初中数学北师大版七年级下册1.6完全平方公式同步测试
一、单选题
1．（2021·余杭模拟）（1﹣x）2＝（ ）
A．1﹣x2 B．1+x2 C．1﹣2x+x2 D．1+2x+x2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1﹣x）2＝1﹣2x+x2.
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2，进行计算即可.
2．（2020七下·张家界期末）下列各式中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式求出（a-1）2=a2-2a+1，即可选出答案．
3．（2020七下·焦作期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： 故A错误，
故B错误，
，故C错误，
故D正确，
故答案为：D.
【分析】由积的乘方的运算判断A，由多项式乘以多项式的运算判断B，利用完全平方公式进行运算判断C，利用平方差公式运算判断D.
4．（2021七下·来安期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2·a3=a6 B．x8÷x4=x2
C．(-3x2)3=-27x6 D．(x-y)2=x2-y2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，故选项A错误；
B、x8÷x4=x4，故选项B错误；
C、(-3x2)3=-27x6，故选项C正确；
D、（x-y）2=x2-2xy+y2，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式，逐项进行判断，即可得出答案.
5．（2021八上·平罗期末）已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（ ）
A．a2+2a+1 B．a2-2a+1 C．a2+1 D．a-1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1，
故答案为：A.
【分析】先计算出新的正方形的边长，接着按照完全平方公式算出面积.
6．（2020八上·陆川期中）若 则 ， 的值分别为（ ）
A．6，6 B．9，-3 C．3，-3 D．9，3
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： =
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式将等式的右边展开，进而根据等式的性质得出6=-2q，p=q2，即可求出p，q的值.
7．（2021七下·沙坪坝期中）若 ， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．13 D．22
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
8．（2020七下·南岸期末）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为 , 的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，直角边长分别为 , 的四个直角三角形全等，所以它们的面积相等，
故答案为：C.
【分析】由题意得：直角边长分别为 , 的四个直角三角形全等，所以它们的面积相等，再根据面积之间的关系用代数式表示，化简即可.
9．（2020七下·泗辖期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：
∵S阴影=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2．
故答案为：B
【分析】阴影部分正方形的边长为a-b，则阴影部分面积为（a-b）2，阴影部分还可以看成边长为a的大正方形的面积，减去两个长为（a-b），宽为b的长方形的面积，再减去边长为b的正方形的面积，根据两种不同的方法分别表示出阴影部分正方形的面积，即可得到恒等式.
10．（2020七下·来宾期末）对于任何实数m、n，多项式m2+n2-6m-10n+36的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：m2+n2-6m-10n+36
=（m2-6m+9）+（n2-10n+25）+2
=（m-3）2+（n-5）2+2≥2
故对于任何实数m、n多项式m2+n2-6m-10n+36的值都不小于2.
故答案为：D.
【分析】将多项式进行变形，整理成含有两个完全平方式的形式，再改写成平方的形式，根据平方的非负性进行解答.
二、填空题
11．（2021七下·岳阳期末）计算 的结果为
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ： .
【分析】利用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”进行计算，即可得出答案.
12．（2020八上·武汉月考）计算（2a + 3b）2= .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式 .
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案.
13．（2020·滨海模拟）已知x= ， ，则x2+2xy+y2的值为 ．
【答案】12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x= ， ，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（ +1+ ﹣1）2＝（2 ）2＝12；
故答案为：12．
【分析】先把x2+2xy+y2进行变形，得到（x+y）2，再把x，y的值代入即可求出答案．
14．（2020八上·重庆月考）如果代数式x2+mx+9＝（x+b）2，那么m的值为 .
【答案】±6
【知识点】完全平方公式及运用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：已知等式整理得：x2+mx+9＝（x+b）2= x2±2×3x+9=（x±3）2，
可得m＝±2×3×1，
则m＝±6.
故答案为：±6.
【分析】由完全平方公式“a22ab+b2=（ab）2”可求解.
15．（2021七下·海曙月考）已知a+b＝8，ab＝15，则a2+b2＝ ．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，
∴，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将a+b两边同时平方，再用完全平方公式展开式子，接着代入ab的值即可求出答案.
三、计算题
16．（2018八上·九台期末）先化简，再求值 ，其中 ．
【答案】解：
=a -2a+1-a -a
=-3a+1
当 时，原式=-3× +1=
【知识点】代数式求值；单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式可将代数式化简，把 a的值代入化简后的代数式计算即可。
17．（2017七下·钦州期末）用简便方法计算：
（1）982；
（2）99×101．
【答案】（1）解：原式=（100﹣2）2
=1002+22﹣400
=9604．
（2）解：原式=（100﹣1）×（100+1）
=1002﹣1
=10000﹣1
=9999．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】化零为整，利用公式.
18．（2018七下·宁远期中）已知(x+y)2=25，(x-y)2=81，求x2+y2和xy的值．
【答案】解：∵（x+y）2=25，（x-y）2=81，
∴（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=106，
则x2+y2=53；
∴（x+y）2-（x-y）2=4xy=-56，
则xy=-14．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
四、综合题
19．（2021八上·东莞月考）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个大正方形．
（1）如图b中的小正方形的边长等于_ ；
（2）如图a中四个长方形的面积和为_ ，如图b中四个小长方形的面积和还可以表示为_ ；
（3）由（2）写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：_ ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝8，xy＝7，求（2x﹣2y）2的值．
【答案】（1）m-n
（2）4mn；（m+n）2-（m-n）2
（3）（m+n）2-（m-n）2=4mn
（4）解：（2x-2y）2=4（x-y）2=4（x+y）2-16xy，
当x+y=8，xy=7时，原式=256-112=144．
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
故答案为：m-n；
（2）图a中四个长方形的面积和为4mn；图b中四个小长方形的面积和还可以表示为（m+n）2-（m-n）2；
故答案为：4mn；（m+n）2-（m-n）2；
（3）（m+n）2-（m-n）2=4mn；
故答案为：（m+n）2-（m-n）2=4mn；
【分析】（1）先求出图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，再求解即可；
（2）利用面积公式求解即可；
（3）求出（m+n）2-（m-n）2=4mn即可作答；
（4）先求出 （2x-2y）2=4（x-y）2=4（x+y）2-16xy， 再计算求解即可。
1 / 1初中数学北师大版七年级下册1.6完全平方公式同步测试
一、单选题
1．（2021·余杭模拟）（1﹣x）2＝（ ）
A．1﹣x2 B．1+x2 C．1﹣2x+x2 D．1+2x+x2
2．（2020七下·张家界期末）下列各式中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020七下·焦作期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·来安期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2·a3=a6 B．x8÷x4=x2
C．(-3x2)3=-27x6 D．(x-y)2=x2-y2
5．（2021八上·平罗期末）已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（ ）
A．a2+2a+1 B．a2-2a+1 C．a2+1 D．a-1
6．（2020八上·陆川期中）若 则 ， 的值分别为（ ）
A．6，6 B．9，-3 C．3，-3 D．9，3
7．（2021七下·沙坪坝期中）若 ， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．13 D．22
8．（2020七下·南岸期末）如图，在边长为a+b的正方形的四个角上，分别剪去直角边长分别为 , 的四个直角三角形，则剩余部分面积，即图中的阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020七下·泗辖期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
10．（2020七下·来宾期末）对于任何实数m、n，多项式m2+n2-6m-10n+36的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2
二、填空题
11．（2021七下·岳阳期末）计算 的结果为
12．（2020八上·武汉月考）计算（2a + 3b）2= .
13．（2020·滨海模拟）已知x= ， ，则x2+2xy+y2的值为 ．
14．（2020八上·重庆月考）如果代数式x2+mx+9＝（x+b）2，那么m的值为 .
15．（2021七下·海曙月考）已知a+b＝8，ab＝15，则a2+b2＝ ．
三、计算题
16．（2018八上·九台期末）先化简，再求值 ，其中 ．
17．（2017七下·钦州期末）用简便方法计算：
（1）982；
（2）99×101．
18．（2018七下·宁远期中）已知(x+y)2=25，(x-y)2=81，求x2+y2和xy的值．
四、综合题
19．（2021八上·东莞月考）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个大正方形．
（1）如图b中的小正方形的边长等于_ ；
（2）如图a中四个长方形的面积和为_ ，如图b中四个小长方形的面积和还可以表示为_ ；
（3）由（2）写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：_ ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝8，xy＝7，求（2x﹣2y）2的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1﹣x）2＝1﹣2x+x2.
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2，进行计算即可.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式求出（a-1）2=a2-2a+1，即可选出答案．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： 故A错误，
故B错误，
，故C错误，
故D正确，
故答案为：D.
【分析】由积的乘方的运算判断A，由多项式乘以多项式的运算判断B，利用完全平方公式进行运算判断C，利用平方差公式运算判断D.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，故选项A错误；
B、x8÷x4=x4，故选项B错误；
C、(-3x2)3=-27x6，故选项C正确；
D、（x-y）2=x2-2xy+y2，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、完全平方公式，逐项进行判断，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1，
故答案为：A.
【分析】先计算出新的正方形的边长，接着按照完全平方公式算出面积.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： =
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式将等式的右边展开，进而根据等式的性质得出6=-2q，p=q2，即可求出p，q的值.
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后代入进行计算.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，直角边长分别为 , 的四个直角三角形全等，所以它们的面积相等，
故答案为：C.
【分析】由题意得：直角边长分别为 , 的四个直角三角形全等，所以它们的面积相等，再根据面积之间的关系用代数式表示，化简即可.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：
∵S阴影=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2．
故答案为：B
【分析】阴影部分正方形的边长为a-b，则阴影部分面积为（a-b）2，阴影部分还可以看成边长为a的大正方形的面积，减去两个长为（a-b），宽为b的长方形的面积，再减去边长为b的正方形的面积，根据两种不同的方法分别表示出阴影部分正方形的面积，即可得到恒等式.
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：m2+n2-6m-10n+36
=（m2-6m+9）+（n2-10n+25）+2
=（m-3）2+（n-5）2+2≥2
故对于任何实数m、n多项式m2+n2-6m-10n+36的值都不小于2.
故答案为：D.
【分析】将多项式进行变形，整理成含有两个完全平方式的形式，再改写成平方的形式，根据平方的非负性进行解答.
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ；
故答案为 ： .
【分析】利用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”进行计算，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式 .
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案.
13．【答案】12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x= ， ，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（ +1+ ﹣1）2＝（2 ）2＝12；
故答案为：12．
【分析】先把x2+2xy+y2进行变形，得到（x+y）2，再把x，y的值代入即可求出答案．
14．【答案】±6
【知识点】完全平方公式及运用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：已知等式整理得：x2+mx+9＝（x+b）2= x2±2×3x+9=（x±3）2，
可得m＝±2×3×1，
则m＝±6.
故答案为：±6.
【分析】由完全平方公式“a22ab+b2=（ab）2”可求解.
15．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，
∴，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将a+b两边同时平方，再用完全平方公式展开式子，接着代入ab的值即可求出答案.
16．【答案】解：
=a -2a+1-a -a
=-3a+1
当 时，原式=-3× +1=
【知识点】代数式求值；单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式可将代数式化简，把 a的值代入化简后的代数式计算即可。
17．【答案】（1）解：原式=（100﹣2）2
=1002+22﹣400
=9604．
（2）解：原式=（100﹣1）×（100+1）
=1002﹣1
=10000﹣1
=9999．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】化零为整，利用公式.
18．【答案】解：∵（x+y）2=25，（x-y）2=81，
∴（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=106，
则x2+y2=53；
∴（x+y）2-（x-y）2=4xy=-56，
则xy=-14．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
19．【答案】（1）m-n
（2）4mn；（m+n）2-（m-n）2
（3）（m+n）2-（m-n）2=4mn
（4）解：（2x-2y）2=4（x-y）2=4（x+y）2-16xy，
当x+y=8，xy=7时，原式=256-112=144．
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
故答案为：m-n；
（2）图a中四个长方形的面积和为4mn；图b中四个小长方形的面积和还可以表示为（m+n）2-（m-n）2；
故答案为：4mn；（m+n）2-（m-n）2；
（3）（m+n）2-（m-n）2=4mn；
故答案为：（m+n）2-（m-n）2=4mn；
【分析】（1）先求出图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，再求解即可；
（2）利用面积公式求解即可；
（3）求出（m+n）2-（m-n）2=4mn即可作答；
（4）先求出 （2x-2y）2=4（x-y）2=4（x+y）2-16xy， 再计算求解即可。
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