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北师大版数学六年级下第四单元第二课时教学设计
课题 正比例 单元 第四单元 学 科 数 学 年 级 六年级
学习目标 经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。经历比较、分析、归纳等数学活动，提高分析比较、归纳概括能力，初步体会函数思想。
重点 经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到不变，认识正比例。
难点 能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 谈话导入 今天我们上课前先来玩一个“成语猜猜看”游戏， 水涨了，船就升高啦，风吹来，草就会随风抖动了，一种事物发生变化，另一种事物也跟着发生变化。这样的事例在我们的生活中非常常见，在数学中也存在着大量的这种相关联的问题，下面我们开始今天的学习。 猜成语水涨船高风吹草动 通过猜谜游戏，激发学生的兴趣，自然导入新课，加深理解相关联的量，为在新情境中探究两个相关联的量之间的变化规律做铺垫。
讲授新课 面积 周长 边长 下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？边长/cm123周长/cm4边长/ cm123面积/cm 1（1）边长与周长是不是两个相关联的量，边长与面积是不是两个相关联的量。（2）边长增加，周长和面积怎样变化？（3）反过来边长减少，周长和面积怎样变化？小结：周长与边长变化的方向相同，面积与边长变化的方向也是相同的。（4）周长与边长，面积与边长的变化规律相同吗？说说你的看法。小结：边长与周长，边长与面积的变化方向是相同的，但是他们变化的规律是不相同的。 一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下。把下表填写完整，你从表中发现了什么？（1）填写表格（2）当时间发生变化，路程是怎样发生变化的呢？变化有什么规律？（3）这些算式怎样用一个关系式来表示？ 路程÷时间=速度（一定）师讲解：像这样，路程和时间两个变量，时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们就说路程和时间成正比例。（4）同桌交流，什么样的两个量成正比例。教师总结，揭示课题。（正比例）（5）刚才我们研究的周长与边长，面积与边长成不成正比例呢？周长与边长成正比例；（变化方向一致，比值一定。）面积和边长不成正比例。（变化方向一致，比值不一定）（6）我们怎样判断两个量是不是成正比例关系？我们来试一试 圆的面积与半径成正比例吗？你是怎样想的？与同伴交流。 圆的面积公式S = πr 圆的面积随着半径的变化而变化。 我想是成正比例的。 我列个表试一试圆的面积3.1412.5628.26半径123 比值不相等…… 乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。他们的年龄成正比例吗？为什么？把表格填写完整。父子的年龄成正比例吗？为什么？爸爸的年龄=小明的年龄+26.虽然小明岁数增加，把把岁数也增加，但是小明岁数与爸爸岁数的比值随着时间发生变化，不是一个确定的值，所以父子的年龄不成正比例。分别举一个成正比例和一个不成正比例的例子，与同伴交流。师总结：判断两个量是不是成正比例，首先要看看相关联的两个量变化的方向是不是相同，再看看比值是否一定。我们也可以列一个关系式是： 课堂练习1 学校科技小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。（1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。2 根据下表中底是6cm的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。3 判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。一个人的身高和年龄。宽不变，长方形的周长与长。4 买邮票的数量/枚应付金额/元10.821.6345678把表填完整，你从中发现了什么？应付金额与所买邮票的数量成正比例吗？ 生1：边长与周长是两个相关联的量，因为边长变化了，周长也跟着变化了。生2：边长与周长是相关联的量，边长是1，周长就是4；边长是2，周长就是8；边长3，周长12；边长4，周长16。生3：边长和面积也是相关联的量，边长1，面积1；边长2，面积4；边长3，面积9；边长4，面积16。生4;边长增加，周长和面积增加。生5：边长扩大2倍，周长扩大2倍；边长扩大2倍，面积扩大4倍。生6：变化的倍数不同，是因为公式不同。生7：无论边长怎样增加，边长与周长的比值是一样的。都是4；当边长增加时，边长与面积的比值是不同的。生1：时间每增加1时，路程就增加90千米。它们的变化方向是一致的。生2：时间越来越长，路程也越来越长。反过来，时间越来越短，路程越来越短。生3;时间和路程的比值是一样的。生4：两个量要相关联；两个量的比值一定。小组讨论，集体汇报小组讨论，集体汇报。小组交流，集体汇报。独立完成练习集体汇报，讨论答案。 先从观察正方形的周长与边长，面积与边长的关系的表格入手，引导学生进一步认识相关联的量。再结合路程与时间关系表格中的数据，引导学生发现速度一定，路程与时间的比值就一定，使学生理解正比例的意义，掌握判断两个量是否成正比例。通过分析正方形的周长与边长、面积与边长是否成正比例，加深学生对正比例意义的理解。同时，使学生在比较中思考成正比力量的显著特征：一个量变化，另一个量也随着变化，变化过程中这两个量的比值相同。通过圆面积计算公式，使学生头脑中再现面积与半径之间的关系，结合正比例关系中两个来那个的特征，判断这两个量是否成正比例。时间是检验真理的唯一标准，通过学生自己动手计算，小组合作交流总结出来的结论教师灌输的结论更加容易记忆，这样教师教的轻松，学生学得快乐。本节课的练习从学生的独立计算、自主交流到集体汇总，在到教师提问，教师由扶到放，既照顾了全体学生，又考虑到学生个体对知识理解掌握的情况，起到及时巩固的作用。
课堂小结 通过这节课的学习，你学会了什么？
板书 正比例路程÷时间=单价（一定）正方形的周长÷边长=4（一定） 两种相关联的量，以重量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小），并且这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就成正比例。
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正比例
北师大版 六年级下
新知导入
成语猜猜看
水涨船高
新知导入
成语猜猜看
风吹草动
新知讲解
边长
周长
面积
新知讲解
下面是正方形的周长与边长，面积与边长之间的变化情况 ，
把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？
边长/cm 1 2 3
周长/cm 4
边长/cm 1 2 3
面积/cm 1
8 12
4
16
4 9
4
16
新知讲解
下面是正方形的周长与边长之间的变化情况 ，说说你的发现。
边长/cm 1 2 3
周长/cm 4
8 12
4
16
正方形的周长随着和边长的变化而变化。
周长与边长的比值一定。
比值都是4
周长与边长的变化方向相同。
新知讲解
下面是正方形的面积与边长之间的变化情况 ，说说你的发现？
边长/cm 1 2 3
面积/cm 1
4 9
4
16
正方形的面积随着边长的变化而变化。
面积与边长的变化方向相同。
比值不同
面积与边长的比值不相等。
新知讲解
下面是正方形的周长与边长，面积与边长之间的变化情况 ，
把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？
边长/cm 1 2 3
周长/cm 4
边长/cm 1 2 3
面积/cm 1
8 12
4
16
4 9
4
16
新知讲解
一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下，
把下表填写完整，你从表中发现了什么？
时间/时 1 2 3 4 5 6 7
路程/km 90 180 270 360
450
540
630
8
720
路程是随着时间的变化
而变化的。
也就是路
程与时间的比值是一定的。
像这样，路程和时间两个量，时间变化，所行驶的
路程也随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）
一定，我们就说路程和时间成正比例。
新知讲解
下面是正方形的周长与边长，面积与边长之间的变化情况 ，
把表格填写完整，并说说你分别发现了什么？
边长/cm 1 2 3
周长/cm 4
边长/cm 1 2 3
面积/cm 1
8 12
4
16
4 9
4
16
正方形的周长与边长，面积与边长成正比例吗？
周长与边长的变化方向相同。
比值一定
正方形周长与边长成正比例。
面积与边长的变化方向相同。
正方形面积与边长不成正比例。
新知讲解
怎样判断两个量能否组成正比例。
两个量是不是相关联的量。
两个量的变化方向是否一致。
两个量的比值是否一定。
合作探究
圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。
圆的面积公式
S=πr
圆的面积随半径的变化而变化（方向相同）。
圆的面积 3.14 12.56 28.26
半径 1 2 3
圆的面积与半径的比值不相等。
圆的面积与半径不成正比例。
新知讲解
乐乐的爸爸年龄变化情况如下表，把表填写完整。
乐乐的年龄/岁 6 7 8 9 10 11
爸爸的年龄/岁 32 33
他们的年龄成正比例吗？为什么？
34
35
37
36
乐乐的年龄与爸爸的年龄的比值不是一个确定的值。
所以他们的年龄不成正比例。
合作探究
分别举一个成正比例的例子和一个不成正比例的例子，和同伴交流。
同一种商品的总价和
购买的数量成正比例。
一堆煤，用去的数量和
剩下的数量不成正比例。
速度一定，路程
和时间成正比例。
路程一定，速度
和时间不成正比例。
……
课堂练习
填空欢乐谷
1 因为总价=单价×数量，当单价一定时，（ ）和
（ ）成正比例；当数量一定时，（ ）和（ ）
成正比例。
总价
数量
总价
单价
2 订阅《沈阳晚报》的份数与订阅的总价成（ ）关系。
正比例
3 每分钟口算题的数量、口算的时间和口算题的总数，当
（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。
数量
总数
时间
课堂练习
判断快车
1 两种相关联的量一定成正比例。（ ）
2 当工作总量一定，工作效率和时间成正比例。（ ）
3 随着时间的增加，王师傅加工零件的个数也在增加，所以时间
与加工零件的个数成正比例。（ ）
4 被减数一定，减数和差不成正比例。（ ）
5 织布的总米数一定，织布机的台数与完成任务的天数成正比例
关系。（ ）
×
×
×
√
×
课堂练习
选择超市
1 相关联的两种量在变化过程中，一种量扩大，另一种量就一定（ ）。
A 缩小 B 缩小或扩大 C 扩大 D 不变化
B
2 成正比例的两个量，其中一个量扩大2倍，另一个量（ ）。
A 扩大2倍 B 缩小到原来的 C 扩大4倍 D 缩小到原来的
A
3 表示 χ 和 у 成正比例关系的是（ ）。
A x-у=4 B x+у=10 C x+у=24 D x= у
D
4 甲数是乙数的 ，甲数与乙数（ ）
A 成正比例 B 成反比例 C 不成比例
A
课堂练习
解答竞技场
1 甲、乙两人速度的比是8 9，那么在相同的时间里，他们两人所行的路程比是多少？
8 9
2 一列火车从甲站开往乙站，用2小时行了280千米，从乙站开往丙站，用5时行了700千米。
（1）分别求出火车从甲站到乙站及从乙站到丙站的速度。
280÷2=140（千米/时） 700÷5=140（千米/时）
（2）火车行驶的路程和所用时间成什么比例？
成正比例。
（3） 用等式把题目的数量关系表示出来。
课堂总结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
板书设计
正比例
路程÷时间=速度（一定）
正方形周长÷边长=4（一定）
两种相关联的量，以重量扩大（或缩小），另一种量
也随着扩大（或缩小），并且这两种量的比值（也就是商）
一定，这两种量就成正比例。
作业布置
红红在同一时间、同一地点，测得不同树的高度和树的影长。
树高/m 1 2 3 ……
影长/m 0.8 1.6 2.4 ……
（1）根据表中数据，同时同地树高和影长成正比例吗？为什么？
（2）如果一棵树的影长为4.8米，这棵树的高为多少米？
成正比例
4.8÷0.8=6（米）
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第四单元《正比例》导学单
【学习目标】
经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到“不变”，认识正比例。
能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
3、经历比较、分析、归纳等数学活动，提高分析比较、归纳概括能力，初步体会函数思想。
【学习重点】经历正比例意义的建构过程，能从变化中看到不变，认识正比例。
【学习难点】能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
【知识链接】
1 根据正方形边长与周长、面积之间的关系填表格。
边长/cm 1 2 3
周长/cm 4
边长/cm 1 2 3
面积/cm 1
两个表格中的变量分别是（ ）与（ ）；（ ）与（ ）。
周长与边长是怎样变化的？
面积与边长是怎样变化的？
周长与边长，面积与边长之间的变化规律相同吗？
2 一辆汽车以90千米的速度行驶，汽车行驶的时间和路程如下表。
时间/时 路程/千米 路程÷时间
1
2
3
在变化中相互有联系的两种量，我们把它称作“两种相关联的量”，
表中（ ）因（ ）的变化而变化。表中（ ）与（ ）是两种相关联的量，（ ）因（ ）的变化而变化。（ ）与（ ）的比值一定，这两种量就是成正比例的量。也就是（ ）与（ ）成正比例。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着（ ），如果这两种量中相对应的两个数的比值（ ），这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。
【合作探究】
1 圆的面积与半径成正比例吗？
根据圆的面积公式：S=πr
圆的面积 3.14 12.56 28.26
半径 1 2 3
圆的（ ）随（ ）的变化而变化，（ ）与（ ）的比值不相等，所以（ ）与（ ）（ ）正比例关系。
2 乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。
乐乐的年龄/岁 6 7 8 9 10 11
爸爸的年龄/岁 32 33
他们的年龄成正比例关系吗？为什么？
小组合作，互相说一说。
3 你知道吗？
【方法宝典】
正比例的量的特征：
一个量随另一个量得变化而变化，在变化过程中这两个量的比值相同。
正比例关系：
【达标检测】
一、细心读题，谨慎填写。
1 曲米用橡皮泥捏成圆柱，圆柱的底面积和体积如下表。
底面积/m 3.14 6.28 15.7 78.5
体积/mm 25.12 50.24 125.6 628
①（ ）随着（ ）的变化而变化。
②圆柱的体积与底面积的比值是（ ），也就是体积与底面积的比值是（ ）的，这个比值就是圆柱的（ ），所以圆柱的体积与底面积成（ ）。
2 买笔记本的本数和总价如下表。
本数/本 1 2 3 4 5
总价/元 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
①表中相关联的量是（ ）和（ ），当笔记本的单价一定时，（ ）随着（ ）的增加而增加。
②总价和本数的比值是（ ），这个比值就是（ ）。
③因为总价和本数的比值一定，所以表中的两个量成（ ）比例。
3 工作总量=工作效率×工作时间，如果工作效率一定，那么（ ）和（ ）的比值一定，（ ）和（ ）成正比例。
4 每袋水泥的质量一定，水泥的总质量和水泥的袋数成（ ）比例。
5一种产品的合格率是96.5%，那么合格产品的数量和产品总数（ ）正比例。（填“成”或“不成”）
二 巧思妙断，判断对错。
长方形的长一定，长方形的面积和宽成正比例。（ ）
曲米的年龄和体重成正比例。（ ）
每束花的朵数一定，鲜花的总数和扎成的束数成正比例。（ ）
三 判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。
每筒装羽毛球的个数一定，羽毛球的总数和筒数。
底不变，平行四边形的面积与高。
一本书，看完的页数与剩下的页数。
四 解决问题
1 一辆汽车匀速行驶，其行驶的路程和耗油量如下表。
耗油量/L 2 4 6.4 8
路程/km 25 50 80 100
表中有哪两个变化的量？
路程和耗油量的比值是多少？这个比值表示什么？
（3）表中的路程和耗油量成什么关系？
2 笑笑为班级联欢会买糖果，每袋糖果2.8元。
把表格填完整。
应付金额与所买糖果的数量成正比例吗？
买糖果的数量/袋 应付金额/元
1 2.8
2
5
20
50
参考答案
一 1 ① 体积 底面积
② 8 一定 高 正比例
2 ① 总价 本数 总价 本数
② 2.5 笔记本的单价
③ 正
3 工作总量 工作时间 工作总量 工作时间
4 正
5 成
二 （1）√ （2）× （3）√
三 （1）成正比例
（2）成正比例
（3）不成比例 看完页数与剩下页数的比值不一定。
四 1 （1）路程 耗油量
（2）比值是12.5 每升油可以供汽车行驶12.5km。
（3）成正比例关系
买糖果的数量/袋 应付金额/元
1 2.8
2 5.6
5 14
20 56
50 140
2 （1）
（2） 成正比例
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