个正方形，证明见解析．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据正方形的判定即可得．
【详解】
（1）在中，，
（等腰三角形的三线合一），
是外角的平分线，
，
，
又，
，
四边形为矩形；
（2）当满足时，四边形是一个正方形，证明如下：
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形，
故当时，四边形是一个正方形．
21.（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
22.(1)A(2，2)；(2)①证明见解析；②当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.
【分析】
（1）根据“完美点”定义可求点A坐标；（2）①由题意可求直线OB的解析式y=x，点E在直线OB上移动，则可证结论；②根据题意可证△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，则可求四边形AFQP的面积．
【详解】
解(1)∵点A(x，y)是“完美点”
∴x=y
∵x+y=4
∴x=2，y=2
∴A点坐标(2，2)
(2)①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，
∴AO=AB=BC=4∴B(4，4)
设直线OB解析式y=kx过B点
∴4=4k，k=1
∴直线OB解析式y=x
设点E坐标(x，y)
∵点E在直线OB上移动
∴x=y
∴不管t为何值，E点总是“完美点”.
②∵E点总是“完美点”.
∴EQ=OQ
∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x轴
∴四边形AOQP是矩形
∴AP=OQ，AO=PQ=4
∴AP=EQ
∵AE⊥EF
∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°
∴∠FEQ=∠EAP
∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°
∴△APE≌△EFQ
∴PE=FQ
∵S四边形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8
∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.
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第十八章 平行四边形 单元复习与检测题 B卷（含答案）
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（ ）
A．4＜α＜16 B．14＜α＜26 C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）.
A．45° B．35°
C．22.5° D．15.5°
3.将矩形纸片按如图的方式折叠，使点B与点D都与对角线AC的中点O重合，得到菱形，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD
C．OA=OB D．OA=AD
5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（ ）
A．6cm B．9cm
C．3cm D．12cm
7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
8.如图，在中，于点E，于点D；点F是AB的中点，连结DF，EF，设，，则
B．
C． D．
9.如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
10.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
填空题（每小题4分，共20分）
11.已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
12.如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝______．
13.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
14.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为_________．
15.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
三、解答题（16-20小题，每小题8分；21-22小题，每小题10分）
16.如图，已知△ABC中，AB＝BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝65°，求∠BDE的度数．
17.如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等 先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，并加以证明．
结论：BF＝______．
证明：
18.如图，在 ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
19.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD.
(1)求证：四边形OBFE是平行四边形；
(2)当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
20.如图，在中，垂足为点是外角的平分线，，垂足为点．
求证：四边形为矩形；
当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
21.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F,
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
22.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”.
(1)若点A(x，y)是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t.
①不管t为何值，E点总是“完美点”；
②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由.
参考答案：
一、1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.C
二、11.
【详解】
分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
详解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长=cm．
故答案为．
12.4
【分析】
由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】
解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
13.AD=BC．
【详解】
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．
解：条件是AD=BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
14.1
【详解】
试题分析：根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，则周长=（7+4+5）×=1．
考点：三角形中位线的性质．
15.18．
【详解】
试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．
考点：三角形中位线定理．
三、16.（1）证明见解析；（2）25°．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得∠C＝∠A，由平行线的性质可得∠C＝∠ADE，从而∠A＝∠ADE；
（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.
【详解】
证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）∵△ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AB＝BC，D为AC中点，
∴∠EBD＝∠DBC=∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°.
17.BF=AE，证明见解析.
【分析】
猜想：BF=AE．根据已知及矩形的性质利用AAS判定△BFC≌△EAB，从而得到BF=AE．
【详解】
解：猜想：BF=AE．
证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=90°．
∵CF⊥BE．
∴∠A=∠BFC=90°，∠AEB=∠FBC．
∵BC=BE（同一半径）．
∴△BFC≌△EAB．
∴BF=AE．
18.证明见解析.
【分析】
利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OE//CF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥BC，且OE=BC．
又∵CF=BC，∴OE=CF．
又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
19.(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，即可得出四边形OBFE是平行四边形；
(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形. 只要证明∠EOB＝90°即可解决问题．
【详解】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF，
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形；
(2)当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形.
理由：由(1)可知，四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFE是矩形．
20.（1）证明见解析；（2）当满足时，四边形是一个正方形，证明见解析．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据正方形的判定即可得．
【详解】
（1）在中，，
（等腰三角形的三线合一），
是外角的平分线，
，
，
又，
，
四边形为矩形；
（2）当满足时，四边形是一个正方形，证明如下：
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形，
故当时，四边形是一个正方形．
21.（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
22.(1)A(2，2)；(2)①证明见解析；②当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.
【分析】
（1）根据“完美点”定义可求点A坐标；（2）①由题意可求直线OB的解析式y=x，点E在直线OB上移动，则可证结论；②根据题意可证△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，则可求四边形AFQP的面积．
【详解】
解(1)∵点A(x，y)是“完美点”
∴x=y
∵x+y=4
∴x=2，y=2
∴A点坐标(2，2)
(2)①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为(0，4)，
∴AO=AB=BC=4∴B(4，4)
设直线OB解析式y=kx过B点
∴4=4k，k=1
∴直线OB解析式y=x
设点E坐标(x，y)
∵点E在直线OB上移动
∴x=y
∴不管t为何值，E点总是“完美点”.
②∵E点总是“完美点”.
∴EQ=OQ
∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x轴
∴四边形AOQP是矩形
∴AP=OQ，AO=PQ=4
∴AP=EQ
∵AE⊥EF
∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°
∴∠FEQ=∠EAP
∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°
∴△APE≌△EFQ
∴PE=FQ
∵S四边形AFQP= =2(PE+EQ)=2×PQ=8
∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.
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