(共7张PPT)
要盧归纳
知识要点轴对称图形
轴对称图形的概念
如果一个平面图形沿着一条直线折叠,直线
两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫作
轴对称图形,这条直线叫作对称轴
2轴对称图形的性质
轴对称图形中,对称轴两旁的部分全等,即
对应线段相等,对应角相等
当堂检测凵
1下列交通标志中,是轴对称图形的是
(①④
A
B
C(共12张PPT)
知识要点2轴对称
1轴对称的概念
平面内两个图形在一条直线的两旁,如果沿
着这条直线折叠,这两个图形能够重合,那么
称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴折
叠后重合的两点叫作对应点(也叫对称点
(2)联系:①都能沿某条直线翻折后互相重叠,
即两者的对应线段相等,对应角相等
②若把成轴对称的两个图形看成一个整体,那
么它也是一个轴对称图形;若把轴对称图形沿
对称轴分成两部分,那么这两部分也可看成关
于这条直线成轴对称
知识要点3轴对称作图
AOA
1.轴对称作图的步骤(一找B
二作三连)
(1)找:在原图形上找特殊点C
(如图中四边形的各顶点A,B,
D
D
C, D)
典例导学
团例如图,将一个长方形纸片ABCD沿着
BE折叠,使C、D两点分别落在点C1、D1处.若
C1BA=50°,则∠ABE的度数为多少
分析:由“折叠前后对应角相等”得∠C1BE
CBE,设∠ABE=x,利用∠ABC=∠ABE十
CBE=90°列方程即可求解
解:设∠ABE=x,则∠C1BE
D
D
∠C1BA+∠ABE=50°+x
根据折叠前后对应角相等可c<0/
知∠CBE=∠C1BE=50°+x
因为∠ABE+∠CBE
B
∠ABC=90°,所以x+50°+x=90°,解得x
20°,即∠ABE=20
当堂检测
1如图,△ABC与△DEF关于直线MN对称,则
以下结论中不一定成立的是
A,AB∥DF
B/B
E
CAB=DE
D.MN垂直平分AD
M
B
B
C
N
M
B
C(共7张PPT)
要点归纳
知识要点1关于x轴或y轴对称的点的坐标的
规律
关于x轴对称
点P'(
点P(x,y)
关于y轴对称
点P(x一,
解题策略:可根据关于两坐标轴对称点的
横、纵坐标之间的关系,列方程或方程组求未知
字母的值(如T3)
知识要点2在坐标系中作轴对称图形
只要找到一些特殊点(如多边形的顶点)的
对称点,描出并连接这些点,就可以得到这个图
形的轴对称图形
当堂检测
1.点M(-2,1)关于x轴的对称点N的坐标是
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(-2,-1)
D.(2,-1)
2.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图
所示若△ABC与△ABC关于y轴对称,则点
A的对应点A的坐标是
B
A.(一3,2)
B.(3,2)
D.(3,-2)
4-C lO
3(教材P149复习题T1变式)已知点A(2a-b
5+a),B(2b-1,-a十b).
(1)若点A,B关于x轴对称,则a
(2)若点A,B关于y轴对称,则(4a+b)218=
解:A(-3,2),
B(-4,-3)
C(-1,-1)
△A1B1C1如图所
示,A1(3,2),
B1(4,-3),C1(1,
1)
3
101234x
B
B
3-21O1234
B(共9张PPT)
内容
图例
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离直线l是线段AB的垂直平分线
性质相等
P为l上一点,则PA=PB;反过
判定|到线段两端距离相等的点在线段的垂直平来,若PA=PB,则点P在线段
分线上
AB的垂直平分线上
(1)三角形中与线段垂直平分线结合求周长:一般利用线段垂直平分线的性质进行线段
解题
间的转化,把三角形的周长转化成两条线段的和或者是一条线段的长如图,已知DE
策略
垂直平分BC,则有C△ABE=AB+BE+AE=AB+(CE+AE)=AB+AC
2)当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时,这条直线就是该线段的
垂直平分线(如T7)
拓展三角形三边的垂直平分线交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等(共19张PPT)
内容
应用格式
图例
如图,若AB=AC,则∠B=∠C.推
等腰三角形的两底角
定理1
导方法:过点A作BC边的垂线,利用
相等,简称“等边对等角
“HL”判定△ABD≌△ACD
如图,①∵AB=AC,D为BC边的中点
等腰三角形顶角的平分线
特殊的等腰三角形
∴AD
BC,AD平分∠BAC;②
垂直平分底边.即等腰
AB=AC,AD为∠BAC的平分线,∴BD
定理2角形的顶角平分线底边上的
CD.AD
BC;③∵AB
中线、底边上的高重
AC,AD⊥BC,∴BD
CD.AD
等边三角形
合,简称“三线合
平分∠BAC
对称性等腰三角形是轴对称图形腰和底不相等的等腰三角形有
条
对称轴
等腰直角三角形
(1)等腰三角形中求角的度数
①若没有指出所给的锐角是顶角还是底角,要分两种情况讨论(如例1);若已给出一内角是
直角或钝角,则此角必为顶角
②若无法直接求出,有时需利用方程思想,结合内、外角的性质及多次利用“等边对等角”的
解题性质求解(如例2)
策略(2)等腰三角形中辅助线的作法
①作顶角的平分线(或底边上的高、中线)是最常见的辅助线,作辅助线时要结合已知条件
选择恰当的作法(如例3)
②若已知一条线段满足“平分角、垂直于某线段、平分同一条线段”中的任意两条,往往就要
想到构造等腰三角形来求解
典例导学
圆1等腰三角形的一个内角是50°,则这个
三角形的底角的大小是
(A
A.65°或50°
B.80°或40°
C.65°或80°
D.50°或80°
例3】如图,已知AB=AC,BD⊥AC于点
D求证:∠DBC
2分析:求证中涉及∠BAC,不妨作∠BAC的
平分线AE,根据等腰三角形“三线合一”的性质
知AE⊥BC,只要证得∠DBC与∠CAE或
BAE相等即可,这一点可利用“同角的余角相
等”得出
D
B
C
分析:求证中涉及∠BAC,不妨作∠BAC的
平分线AE,根据等腰三角形“三线合一”的性质
知AE⊥BC,只要证得∠DBC与∠CAE或
BAE相等即可,这一点可利用“同角的余角相
等”得出
证明:如图,过点A作∠BAC的平
分线AE,交BC于点E,则∠1=
∠2=-∠BAC.又∵AB=AC
2
AE⊥BC,∴∠2+∠C=90∴BD
A
B
C
E
方法点拨:等腰三角形“三线合一”的性质
既涉及角相等,又涉及线段相等或垂直,为证明
线段和角的关系增添了新的理论根据.在实际解
题中,如果既能运用全等三角形,又能运用等腰
三角形的知识,那么应尽可能地运用“三线合
的性质,这样可减少解题步骤,避免出错(共12张PPT)
J要盧归纳
知识要点等边三角形的性质
等边三角形三个内角相等,每一个内角都
等于60°
注意:等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有
等腰三角形的一切性质
J典例导学国
例1如图,在等边△ABC
的边AC上取中点D,在BC的
延长线上取一点E,使CE
CD,则∠BDE的度数是
120°
B
CE
例2如图,△ABC和△ADE是等边三角形
AD是BC边上的中线求证:BE=BD
分析
△ABC是等边
∠BAD=∠CAD
角形,AD是BC边∠BAC=30°
上的中线
∠BAE
∠BAD
∠DAE=60°
△ADE是等边三角形
AE=AD
结合公
共边AB
△ABE≌△ABD令对应边相等,结论得证
证明:△ABC和△ADE是等边三
角形,AD是BC边上的中线,
AE=AD,AD为∠BAC的平分
线,∠DAE=∠BAC=60°,
B D
CAD=∠BAD=30,∴∠BAE=∠DAE
BAD=60°-30°=30°
BAE=∠BAD
AEAD
在△ABE和△ABD中,∠BAE=∠BAD
AB=AB
∴△ABE≌△ABD(SAS),∴BE=BD
当堂检测
如图,△ABC是等边三角形,则它的外角∠ACD
的度数为
A.60°
B.90°
C.120°
D,150°
B
C D
5如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC
边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求
BC的长
解:∵∴△ABD是等边三角
B=∠BAD
ADB=60°,BD
AD=AB=2
D
∠BAC=90°,∴∠DAC=90°-60°=30°,(共15张PPT)
内容
几何语言
定义法:两边相等的三角形是等腰
(1)如图,若AB=AC,则
等腰三角
△ABC为等腰三角形
形的判定
角形;
(2)如图,若∠B=∠C,则
判定定理:有两个角相等的三角形是
方法
AB=AC,则△ABC为等腰
等腰三角形,简称“等角对等边”
角形
等边三角
推论1:三个角都相等的三角形是等边(1)若∠A=∠B=∠C,则△ABC是等边
形的判定
角形;
角形;
推论2:有一个角是60°的等腰三角形(2)若AB=AC,∠B=60°,则△ABC
方法
是等边三角形
是等边三角形
典例导学
圆例1如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE
分别是腰AC,AB上的中线,BD,CE相交于点O
求证:△OBC是等腰三角形
分析:要证明△OBC是等腰三角形,结合图
形可知需要证明OB=OC,利用全等三角形的性
质证明∠ECB=∠DBC即可
A
E
D
B
C
证明:AB=AC,BD,CE分别是
A
腰AC,AB上的中线,∴∠ABC
∠ACB,BE=CD.在△BCB和
D
BE=CD
△DBC中
EBC=∠DCB
B
BC=CB
△BCB≌△DBC(SAS),∴∠ECB=∠DBC,∴OB
OC,∴△OBC是等腰三角形
圆例2如图,△ABC是等边三角形,点P在
△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP
∠ACQ,BP=CQ.问△APQ是什么形状的三角
形 试证明你的结论
分析:先证△ABP≌△AQQ得AP=AQ
BAP=∠CAQ,再证∠PAQ=60°,从而得出
△APQ是等边三角形
解:△APQ为等边三角形证明
如下:∵△ABC为等边三角
形,∠BAC=60°,AB=AC
在△ABP与△ACQ中,∴
B
C
AB=AC
∠ABP=∠ACQ,
BP=CO,
当堂检测
下列能确定△ABC为等腰三角形的是(A
A.∠A=50°,/B=80°
B.∠A=42°,∠B=48°
C.∠A=2∠B=70°
DAB
BC=5,周长为15
2已知△ABC中,AB=AC,下列结论:①若AB
BC,则△ABC是等边三角形;②若∠A=60°,则
△ABC是等边三角形;③若∠B=60°,则△ABC
是等边三角形,其中正确的有
A.0个
B.1个C.2个D3个
3有一个内角为60°的等腰三角形,腰长为6cm
那么这个三角形的周长为18cm(共8张PPT)
解题策略
(1)含15°,30°,60°,120°,150°角求长度的方
法:一般要构造直角三角形,再利用30°角的特殊
关系解题,注意当题中出现15°、120°、150°时,先
想到构造30°的角,再构造直角三角形
2)30°角的考查方式:含一条高的等边三角
形中易出现30°角;常结合角平分线、垂直平分线
的性质考查
当堂检测
1已知直角三角形中30°的角所对的直角边为4
cm,则斜边长为
A2 cm
B 4 cm
c6 cm
d.8 cm
2如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+
BC=12cm,则斜边AB
cm
5如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线
交AB于点E,垂足为点D,CE平分∠ACB.若
BE=2,求AE的长
解:∵DE垂直平分BC,
EC=BE=2
E
BCE=∠B=30°
B
∴CE平分∠ACB,
D(共7张PPT)
要点归纳
知识要点角平分线的作法
如图,作∠AOB的平分线
步骤如下:①以O为圆心,任
意长为半径画弧分别交OA,
OB于点D,E;②分别以点D,O
E为圆心,以大于DE的长
2
当堂检测
1用尺规作图的方法过直线上一点作已知直线的
垂线可看成作平角的平分线
2如图所示的作图痕迹作的是
B
A.线段的垂直平分线
B过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D作一个角等于已知角(共18张PPT)
要点归纳
知识要点1角平分线的性质及判定
角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等
如图,若点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA
于点D,PE⊥OB于点E,则PD
PE
3.解题策略
实际应用中,涉及某点到两边的距离相等
时,由角平分线的判定定理可知需作角平分线
知识要点2三角形角平分线的性质
三角形的三条角平分
线相交于一点,并且这一点
到三角形三边的距离相等
如图,PD=PE=PF
B
解题策略:若点P是△ABC三条角平分线
的交点(如图),则点P到三角形三边的距离相
等,则△APB,△APC,△BPC为等高的三角形
其面积之比等于它们的底边长之比
拓展:三角形外角平分线的性质:三角形两
个外角的平分线的交点到三角形三边所在的直
线的距离相等
圆例2如图,D,E,F是△ABC的三条边上
的点,且CE=BF,S△DCE=S△DBF,求证:AD平分
∠BAC
分析
人CE,BF边上作DM⊥AB,由角平分线的
Sm=Sm的高相等DNAC,性质定理的逆
CE=BF
则DM=DN」定理得出结论
证明:如图,过点D作DM⊥
AB于点M,作DN⊥AC于
点N
S△DCE=S△DBF,
CE·DN=BF·DM
2
又∵CE=BF
∴DN=DM,
点D在∠BAC的平分线上,
AD平分∠BAC
方法点拔:证明一条线段所在的一条射线
平分某个角,有两种方法:一是根据角平分线的
定义证明这条线段所在的射线将这个角分成了
两个相等的角;二是根据角平分线的性质定理
的逆定理,找到这条线段上一点到角两边的垂
线段,若这两条垂线段相等,则这条线段所在的
射线就是该角的平分线
例3(教材P150T13变式)如图,某地有两
所大学和两条交叉的公路.图中点M,N表示大
学,OA,OB表示公路,现计划修建一座物资仓
库,希望仓库到两所大学的距离相同,到两条公
路的距离也相同,你能确定出仓库P应该建在什
么位置吗 请在图中画出你的设计(尺规作图
不写作法,保留作图痕迹
当堂检测凵
如图,若点C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA
CE⊥OB,则CD
CE;若CD⊥OA,CE
OB,且CD=CE,则∠AOC
BOC,即射
线OC是∠AOB的平分线
4.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建
个凉亭供大家休息,要求凉亭到草坪三条边的
距离都相等,则凉亭的位置应选在(D)
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三条高所在直线的交点
C.△ABC三条边的垂直平分线的交点
D.△ABC三条角平分线的交点
