(共8张PPT)
内容
数学语言
全等形能够完全重合的两个图形叫作全等形.全等用符号“≌”表示
定义:能够完全重合的两个三角形如图,△ABC≌△DEF,则
D
叫作全等三角形
边AB、BC、AC的对应边分
全等
别为DE、EF、DF
角形对应元素全等三角形中互相重合的∠B、∠C的对应角分别是B
边叫作对应边,互相重合的角叫作对
D、∠E、∠F;点A、B、C的对应点分别是点D、
应角,互相重合的顶点叫作对应顶点
性质全等三角形的对应边相等,对应若△ABC≌△DEF,则AB=DE,BC=EF,AC
角相等
DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
当堂检测
下列图形中,属于全等形的是
A
B
2若△ABC≌△DEF,△DEF的周长为13,AB
BC=7,则AC的长为
B.4
C.5
D.6
解:△BOD与△COE的对应边
为:BO与CO,OD与OE
BD与CE;△ADO与
△AEO的对应角为
DAO与∠EAO,∠ADOB
与∠AEO,∠AOD与∠AOE
6如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B
50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长
解:∵在△ABC中,∠A
E
D
30°,∠B=50°
∠ACB=180°
A
B
∠A
B
180
30°-50
100°
△ABC≌△DEF,
DFE=∠ACB
100°,EF=BC,∴EF一CF=BC-CF,即
EC=BF.BF=2,∴EC=2(共10张PPT)
内容
应用格式
图例
两边及其夹角分别相
AB=AB
“边角边”等的两个三角形全在△ABC和△ABC中,∠B=∠B',
(SAS)等,简记为“边角边”
BC=BC
或“SAS
△ABC≌△A'BC'(SAS)
(1)“SAS”中的角必须是两条边的夹角,而不是其中一边的对
角,两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全1.5cm
易错提醒等(填“定或“不一定”)如图所示的两个三角形的两组边及
条边的对角对应相等,很明显这两个三角形不全等
(2)利用“SAS”证明两个三角形全等,列举全等的条件时,一般把夹角相等写在中间,以
突出此角是两边的夹角
证明:(1)∵点O是线段AB和
线段CD的中点,∴AO=BO
CO=DO.在△AOD和△BOC
AO=BO
中
AOD=∠BOC
DO=CO
△AOD≌△BOC(SAS(共8张PPT)
内容
应用格式
图例
两角及其夹边分别相
B=∠B,
角边角”等的两个三角形全在△ABC和△ABC中,BC=BC,
(ASA)等,简记为“角边角
C=∠C
或“ASA
△ABC≌△ABC'(ASA)
易错(1)“ASA”中的边必须是两个角所夹的边
提醒(2)利用“ASA”证明两个三角形全等,列举全等的条件时,一般把夹边相等写在中间,以
突出边角的位置及对应关系,避免出错
4如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线
且AD⊥BC.由以上条件可得△ABD
△ACD,依据是“ASA”,根据全等三角
形的性质还可得∠B=
C
BD
CD
AB= AC
5如图,点D、A、C在同一直线上,AB∥CE,AB=
CD,∠B=∠D,求证:△ABC≌△CDE
证明
AB
CE
D
∠BAC=∠DCE.在
△ABC和△CDE中,B
∠B
AB=CD
BAC
DCE
6如图,已知AB⊥DC于点B,∠A=∠D,BD=
BA.求证:DE=AC
证明:AB⊥DC,
A
DBE=∠ABC=90°
E
在△DBE和△ABC中
∠D=∠A
D
C
B
BD=BA
∠DBE=∠ABC,(共10张PPT)
内容
应用格式
图例
AB=AB
三边分别相等的两个
边边边
在△ABC和△ABC中,∵AC=AC
角形全等,简记为“边边
(SSS)
C=BC
边”或“SSs”
△ABC≌△ABC(SSS)
在所给的两个三角形中,如果有两边对应相等,而又没有角对应相等时,往往通过寻找或
构造另一组边也相等,从而利用“SSS”"证明全等得到边相等的方法有:①公共边;②等线
解题策略
段加(或减)等线段,其和(或差)仍相等;③由中点得到线段相等;④由全等三角形得到对
应边相等
J典例导学
例如图,AC=BD,AB=DC求证:∠A
分析:由于题目所给条件中的相等线段并不
在已知图形的三角形中,要证∠A=∠D,便可想
到连接BC,构造全等条件中的公共边,证△ABC
证明:连接BC
在△ABC和△DCB中
AB=DC,
RAC=DB
BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∠A=∠D
当堂检测
如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由
“sSSS”可直接判定
B
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D以上答案都不对
4(教材P105练习T3变式)如图,AB=DE,AC
DF,点E、C在直线BF上,且BE=CF.求证:
△ABC≌△DEF
证明:BE=CF,∴BE
EC=CF+EC,即BC
EF.在△ABC和△DEF
BC=EF
E
中,AB=DE
AC=DF
5如图,在△ABC中,AB=AC,分别以B、C为圆
心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点
D,连接BD、CD、AD求证:AD平分∠BAC
证明:由题意得BD=CD
BC在△ABD和△ACD中,
B
AB=AC
AD=AD
△ABD
BD=CD
△ACD(SSS),
BAD
D(共9张PPT)
内容
应用格式
图例
两角分别相等且其中一组在△ABC和△ABC‘中,
角角边”等角的对边相等的两个
A=∠A',
B
(AAS)角形全等,简记为“角角
BC=B'C
边”或“AAS
△ABC≌△ABC'(AAS)
“ASA”和两个三角形,如果具备两个角和一边对应相等,就可判定其全等,但其中“对应”必不可
“AAS"的少,也就是说假如一个三角形中相等的边是两角的夹边,而另一个三角形中相等的边是
联系其中一等角的对边,则这两个三角形不一定全等
证明两个三角形全等常需要角相等这个条件,目前所学可得角相等的方法:①公共角、对
解题策略顶角分别相等;②等角加(减)等角,其和(差)仍相等;③同角或等角的余(补)角相等
④角平分线得到角相等;⑤由平行线得同位角、内错角相等;⑥垂直定义得直角相等
2如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD
的是
A BD= AB=AC
B.∠ADB=∠ADC,BD=CD
A
D
C.∠B
C BDECD
D.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD
B
B
C
E(共10张PPT)
知识要点判定两个直角三角形全等的定理—“斜边、直角边
内容
应用格式
图例
斜边和一条直角边分别在Rt△ABC和Rt△A'BC'中
斜边、
直角边”相等的两个直角三角形.AB=AB′
全等,简记为“斜边、直
BC=BC
(HL)
角边”或“HL”
Rt△ABC≌Rt△A'BC(HL)
易错提醒应用“HL”判断两个直角三角形全等,书写时必须在两个三角形前加上“Rt”
在用一般方法证明时,因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件,故只需找另
解题策略外两个条件即可在实际证明中可根据条件灵活运用“SSs"“SAs”ASA”“AAS”或“HL”,
不要只拘泥于“HL
证明:∠ACB=∠BDA=90°,
C
∴△ABD,△BAC都是直角三
角形.在Rt△ABD和Rt△BAC
A
B
中,∵AD=BC,AB=BA,∴Rt△ABD≌Rt△BAC
(L),∴∠DBA=∠CAB.又∵AB∥CD
DBA,∠2=∠CAB,∴∠1=∠2
当堂检测冒
如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB、AC的
距离OE、OF相等,则△AEO≌△AFO的依据
是
A
AHL
BAAS
D.ASA
2判定两个直角三角形全等的方法不正确的有
A.两条直角边对应相等
B斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D两个锐角对应相等(共10张PPT)
证明两个要使两个三角形全等,至少需要三个条件,其中必有边相等的条件,且三个条件必
角形全满足一定的对应关系如下列情况就不能判定两个三角形全等:①三对量不是对应关系
等的条件②“AAA”和“SSA”不能判定全等
基本模型
共边型①共边型②共边型③对折型平移型共角型对角型旋转型三垂直模型①三垂直模型②三垂直模型③
①公共边或公共角相等;②对顶角相等;③等边加(减)等边,所得线段相等;④等角加
隐含条/(减)等角,所得角相等;⑤同角或等角的余(补角相等;⑥由中线或角平分线得到的线段
或角相等;⑦由垂直定义得出直角相等;⑧自然界中的一些自然规律,如“光的反射角等
于入射角”等
1在△ABC和△DEF中,下列各组条件中,若能
判定这两个三角形全等,则在后面的括号内打
”;若不能,则在后面的括号内打“×”
(1)AB=DE,BC=EF,∠B=∠E.(
(2AB= DE, BC=EF, CA=FD
(3)∠A=∠D,∠B=∠E,CA=FD.(
(4)AB=DE,∠A=∠D,BC=EF.(
(5)∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.(
A
E
C
B
△ABC≌△ADC(SSS),
∠BAE
DAE
在△ABE和△ADE中,
AB=AD
BAE
DAE
AE=AE
△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE
