南通市如皋、镇江市2021-2022学年高三上学期期末教学质量调研联考
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}，Q＝{1，3，5}，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
2．“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，且P(3≤X≤5)＝0.86，则P(X＜3)＝
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
4．已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为
A． B． C．－ D．
5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2022＝
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为
A．1 B． C． D．－1
7．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线 上，且满＝2，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．2
8．已知x＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．关于复数(i为虚数单位)，下列说法正确的是
A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D． (z＋1)3＝i
10．已知函数f(x)＝2(cosx＋sinx)cosx－1，则下列说法正确的是
A．f(x)≥f(π) B．
C． D．f(1)＞f(2)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
11．如右图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1．下列说法正确的是
A．事件A1，A2是互斥事件
B．事件A1，A2是独立事件
C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)
D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
12．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是
A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．展开式中的常数项为 ．
14．已知圆O：x2＋y2＝1，M，N，P是圆O上的三个动点，且满足∠MON＝，＝λ，则·＝ ．
15．已知抛物线y2＝8x，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若AB＝9，＝λ，则λ＝ ．
16．已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，则点A到平面BCD的距离为 ，该三棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD＝10，2AC＝3AD＝AB，cos∠CAD＝．
(1)求AD的长；
(2)求sinB．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn．
(1)求a2n；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
19．(本小题满分12分)
已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．
(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；
(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
20．(本小题镇分12分)
如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点．
(1)证明：NB⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)
设椭圆E：(a＞b＞0)经过点M(，)，离心率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点N(1，0)且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线x＝4的交点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值．
22．(本小题满分12分)
设f(x)＝xex－mx2，m∈R．
(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；
(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2．
高三数学试题2021－2022学年度高三年级第一学期期末教学质量调研
数 学 试 题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合P＝{x|log6(x＋1)＜1，x∈N}，Q＝{1，3，5}，M＝P∪Q，则集合 M中的元素
共有
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
2．“函数 f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知随机变量 X服从正态分布 N(4，σ2)，且 P(3≤X≤5)＝0.86，则 P(X＜3)＝
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
0.07，故答案选 D．
4．已知 sin(α π) 1＋ ＝ ，则 sin(2α π＋ )的值为
3 2 6
高三数学试题 第 1 页 (共 16 页)
A 1． B 1 3 3． C．－ D．
2 2 2 2
5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则 a2022＝
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y＝4x－3，则函数 y＝f(x)
的极大值为
A．1 B 5 C 25．－ ．－ D．－1
27 27
x2 y27．已知双曲线 － ＝1，过左焦点 F作一条渐近线的垂线，记垂足为 P，点 Q在双曲线 上，
a2 b2
→FP →且满 ＝2FQ，则双曲线的离心率为
A． 6 B． 2 C． 3 D．2
高三数学试题 第 2 页 (共 16 页)
8．已知 x＝ e，b＝3－ln4 c 3， ＝ ，则下列选项正确的是
2
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9 1 3．关于复数z＝－ ＋ i(i为虚数单位)，下列说法正确的是
2 2
A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D． (z＋1)3＝i
高三数学试题 第 3 页 (共 16 页)
10．已知函数 f(x)＝2(cosx＋sinx)cosx－1，则下列说法正确的是
A．f(x) 5 π π≥f( π) B．f( ＋x)＝f( －x)
8 8 8
C π．f( ＋x)＋f(π－x)＝0 D．f(1)＞f(2)
8 8
11．如右图所示，是一个 3×3九宫格，现从这 9个数字中随机挑出 3个不同的数字，记事
件 A1：恰好挑出的是 1、2、3；记事件 A2：恰好挑出的是 1、4、7；记事件 A3：挑出的数字
里含有数字 1．下列说法正确的是
高三数学试题 第 4 页 (共 16 页)
A．事件 A1，A2是互斥事件 1 2 3
B．事件 A1，A2是独立事件 4 5 6
C．P(A1|A3)＝P(A2|A3) 7 8 9
D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)
12．瑞士数学家欧拉(Euler)在 1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角
形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们
把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点 A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为 x－y＋2＝0，
则下列说法正确的是
A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点 C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC 4 2的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为(－ ， )
3 3
高三数学试题 第 5 页 (共 16 页)
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20分。
13 (x 1 3． ＋ ＋2) 展开式中的常数项为 ．
x
14．已知圆 O：x2＋y2
→ →
＝1，M，N，P π是圆 O上的三个动点，且满足∠MON＝ ，OP＝λMN，
2
P→M →则 ·PN＝ ．
高三数学试题 第 6 页 (共 16 页)
→ →
15．已知抛物线 y2＝8x，过焦点的直线与抛物线交于 A，B两点，若 AB＝9，AF＝λFB，则
λ＝ ．
16 π π．已知三棱锥 D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝ ，∠BAC＝ ，则点 A
2 3
到平面 BCD的距离为 ，该三棱锥的外接球的体积为 ．
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高三数学试题 第 8 页 (共 16 页)
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
1
已知在△ABC中，D为边 BC上一点，CD＝10，2AC＝3AD＝ 3AB，cos∠CAD＝ ．
3
(1)求 AD的长；
(2)求 sinB．
C
A D
B
【解析】
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高三数学试题 第 10 页 (共 16 页)
18．(本小题满分 12分)
已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)n n．
(1)求 a2n；
(2) b 1设 n＝ ，求数列{bn}的前 n项和．
a2n·a2(n＋1)
【解析】
19．(本小题满分 12分)
已知盒子里有 6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各
两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记 1分；取
到白球记 2分；取到黑球记 3分．
(1)若从中连续取 3个球，求恰好取到 3种颜色球的概率；
高三数学试题 第 11 页 (共 16 页)
(2)若从中连续取 3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
【解析】
高三数学试题 第 12 页 (共 16 页)
20．(本小题镇分 12分)
如图，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，底面 ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝ 2BC＝
4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC
2
1＝ ，M，N分别是棱 B1C1，A1B1的中点．
4
(1)证明：NB⊥平面 A1B1C1；
(2)求直线 AM与平面 BB1C1C所成角的正弦值．
【解析】
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21．(本小题满分 12分)
E x
2 y2 1 3
设椭圆 ： ＋ ＝1(a＞b＞0)经过点 M( 3， )，离心率为 ．
a2 b2 2 2
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)设椭圆 E的右顶点为 A，过定点 N(1，0)且斜率不为 0的直线与椭圆 E交于 B，C两点，
设直线 AB，AC与直线 x＝4的交点分别为 P，Q，求△APQ面积的最小值．
【解析】
高三数学试题 第 14 页 (共 16 页)
22．(本小题满分 12分)
设 f(x)＝xex－mx2，m∈R．
(1)设 g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数 y＝g(x)的单调性；
(2)若函数 y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点 x1，x2，证明：x1＋x2＞2．
【解析】
(1)
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方法二：
高三数学试题 第 16 页 (共 16 页)
