初中数学北师大版七年级下册1.5 平方差公式同步练习
一、单选题
1．（2021七上·上海期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）
2．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(1+x)(x+1) B．(0.5a+b)(b-0.5a)
C．(-m+n)(m-n) D．(m+2n)(-2n-m)
3．（2021八上·长春月考）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·合肥期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七下·新都期末）运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（ ）
A．x2﹣16 B．x2+16 C．16﹣x2 D．﹣x2﹣16
6．（2021八下·龙华期末）已知a﹣b＝3，a+b＝2，则a2﹣b2的值为（ ）
A．6 B． 6 C．5 D． 5
7．（2021八上·九台期中）已知x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．-5 B．4 C．5 D．25
8．（2021八上·沂源期中）计算：852﹣152=（ ）
A．70 B．700 C．4900 D．7000
9．（2021八上·南宁月考）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021八上·古冶期中）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 D．a2＋ab＝a（a＋b）
二、填空题
11．（2021八下·北京期末）已知x＝ ，y＝ ，则xy＝ ．
12．（2021八上·仁寿期中）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
13．（2021八上·芝罘期中）若 ，且 ，则m+n= ．
14．（2021八上·铁西期中）计算20212﹣2025×2017＝ ．
15．（2021八上·安次月考）若 ，则 ；若 ，则 ．
三、计算题
16．（2021七下·商河期中）用乘法公式计算
（1）20202﹣2019×2021．
（2）（x﹣2y+3z）（x﹣2y﹣3z）．
四、解答题
17．（2017·宁波）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，故A不符合题意；
（2x﹣3y）（3x+2y）不能用平方差公式，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A.(1+x)(x+1)，x，1的符号相同，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；
B.(0.5a+b)(b—0.5a) ，b符号相同，0.5a符号相反，∴能用平方差公式计算，故此选项正确；
C.(-m+n)(m-n) ，m，n的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误； D.(m+2n)(-2n—m) ，m，2n的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；
【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有B符合特点才能计算.
故选B.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+1）（x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-x+1）（-x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（-x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式对每个选项一一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（4＋x）（x 4）
＝（x＋4）（x 4）
＝x2 42
＝x2 16，
故答案为：A.
【分析】原式可变形为(x+4)(x-4)，然后利用平方差公式进行计算.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a﹣b＝3，a+b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式化简，再将数据代入计算即可。
8．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原式=（85+15）（85-15）=100×70=7000，
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式求解即可。
9．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可得：
；
故答案为：D.
【分析】根据左图可得阴影部分面积为a2-b2，阴影部分的长为a+b，宽为a-b，据此可得右图中阴影部分的面积，进而可得等式.
10．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A．
【分析】利用阴影部分的面积等于大正方形的面积﹣小正方形的面积列出等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可得到答案。
11．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ， ，
．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
12．【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积，即为 ，
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得： .
故答案为： .
【分析】易得左图面积为a2-b2，右图面积为(2b+2a)×(a-b)=(a+b)(a-b)，然后根据两图面积相等即可得到等式.
13．【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：5．
【分析】利用平方差公式可得，再将代入计算即可。
14．【答案】16
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为16
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
15．【答案】5或-5；5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：若 ，
令 ，
则原式整理为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
若 ，
令 ，则由非负性知， ，
则原式整理为： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 或 ； ．
【分析】先求出 或 ，再求出 ，最后计算求解即可。
16．【答案】（1）解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（2）解：原式＝（x﹣2y）2﹣（3z）2
＝x2﹣4xy+4y2﹣9z2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可。
17．【答案】解：原式=4-x2+x2+4x-5. =4x-1.∵x=.∴原式=4×-1. =6-1. =5.
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则先化简再求值即可得出答案。
18．【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
1 / 1初中数学北师大版七年级下册1.5 平方差公式同步练习
一、单选题
1．（2021七上·上海期中）下列乘法中，能应用平方差公式的是（ ）
A．（x﹣y）（y﹣x） B．（2x﹣3y）（3x+2y）
C．（﹣x﹣y）（x+y） D．（﹣2x﹣3y）（3y﹣2x）
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，故A不符合题意；
（2x﹣3y）（3x+2y）不能用平方差公式，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的定义对每个选项一一判断即可。
2．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(1+x)(x+1) B．(0.5a+b)(b-0.5a)
C．(-m+n)(m-n) D．(m+2n)(-2n-m)
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A.(1+x)(x+1)，x，1的符号相同，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；
B.(0.5a+b)(b—0.5a) ，b符号相同，0.5a符号相反，∴能用平方差公式计算，故此选项正确；
C.(-m+n)(m-n) ，m，n的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误； D.(m+2n)(-2n—m) ，m，2n的符号相反，∴不能用平方差公式计算，故此选项错误；
【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有B符合特点才能计算.
故选B.
3．（2021八上·长春月考）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+1）（x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-x+1）（-x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（-x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式对每个选项一一判断即可。
4．（2021七下·合肥期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
5．（2021七下·新都期末）运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（ ）
A．x2﹣16 B．x2+16 C．16﹣x2 D．﹣x2﹣16
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（4＋x）（x 4）
＝（x＋4）（x 4）
＝x2 42
＝x2 16，
故答案为：A.
【分析】原式可变形为(x+4)(x-4)，然后利用平方差公式进行计算.
6．（2021八下·龙华期末）已知a﹣b＝3，a+b＝2，则a2﹣b2的值为（ ）
A．6 B． 6 C．5 D． 5
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a﹣b＝3，a+b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
7．（2021八上·九台期中）已知x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．-5 B．4 C．5 D．25
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式化简，再将数据代入计算即可。
8．（2021八上·沂源期中）计算：852﹣152=（ ）
A．70 B．700 C．4900 D．7000
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原式=（85+15）（85-15）=100×70=7000，
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式求解即可。
9．（2021八上·南宁月考）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可得：
；
故答案为：D.
【分析】根据左图可得阴影部分面积为a2-b2，阴影部分的长为a+b，宽为a-b，据此可得右图中阴影部分的面积，进而可得等式.
10．（2021八上·古冶期中）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 D．a2＋ab＝a（a＋b）
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A．
【分析】利用阴影部分的面积等于大正方形的面积﹣小正方形的面积列出等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可得到答案。
二、填空题
11．（2021八下·北京期末）已知x＝ ，y＝ ，则xy＝ ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ， ，
．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
12．（2021八上·仁寿期中）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 .
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：因为左图阴影部分的面积是由大正方形的面积减去小正方形的面积，即为 ，
右图阴影部分的面积可利用梯形的面积公式可得： .
故答案为： .
【分析】易得左图面积为a2-b2，右图面积为(2b+2a)×(a-b)=(a+b)(a-b)，然后根据两图面积相等即可得到等式.
13．（2021八上·芝罘期中）若 ，且 ，则m+n= ．
【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：5．
【分析】利用平方差公式可得，再将代入计算即可。
14．（2021八上·铁西期中）计算20212﹣2025×2017＝ ．
【答案】16
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
故答案为16
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
15．（2021八上·安次月考）若 ，则 ；若 ，则 ．
【答案】5或-5；5
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：若 ，
令 ，
则原式整理为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
若 ，
令 ，则由非负性知， ，
则原式整理为： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 或 ； ．
【分析】先求出 或 ，再求出 ，最后计算求解即可。
三、计算题
16．（2021七下·商河期中）用乘法公式计算
（1）20202﹣2019×2021．
（2）（x﹣2y+3z）（x﹣2y﹣3z）．
【答案】（1）解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（2）解：原式＝（x﹣2y）2﹣（3z）2
＝x2﹣4xy+4y2﹣9z2．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可。
四、解答题
17．（2017·宁波）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式=4-x2+x2+4x-5. =4x-1.∵x=.∴原式=4×-1. =6-1. =5.
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则先化简再求值即可得出答案。
18．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
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