浙江省诸暨市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

诸暨市2021－2022学年第一学期期末考试试题
高三数学
注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟．
　 　2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径
球的体积公式V=πR3 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，， 若，则（ ▲ ）
A． B． C．或 D．或
2．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内的对应点位于（ ▲ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列四个周期函数中，与其它三个函数周期不一致的函数是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“”的（ ▲ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知实数满足约束条件，则（ ▲ ）
A．有最小值，无最大值 B．有最小值，也有最大值
C．有最大值，无最小值 D．无最大值，也无最小值
6．如图，圆在第一象限，且与轴，直线均相切，则圆心所在直线的方程为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
7．已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．如图正方体中，，则下列说法不正确的是（ ▲ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
9．已知是双曲线的左右焦点，为圆上一动点（纵坐标不为零），直线分别交两条渐近线于两点，则线段中点的轨迹为（ ▲ ）
A．平行直线 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
10．已知，满足，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二．填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）
11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若，则小正方形的面积是 ▲ ．
12．已知展开式各项系数和为，则 ▲ ；常数项为 ▲ ．
13．已知函数，则 ▲ ；若，则
▲ ．
14．已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆被轴，轴截得的弦长相等，则 ▲ ．
15．体育馆内装篮球的箱子中有4个新篮球和2个用过的旧篮球，三名运动员各自从箱子中随机拿一个篮球进行投篮训练，结束后三个篮球放回箱子中，此时箱子中用过的旧篮球个数是一个随机变量，则 ▲ ；随机变量的数学期望 ▲ ．
16．已知的三个角所对的边为，若，为边上一点，
且，若,则面积的最大值为 ▲ ；若，则的最小值为 ▲ ．
17．已知向量，，，
则 ▲ ．
三、解答题（本大题有5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数的值域．
19．（本题满分15分）在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和
20．（本题满分15分）如图，三棱台平面平面，侧面是等腰梯形，, 分别是
的中点．
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
21．（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为，上的点到直
线的最短距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过上的动点向椭圆作两条切线， 交轴于，交轴于，交轴于，交轴于，记的面积为，的面积为，求的最小值.
22．（本题满分15分）已知函数，．
（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）若有两个极值点，，且．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
诸暨市2021学年第一学期高中期末调测
高三数学参考答案
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C A B B D A D
二、填空题（单空每小题4分，双空每小题6分，共36分）
11． 12． ； 13． ；
14． 15． ； 16．；
17．
四、解答题（共74分）
18．解：（Ⅰ）因为， ………3分
所以 ………3分
即所求单调递增区间为： ………1分
（Ⅱ）因为 ………2分
其中 ………3分
所以 ………2分
19．解：（Ⅰ）因为
所以（舍去）
所以 ………3分
又因为
所以得：
所以，经验证时也满足 ………3分
（Ⅱ）因为
当时， ………1分
所以 ………2分
………3分
………3分
20．（Ⅰ）证明：连接与交于点，连接 ………2分
所以………4分
（Ⅱ）解法一：取中点，连接，
因为 ………1分
所以可以建立如图空间直角坐标系，以分别为轴，则：
………2分
………3分
………2分
………1分
（Ⅱ）解法二：因为,所以与平面所成角即为所求角 ………1分
取中点,连接
因为
又因为 ………2分
所以中
平行四边形中:
平行四边形中:
中： ………4分
所以到平面的距离 ………1分
又因为即 ………1分
解法三：因为,所以与平面所成角即为所求角 ………1分
取中点,中点,连接交于,作,连
由题意知，
所以,即为所求角因为,
所以与平面所成角即为所求角 ………3分
因为,且
所以为三等分点，到的距离为 ………2分
所以中，,
所以, ………2分
即 ………1分
21．解：（Ⅰ）由题意知： ………1分
所以 ………2分
即所求椭圆方程为 ………1分
（Ⅱ）设，为，其中
则为，为，为，为 ………2分
（1） ………2分
由
， ………2分
化简得
显然，是的两根.
故，则， ………2分
即代入（1）式得：
令，则,
当且仅当，即时，的最小值为48. ………3分
22．解：（Ⅰ） ………2分
则，得切线方程为：. ………2分
（Ⅱ）（ⅰ）法一：
在上单调递增，
且 所以在递减，递增， ………2分
因为有两个极值点，
则需满足有两个极值点 ………2分
法二：与有两个大于的根，
在 上单调递增，且，
所以在递减，递增， ………2分
且，
. ………2分
（ⅱ）法一：,
只需证，即证： ，
当时，得证 ………3分
当时，
先证：，令，，
则在递增，递减，所以得证，
又，则，
记与的交点为，
则，又， ………4分
法二：
只需证，即证： ， ………3分
令 在上单调递增，
，
所以在上单调递增，
所以得证. ………4分
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