28.2 解直角三角形及其应用复习专题（含解析）
文档属性
| 名称 | 28.2 解直角三角形及其应用复习专题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-25 15:11:55 | ||
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文档简介
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九年级下学期《解直角三角形》应用专题
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋 东莞市期末）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
2．（2021秋 耒阳市期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
3．（2021秋 徐汇区期末）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2021秋 历下区期末）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（ ）（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米
5．（2021秋 历下区期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）
A．8m B．4m C．8m D．m
6．（2021秋 长春期末）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．6cosα B． C．6sinα D．
7．（2021秋 盐湖区期末）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
二．填空题（共1小题）
8．（2020 自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
三．解答题（共12小题）
9．（2021秋 瑶海区期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
10．（2021秋 杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
11．（2021秋 澧县期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°～≈0.80，tan37°≈0.75）
12、（2021秋 门头沟区期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
13．（2021秋 莲池区期末）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB＝40m．求乙楼CD的高度．（结果精确到1m）
14．（2021 自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）
15．（2016 自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
16．（2015 自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
17．（2014 自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
18．（2010 自贡）如图，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格线中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长．（参考数据sin32°≈0.5cos32°≈0.8tan32°≈0.6）
19．（2010 西藏）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到0.01m）
20．（2008 自贡）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（参考数据：≈1.41≈1.73）？
《解直角三角形》应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋 东莞市期末）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB＝60米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝30（米），
∵AB＝60米，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）米，
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝（60﹣30）米，
在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝（60﹣30）米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝30﹣（60﹣30）＝（30﹣30）米，
答：教学楼BC的高度为（30﹣30）米．
故选：C．
2．（2021秋 耒阳市期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
【解答】解：∵堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：＝BC：AC，
∴AC＝BC＝4（米），
故选：A．
3．（2021秋 徐汇区期末）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：因为从点A看点B的俯角与从点B看点A的仰角互为内错角，大小相等．
所以无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，
小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是50°．
故选：B．
4．（2021秋 历下区期末）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（ ）（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米
【解答】解：在Rt△APD中，∠DPA＝30°，AP＝10千米，∠ADP＝90°，cos∠DPA＝cos30°＝，
∴AD＝AP＝×10＝5（千米），PD＝AP cos30°＝10×＝5（千米），
在Rt△BPD中，tan∠DPB＝tan45°＝，
∴BD＝PD tan45°＝5×1＝5（千米），
∴AB＝BD﹣AD＝5﹣5≈8.5﹣5＝3.5（千米），
故选：D．
5．（2021秋 历下区期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）
A．8m B．4m C．8m D．m
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，
∴AC＝BC＝4（m），
故选：B．
6．（2021秋 长春期末）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．6cosα B． C．6sinα D．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6米，∠ABC＝α，
∵cos∠ABC＝，
∴AB＝＝，
故选：B．
7．（2021秋 盐湖区期末）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，AC＝40海里，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，AC＝40海里，
∴AD＝CD＝×40＝40（海里），
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，AD＝40海里，
∴BD＝AD＝40（海里），
∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里，
故选：D．
二．填空题（共1小题）
8．（2020 自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 6 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
三．解答题（共12小题）
9．（2021秋 瑶海区期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：由题意可知：∠BAD＝30°，∠EAD＝60°，CE＝3m，AD＝80m，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝80m，
∴BD＝AD tan30°＝80×＝（m），
在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，AD＝80米，
∴ED＝AD tan60°＝80（m），
∴BC＝BD+ED+CE＝+80+3≈188（m），
即这栋楼的高度BC约为188m．
10．（2021秋 杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
则DF＝EB，FB＝DE＝20米，
∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡顶D到BC的距离DE＝20米，
∴CE＝3DE＝60（米），
∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，
∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，
∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），
∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），
即建筑物AB的高度约为68米．
11．（2021秋 澧县期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°～≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝37°，∠BCD＝45°，BD＝8米，
∴Rt△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝8米，
在Rt△ACD中，AD＝CD tan∠ACD≈8×0.75＝6（米），
∴AB＝AD+BD＝14米，
∴国旗匀速上升的速度约为（14﹣2.5）÷46＝0.25（米/秒），
答：国旗匀速上升的速度约为0.25米/秒．
12．（2021秋 门头沟区期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
【解答】解：由题意得：AB＝70米，CF＝1.5米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴MB＝AB＝70米，
在Rt△BCM中，∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
∴BC＝BM＝35（米），
∴MC＝BC＝35（米），
∴MF＝CF+CM＝（35+1.5）米．
即永定楼的高MF为（35+1.5）米．
13．（2021秋 莲池区期末）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB＝40m．求乙楼CD的高度．（结果精确到1m）
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝40m，
在Rt△AED中，AE＝＝＝（m），
在Rt△ACE中，CE＝AE tan30°＝×＝（m），
∴CD＝DE+CE＝40+≈53（m）．
答：乙楼CD的高约为53m．
14．（2021 自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）
【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD＝≈18.05（米）．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
15．（2016 自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，
设CD＝x米．
在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，
所以tan25°＝＝0.5，
所以AD＝＝2x．
Rt△BDC中，∠DBC＝60°，
由tan 60°＝＝，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
16．（2015 自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，
∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．
17．（2014 自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
【解答】解：在Rt△DEB中，DE＝BE tan45°＝2.7米，
在Rt△CEB中，CE＝BE tan30°＝0.9米，
则CD＝DE﹣CE＝2.7﹣0.9≈1.2米．
故塑像CD的高度大约为1.2米．
18．（2010 自贡）如图，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格线中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长．（参考数据sin32°≈0.5cos32°≈0.8tan32°≈0.6）
【解答】解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F．
则△ABE和△AFD均为直角三角形．
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝32°，
sin∠ABE＝，（3分）
∴AB＝＝＝40．
∵∠FAD＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠BAE＝∠α，
∴∠FAD＝∠α＝32°．
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝，
AD＝＝＝50．
∴长方形卡片ABCD的周长为（40+50）×2＝180（mm）．
19．（2010 西藏）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到0.01m）
【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，
则CE为河宽设CE＝x（米），
于是BE＝x+60（米），
在Rt△BCE中tan30°＝，
∴x＝x+60，
∴x＝30（+1）
≈81.96（米）．
答：河宽约为81.96米．
20．（2008 自贡）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（参考数据：≈1.41≈1.73）？
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D
∴AD＝CD cot45°＝CD
BD＝CD cot30°＝CD
∵BD+AD＝AB＝2
即CD+CD＝2
∴≈1.73﹣1＝0.73＞0.6
答：修的公路不会穿越小区，故该小区居民不需搬迁．
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九年级下学期《解直角三角形》应用专题
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋 东莞市期末）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
2．（2021秋 耒阳市期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
3．（2021秋 徐汇区期末）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2021秋 历下区期末）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（ ）（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米
5．（2021秋 历下区期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）
A．8m B．4m C．8m D．m
6．（2021秋 长春期末）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．6cosα B． C．6sinα D．
7．（2021秋 盐湖区期末）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
二．填空题（共1小题）
8．（2020 自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
三．解答题（共12小题）
9．（2021秋 瑶海区期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
10．（2021秋 杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
11．（2021秋 澧县期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°～≈0.80，tan37°≈0.75）
12、（2021秋 门头沟区期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
13．（2021秋 莲池区期末）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB＝40m．求乙楼CD的高度．（结果精确到1m）
14．（2021 自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）
15．（2016 自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
16．（2015 自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
17．（2014 自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
18．（2010 自贡）如图，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格线中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长．（参考数据sin32°≈0.5cos32°≈0.8tan32°≈0.6）
19．（2010 西藏）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到0.01m）
20．（2008 自贡）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（参考数据：≈1.41≈1.73）？
《解直角三角形》应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋 东莞市期末）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB＝60米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝30（米），
∵AB＝60米，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）米，
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝（60﹣30）米，
在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝（60﹣30）米，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝30﹣（60﹣30）＝（30﹣30）米，
答：教学楼BC的高度为（30﹣30）米．
故选：C．
2．（2021秋 耒阳市期末）河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
【解答】解：∵堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：＝BC：AC，
∴AC＝BC＝4（米），
故选：A．
3．（2021秋 徐汇区期末）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：因为从点A看点B的俯角与从点B看点A的仰角互为内错角，大小相等．
所以无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，
小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是50°．
故选：B．
4．（2021秋 历下区期末）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（ ）（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米
【解答】解：在Rt△APD中，∠DPA＝30°，AP＝10千米，∠ADP＝90°，cos∠DPA＝cos30°＝，
∴AD＝AP＝×10＝5（千米），PD＝AP cos30°＝10×＝5（千米），
在Rt△BPD中，tan∠DPB＝tan45°＝，
∴BD＝PD tan45°＝5×1＝5（千米），
∴AB＝BD﹣AD＝5﹣5≈8.5﹣5＝3.5（千米），
故选：D．
5．（2021秋 历下区期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）
A．8m B．4m C．8m D．m
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，
∴AC＝BC＝4（m），
故选：B．
6．（2021秋 长春期末）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．6cosα B． C．6sinα D．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6米，∠ABC＝α，
∵cos∠ABC＝，
∴AB＝＝，
故选：B．
7．（2021秋 盐湖区期末）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（ ）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，AC＝40海里，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，AC＝40海里，
∴AD＝CD＝×40＝40（海里），
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，AD＝40海里，
∴BD＝AD＝40（海里），
∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里，
故选：D．
二．填空题（共1小题）
8．（2020 自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 6 米（结果保留根号）．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
三．解答题（共12小题）
9．（2021秋 瑶海区期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：由题意可知：∠BAD＝30°，∠EAD＝60°，CE＝3m，AD＝80m，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝80m，
∴BD＝AD tan30°＝80×＝（m），
在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，AD＝80米，
∴ED＝AD tan60°＝80（m），
∴BC＝BD+ED+CE＝+80+3≈188（m），
即这栋楼的高度BC约为188m．
10．（2021秋 杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
则DF＝EB，FB＝DE＝20米，
∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡顶D到BC的距离DE＝20米，
∴CE＝3DE＝60（米），
∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，
∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，
∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），
∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），
即建筑物AB的高度约为68米．
11．（2021秋 澧县期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°～≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝37°，∠BCD＝45°，BD＝8米，
∴Rt△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝8米，
在Rt△ACD中，AD＝CD tan∠ACD≈8×0.75＝6（米），
∴AB＝AD+BD＝14米，
∴国旗匀速上升的速度约为（14﹣2.5）÷46＝0.25（米/秒），
答：国旗匀速上升的速度约为0.25米/秒．
12．（2021秋 门头沟区期末）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
【解答】解：由题意得：AB＝70米，CF＝1.5米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴MB＝AB＝70米，
在Rt△BCM中，∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
∴BC＝BM＝35（米），
∴MC＝BC＝35（米），
∴MF＝CF+CM＝（35+1.5）米．
即永定楼的高MF为（35+1.5）米．
13．（2021秋 莲池区期末）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB＝40m．求乙楼CD的高度．（结果精确到1m）
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝40m，
在Rt△AED中，AE＝＝＝（m），
在Rt△ACE中，CE＝AE tan30°＝×＝（m），
∴CD＝DE+CE＝40+≈53（m）．
答：乙楼CD的高约为53m．
14．（2021 自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）
【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD＝≈18.05（米）．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
15．（2016 自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，
设CD＝x米．
在Rt△ADC中，∠DAC＝25°，
所以tan25°＝＝0.5，
所以AD＝＝2x．
Rt△BDC中，∠DBC＝60°，
由tan 60°＝＝，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
16．（2015 自贡）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，
∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.30．
答：河宽为68.30米．
17．（2014 自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
【解答】解：在Rt△DEB中，DE＝BE tan45°＝2.7米，
在Rt△CEB中，CE＝BE tan30°＝0.9米，
则CD＝DE﹣CE＝2.7﹣0.9≈1.2米．
故塑像CD的高度大约为1.2米．
18．（2010 自贡）如图，把一张长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格线中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长．（参考数据sin32°≈0.5cos32°≈0.8tan32°≈0.6）
【解答】解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F．
则△ABE和△AFD均为直角三角形．
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝32°，
sin∠ABE＝，（3分）
∴AB＝＝＝40．
∵∠FAD＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠BAE＝∠α，
∴∠FAD＝∠α＝32°．
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝，
AD＝＝＝50．
∴长方形卡片ABCD的周长为（40+50）×2＝180（mm）．
19．（2010 西藏）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到0.01m）
【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，
则CE为河宽设CE＝x（米），
于是BE＝x+60（米），
在Rt△BCE中tan30°＝，
∴x＝x+60，
∴x＝30（+1）
≈81.96（米）．
答：河宽约为81.96米．
20．（2008 自贡）我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（参考数据：≈1.41≈1.73）？
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D
∴AD＝CD cot45°＝CD
BD＝CD cot30°＝CD
∵BD+AD＝AB＝2
即CD+CD＝2
∴≈1.73﹣1＝0.73＞0.6
答：修的公路不会穿越小区，故该小区居民不需搬迁．
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