辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案解析）

辽宁省县级重点高中协作体2021~2022学年上学期期末考试
高三数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．（1，4） B．（1，2） C． D．
2．复数的实部与虚部之和为（ ）
А．1 B．－1 C．3 D．－3
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若P（0，1）为圆的弦MN的中点，则直线MN的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数与函数都在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知堑堵中，，．若堑堵外接球的表面积是，则堑堵体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，则的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论错误的是（ ）
A．该款服装这3个月的销售额逐月递减
B该款服装这3个月的销售总额为23.69万元
C．该款服装8月份和9月份的销售额相同
D．该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若没有零点，则
B．若恰有2个零点，则
C．若恰有3个零点，则或
D．若）恰有4个零点，则
12．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值可以为（ ）
A．1 B．e C．4 D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量，，且，则______．
14．的展开式中的系数是______．（用数字作答）
15．在三棱锥中，底面ABC，，，，则PB与平面PAC所成角的正切值为______．
16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A
（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（12分）
某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图．若日用电量不低于200度，则称这一天的用电量超标．
（1）从这15天中随机抽取4天，求抽取的4天中至少有3天的日用电量超标的概率；
（2）从这15天的样本数据中随机抽取4天的日用电量数据，记这4天中日用电量超标的天数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）
在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，E，F分别是棱AB，PC的中点．
（1）证明：平面PAD．
（2）若，，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）
如图，某水域的两条直线型岸边，的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC（B，C分别在，上），围出养殖区．
（1）若，求养殖区面积（单位：）的最大值；
（2）若是锐角三角形，且，求养殖区面积（单位：）的取值范围．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．
22．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线．
（2）过点D（2，0）的直线交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M．证明：存在定点N，使得为定值．
辽宁省县级重点高中协作体2021~2022学年上学期期末考试
高三数学试卷参考答案
1．D 由题意可得，则．
2．A 因为，所以复数的实部与虚部之和为．
3．A 由，得，则；由，得，即．故“”是“”充分不必要条件
4．C 圆的圆心为C（－1，0），则．因为，所以，故直线MN的方程为．
5．B由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点（4，3）在该双曲线上．设该双曲线的方程为，则解得，，故该双曲线的标准方程是．
6．A 因为，，所以．因为，
所以，所以，故．
7．A 令，解得，
则的单调递增区间为．
令，解得，
则的单调递增区间为，
则，故．
8．B 设，则．由题意易知堑堵外接球的球心是矩形的中心，
则堑堵外接球的半径R满足，
从而，解得，即．
设，，则，故，当且仅当时，等号成立，
故堑堵的体积．
9．BCD ，当且仅当时，等号成立．
10．ABD 由题意可知该款服装7月份、8月份、9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元，
则这3个月的销售总额为24万元，故A，B，D错误，C正确．
11．AC 当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，
则的零点个数等于直线与函数图象的交点个数．
作出函数的大致图象（如图所示），由图可知A，C正确；B，D错误
12．CD 由题意可知函数的定义域为，从而等价于，
即转化为函数的图象恒在函数的图象上方．
结合的图象（图略）可知，当直线与曲线相切时，k取得最小值．
设直线与曲线相切时，切点为．
因为，所以，则，整理得．
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增，
从而．
当时，，，所以，
当时，，则方程有唯一解，
即A（1，8），从而，故．
13． 由题意可得．因为，所以，
即，解得．
14． 的展开式的通项为．
令，得，则．
15． 如图，取AC的中点D，连接BD，PD．因为，所以．
又底面ABC，所以，所以平面PAC，则为PB与平面PAC所成的角．
因为，，，所以，，故．
16． 由题意可得，则，解得，故直线的方程为．
联立整理．
设，，则，．
因为，所以，所以，则，解得，
从而，故的面积是．
17．解：（1）设数列的公差为d，
则，解得，．故．
（2）由等差数列前n项和公式可得，
则．
故．
18解：（1）从这15天中随机抽取4天的情况有种，
其中符合条件的情况有种，
故所求概率．
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，，
，，．
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故．
19．（1）证明：取CD的中点G，连接EG，FG．
因为F，G分别是被PC，CD的中点，所以，所以平面PAD．
因为，且E、G分别是棱AB，CD的中点，所以，所以平面PAD．
因为EG，平面EFG，且，所以平面平面PAD．
因为平面EFG，所以平面PAD．
（2）解：以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．
设，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），E（1，0，0），P（0，0，2）．
因为F是棱PC的中点，所以F（1，1，1），所以，，
，．
设平面AEF的法向量为
则，令，得．
设平面CDF的法向量为，
则，令，得．
设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为，
则．
20．解：（1）由题意可知，．
在中，由定理可得，
即．
因为，所以，即．
故的面积．
即养殖区面积的最大值为．
（2）因为，，所以的面积．
在中，由正弦定理可得，
则．
因为是锐角三角形，所以所以
所以，所以，
则，即．
故，即面积的取值范围是．
21．解：（1）当时，，则．
从而，因为，
所以所求切线方程为，
即（或）．
（2）设，
则．
当时，因为，所以，，
所以在上单调递减，则，符合题意．
当时，设，，，
所以存在唯一的，使得，
即存在，使得．
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，不符合题．综上，a的取值范围为．
22．（1）解：由题得，化简得，
所以C是中心在原点，焦点在x轴上，不含左、右顶点的椭圆．
（2）证明：由（1）知直线与x轴不重合，可设：，
联立得．
设，，
则，，，
所以．
因为，，所以直线QG的斜率为，
所以直线QG的方程为，所以直线QG过定点．
因为，所以为直角三角形，
取OH的中点，则，即为定值．
综上，存在定点，使得为定值．