山西省太原市2022届高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 山西省太原市2022届高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 479.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-25 16:46:12 | ||
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文档简介
太原市2022届高三上学期期末考试
数学试卷（文科）
（考试时间：上午7：30-9：30）
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分.
第I卷（选择题共60分）
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）
1.复数（ ）
A. B.
C. D.
2.已知集合，则集合中整数的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列函数不是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A.内有无数条直线与平行
B.垂直于同一平面
C.平行于同一条直线
D.内的任何直线都与平行
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量满足，则（ ）
A.1 B. C. D.2
7.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马 中等马 下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获胜，则田忌获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
9.某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是上底为2，下底为4，底角为的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知为正实数，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.4
11.已知函数的定义域为，且既是奇函数又是增函数，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12.给出下列四个结论：
①；
②的最小正周期为；
③；
④点和点分别在函数和的图象上，则两点距离的最小值为.
则所有正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.等差数列中，，则的通项公式为__________.
14.已知为锐角，，则__________.
15.已知四面体中，，其余各棱长均为6，则四面体外接球的表面积为__________.
16.函数恰好有三个不同的零点，则的值为__________.
三 解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.17-21题为必考题，每个考题考生必须作答.22，23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知分别是内角的对边，，且.
（1）求角；
（2）若，求边.
18.（本小题满分12分）
已知数列中，.
（1）求，并证明为等比数列；
（2）求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：
喜欢 不喜欢
男生 50 10
女生 30 20
（1）根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？
（2）现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4】坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，.求证：为定值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5】不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使成立，求实数的取值范围.
太原市2022届高三上学期期末考试
数学试题参考答案及评分标准（文科）
一 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C D A C B A B A D C
二 填空题：
13. 14. 15. 16.6
三 解答题：
17.解（1）由余弦定理得，
又，
所以.
（2），
由正弦定理得，解得.
18.解（1），
由条件可得，
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，
19.解：（1）因为，
所以有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关.
（2）根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人.
男生有5人分别记为，女生有3人分别记为，
从8人中任去2人得结果共有，
ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，28种，其中至少有一名女生的结果
有种，
所求概率为.
20.证明（1）取的中点，连接，则，且，
又因为，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
因为为等边三角形，为中点，
所以，
又平面，所以，
所以平面，
由得平面.
（2）因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
因为，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，
所以，
，
所以到平面PAB的距离为.
21.（1），
令，即单调递增，
令，即单调递减
（2）恒成立，
等价于恒成立，
设，
设，
在单调递减，
又
在上，在上
在单增，在单减，
，
.
22.[选修4-4坐标系与参数方程]
解：（1）由得曲线的普通方程为.
（2）设两点对应的参数分别为，
将（为参数）代入
得：，
由韦达定理得：，
，
.
故为定值1.
23.[选修4-5不等式选讲]（10分）
解：（1）由得
或或，
即或或，
解得，
的解集为.
（2）
由与的图象可知或.
数学试卷（文科）
（考试时间：上午7：30-9：30）
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分.
第I卷（选择题共60分）
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）
1.复数（ ）
A. B.
C. D.
2.已知集合，则集合中整数的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列函数不是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A.内有无数条直线与平行
B.垂直于同一平面
C.平行于同一条直线
D.内的任何直线都与平行
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量满足，则（ ）
A.1 B. C. D.2
7.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马 中等马 下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获胜，则田忌获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
9.某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是上底为2，下底为4，底角为的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知为正实数，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.4
11.已知函数的定义域为，且既是奇函数又是增函数，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12.给出下列四个结论：
①；
②的最小正周期为；
③；
④点和点分别在函数和的图象上，则两点距离的最小值为.
则所有正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.等差数列中，，则的通项公式为__________.
14.已知为锐角，，则__________.
15.已知四面体中，，其余各棱长均为6，则四面体外接球的表面积为__________.
16.函数恰好有三个不同的零点，则的值为__________.
三 解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.17-21题为必考题，每个考题考生必须作答.22，23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知分别是内角的对边，，且.
（1）求角；
（2）若，求边.
18.（本小题满分12分）
已知数列中，.
（1）求，并证明为等比数列；
（2）求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：
喜欢 不喜欢
男生 50 10
女生 30 20
（1）根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？
（2）现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4】坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，.求证：为定值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5】不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使成立，求实数的取值范围.
太原市2022届高三上学期期末考试
数学试题参考答案及评分标准（文科）
一 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C D A C B A B A D C
二 填空题：
13. 14. 15. 16.6
三 解答题：
17.解（1）由余弦定理得，
又，
所以.
（2），
由正弦定理得，解得.
18.解（1），
由条件可得，
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，
19.解：（1）因为，
所以有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关.
（2）根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人.
男生有5人分别记为，女生有3人分别记为，
从8人中任去2人得结果共有，
ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，28种，其中至少有一名女生的结果
有种，
所求概率为.
20.证明（1）取的中点，连接，则，且，
又因为，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
因为为等边三角形，为中点，
所以，
又平面，所以，
所以平面，
由得平面.
（2）因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
因为，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，
所以，
，
所以到平面PAB的距离为.
21.（1），
令，即单调递增，
令，即单调递减
（2）恒成立，
等价于恒成立，
设，
设，
在单调递减，
又
在上，在上
在单增，在单减，
，
.
22.[选修4-4坐标系与参数方程]
解：（1）由得曲线的普通方程为.
（2）设两点对应的参数分别为，
将（为参数）代入
得：，
由韦达定理得：，
，
.
故为定值1.
23.[选修4-5不等式选讲]（10分）
解：（1）由得
或或，
即或或，
解得，
的解集为.
（2）
由与的图象可知或.
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