2021-2022学年北师大版八年级下册数学1.4角平分线同步练习 （word版含答案）

1.4角平分线
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
2．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
3．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ≤5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ＞5
4．如图：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长是（　　）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．6
6．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　）
A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5
10．已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝2，DE＝　 　．
12．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 　 　．
13．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 　 　cm2．
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD＝8，则点P到BC的距离是　 　．
15．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于　 　．
三．解答题
16．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
17．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故选：B．
2．解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；
点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故选：A．
3．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：C．
4．解：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，
又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，又AC＝BC，
∴AC＝AE＝BC，又AB＝6cm，
∴△DEB的周长＝DB+BE+ED＝DB+CD+BE＝BC+BE＝AE+EB＝AB＝6cm．
故选：A．
5．解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
6．解：A、∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，正确，故本选项错误；
B、∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
∵OP＝OP，PE＝PD，
∴由勾股定理得：OE＝OD，正确，故本选项错误；
C、∵∠PEO＝∠PDO＝90°，∠POB＝∠POA，
∴由三角形的内角和定理得：∠DPO＝∠EPO，正确，故本选项错误；
D、根据已知不能推出PD＝OD，错误，故本选项正确；
故选：D．
7．解：A．∵AE＝DE，
∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B．∵BD平分∠EBC，
∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C．∵BD平分∠EBC，
∴∠2＝∠3，
但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D．∵SAEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，
∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝4．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，
∴28＝×8×4+×AC×4，
∴AC＝6．
故选：C．
9．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，
∴35+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝．
故选：D．
10．解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ＝FW，
同理FW＝FY，
∴FZ＝FY，FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ＝∠FCY，
∵∠AFB＝40°，
∴∠ACB＝80°，
∴∠ZCY＝100°，
∴∠BCF＝50°．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
故答案为：2．
12．解：过P点作PH⊥OA，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA，
∴PH＝PM＝6，
∵点N是射线OA上的一个动点，
∴PN的最小值为6．
故答案为6．
13．解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，
∵∠ABC，ACB的平分线交于点O，
∴OE＝OF，OG＝OF，
∴OE＝OF＝OG，
∵点O到AC边的距离为cm，
∴OE＝OF＝OG＝cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO
＝
＝××（AB+BC+AC）
＝×20
＝15（cm2），
故答案为：15．
14．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故答案为：4
15．解：
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝20，BC＝30，AC＝40，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝2：3：4．
故答案为：2：3：4．
三．解答题
16．解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
17．解：如图，点P为所作．
18．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
19．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．