上海市2013届初三数学质量调研试卷(2012.11附答案及评分标准)

上海市2013届初三数学质量调研试卷
（满分150分，考试时间100分钟） 2012.11
考生注意：
1. 本试卷含三个大题，共25题；
2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列运算正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2. 化简二次根式的正确结果是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3. 在A处观察B处时的仰角为28°，那么在B处观察A处时的俯角为
（A）28°； （B）62°； （C）118°； （D）152°．
4. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是
（A） （B） （C） （D）
5. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图1中的△ABC相似的三角形所在的网格图形是
（A） （B） （C） （D）
6. 已知半径为2cm和4cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为6cm的圆的个数为
（A）3个； （B）4个； （C）5个； （D）6个．
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 计算： ▲ ．
8. 分解因式： ▲ ．
9. 化简： ▲ ．
10. 长城总长约为6700010米，用科学记数法表示为 ▲ 米（保留两个有效数字）．
11. 已知一次函数与的图像交于点P，则点P的坐标为 ▲ ．
12. 上海市很多学校一进校门都装有电子显示屏．假如某校的电子显示屏每间隔2分钟显示一次“年、月、日、星期、时、分”等时间信息，显示时间持续20秒，在间隔时间则显示学校当日的其他信息．小王上午到校后，一走进学校大门，显示屏上正好显示时间信息的概率是 ▲ ．
13. 某公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪（万元）
30
14
9
6
4
3.5
3
员工数（人）
1
1
1
2
7
6
2
则所有员工的年薪的平均数比中位数多 ▲ 万元．
14. 在梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 2AD，，，那么 ▲ （结果用、表示）．
15. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，半径是的圆P与直线y = x的位置关系是
▲ ．
16. 在△ABC中，∠C = 90°，AC = 1，BC = 2，△ABC绕着点B旋转后，点C落在AB边上的点，点A落在点，那么的余切值是 ▲ ．
17. 如图2，平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为和．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点的是点 ▲ ．
18. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，AC与BD相交于点O，∠BOC = 120°，AD = 7，BD = 10，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）
已知函数，求函数的定义域及．
20.（本题满分10分）
解方程组：
21.（本题满分10分）
如图3，柳明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．柳明测量得BC = 4米，斜坡的坡面CD的坡度为，CD = 2.5米．如果柳明同时还测得附近一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP = 1.5米，求这棵香樟树AB的高度．
22.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）
如图4，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点，使得，这种把点P变为点的变换叫做反演变换，点P与点叫做互为反演点．
（1）如图5，圆O内外各一点A和B，它们的反演点分别为和，求证：；
（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．
①选择：如果不经过点O的直线l与圆O相交，那么它关于圆O的反演图形是（ ▲ ）
（A）一个圆； （B）一条直线； （C）一条线段； （D）两条射线．
②填空：如果直线l与圆O相切，那么它关于圆O的反演图形是 ▲ ，该图形与圆O的位置关系是 ▲ ．
23.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分9分）
机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
24.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分2分，第（3）小题满分6分）
如图6，点P是射线AM上与点A不重合的动点，线段AB = a， ，其中a和均为定值．点I是△ABP中角平分线的交点，点N在BP的延长线上，∠NPA的平分线与BI的延长线交于点Q，联结PI．
（1）当点P运动时，试证明∠PQI的大小是定值；
（2）若，当△QPI与△ABP相似时，直接写出AP的长；
（3）若，，过点I作IC⊥AB，垂足为C，点P运动时，设IC = x，PI = y，写出y关于x的函数解析式及函数定义域．
25.（本题满分14分，每小题满分各7分）
已知抛物线的顶点为，点、、在该抛物线上．
（1）当a = 1，b = 4，c = 10时，
①求顶点P的坐标；
②求的值；
（2）当恒成立时，求的最小值．
上海市2013届初三数学教学调研试卷
参考答案与评分标准
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；
5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. C； 2. C； 3. A； 4. A； 5. B； 6. C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 3； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ；
12. ； 13. 2； 14. ； 15. 相交； 16. ； 17. B；
18. 或．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 解：由，得，…………………………………………………………（1分）
由，得，…………………………………………………………（1分）
由，得．……………………………………………………（2分）
∴函数定义域为且．…………………………………………（1分）
，
，
．………………………………………………………………………（5分）
20. 解：由②得，
或．…………………………………………………………（1分）
原方程组可化为（I）或（II）．………………（2分）
解方程组（I）得 ………………………………………（3分）
解方程组（II）得 ……………………………………………（3分）
∴原方程组的解是 ………………（1分）
21. 解：过点D作DE∥CB，与AB的延长线交于点E，
过点C作CF⊥DE于点F．……………（1分）
∵斜坡的坡面CD的坡度为，
∴，∴．………（1分）
在Rt△CDF中，，（1分）
解得CF = 1.5米．………………………（1分）
∴BE = CF = 1.5米，FD = 2米．………（1分）
∵BC = 4米，∴ED = BC + FD = 6米．………………………………………（1分）
∵△AED∽△MNP，∴．…………………………………………（1分）
∴，∴AE = 8米．……………………………………………………（1分）
∴AB = AE – BE = 8 -1.5 = 6.5米．……………………………………………（1分）
∴香樟树AB的高度是6.5米．…………………………………………………（1分）
22. 解：（1）证明：∵A、B的反演点分别为、，
∴，，
∴，…………………………………………………………（1分）
∴．……………………………………………………………………（1分）
∵，∴△AOB∽△．…………………………………（1分）
∴．……………………………………………………………………（1分）
（2）①A；…………………………………………………………………………（2分）
②圆；内切．………………………………………………………………（2+2分）
23. 解：（1）由题意得，实际耗油量=（千克）．……………………（3分）
（2）设乙车间加工一台大型机械设备的润滑用油量为x千克．………………（1分）
由题意得，…………………………………（4分）
整理得，
解得，（舍去）．………………………………………………（2分）
用油的重复利用率=．…………………………（1分）
答：（1）甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克；
（2）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．……………………………………………………（1分）
24. 解：（1）证明：∵PQ平分∠APN，PI平分∠APB，
∴∠NPQ =∠APQ，∠API =∠BPI．
∴．……………………（1分）
∵BI平分∠ABP，∴∠PBI =∠ABI．
∵，∴．
∵，∴．……………………………（2分）
∴．………………………………………（1分）
（2）或．…………………………………………………（1+1分）
（3）联结AI，则AI平分∠PAB，∴∠IAB =．
由（1）知∠PQI =，∴∠IAB =∠PQI．……………………………（1分）
又∵∠PBI =∠ABI，∴△QPB∽△AIB，∴．……………………（1分）
在Rt△QPI中，∠PQI =30°，易得，．
在Rt△ACI中，∠IAC =30°，易得，．
∴．
在Rt△BCI中，．…………………………（1分）
∴．
∴，……………………………………………………（1分）
∴y关于x的函数解析式是，定义域为．…（1+1分）
25. 解：（1）当a = 1，b = 4，c = 10时，抛物线的解析式为．
①∵，……………………………………………（1分）
∴顶点P的坐标是．……………………………………………………（2分）
②∵点、、在抛物线上，
∴，，．………………………………………………（3分）
∴．…………………………………………………………（1分）
（2）由，得．
过点A作⊥x轴于点，则，．
联结BC，过点C作⊥y轴于点D，则，CD = 1．
过点A作AF∥BC交抛物线于点，交x轴于点，
则，∴Rt△∽Rt△BCD．………………………………（1分）
∴，∴．…………………………………（1分）
过点E作EG⊥于点G，易证Rt△AEG∽Rt△BCD．……………………（1分）
∴，∴．……………………………………（1分）
∵点、、、在抛物线上，
∴，，，．
∴，（1分）
解得（舍去）．…………（1分）
∵恒成立，根据题意有，
则，即．
∴的最小值为3．………（1分）