江苏省邗江中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省邗江中学（集团）20012-2013学年度第一学期
高二数学期中试卷
第Ⅰ卷（填空题 共70分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、命题“≤”的否定是 ▲
2、已知过两点的直线的斜率为1，则= ▲
3、已知直线与，若，则=__ ▲
4、抛物线的准线方程为______▲________
5、若关于的方程表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围为 ▲
6、若椭圆的焦距为2，则m的值是 ▲_
7、在中，“”是“”的 ▲ 条件。
(选“充分不必要”、 “必要不充分”、 “既不充分又不必要”、 “充要”填写。)
8、三条直线，能构成三角形，则m的范围是_____▲______
9、椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点, 则的面积为____▲______
10、若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为______▲_______
11、已知椭圆的左右焦点分别为、，点P在椭圆上，若P、、是一个直角三角形的顶点，则点P到x轴的距离为_ ▲
12、若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是____▲______
13、点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点F，圆M与轴相交于P,Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_▲_．
14、在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点．
对于以下结论：①符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；
②设为直线上任意一点，则的最小值为；
③设为直线上的任意一点，则“使最小的点有无数个”的必要不充分条件是“”；其中正确的结论有____▲____(填上你认为正确的所有结论的序号)
第Ⅱ卷（解答题 共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本小题满分14分）求实数m的取值组成的集合M，使当时，“p或q”为真，“p且q”为假。其中p：方程有两个不等的负根；q：方程无实根。
16、（本小题满分14分）在平行四边形中，，点是线段的中点，线段与交于点，
（1）求直线的方程
（2）求点的坐标．
17、（本小题满分15分）求下列圆锥曲线的标准方程：
（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程
（2）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的标准方程．
18、（本小题满分15分）已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
19、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点．
⑴求椭圆的标准方程；⑵若时，，求实数；
⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．
20、（本小题满分16分）若椭圆C：的离心率,且椭圆C的一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M(2,0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点，若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．
高二数学期中试卷参考答案
填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.5或3
7.必要不充分 8.且且 9. 10. 11. 12. 13. 14.①③
二、解答题
15.解：若为真，则 ∴ ……………………4分
若为真，则 ∴ ……………………7分
“或”为真，“且”为假 ∴与一真一假
①若真假，则 ∴ ……………………10分
②若假真，则 ∴ ……………………13分
综上所述， ……………………14分
16.解（1）∵□ABCD中， ∴C(10,6) ……………………2分
∵M(4,1) ∴ ……………………4分
∴直线CM： 即……………………7分
（2）∵ ∴直线BD： 即 ……10分
由，得 ∴P ……………………14分
17.解：（1）设所求抛物线标准方程为
则 ∴ ……………………5分
∴所求抛物线标准方程为 ……………………7分
（2）∵ ∴
∴ ∴ ……………………11分
∴所求椭圆标准方程为 或……………………15分
18.解（1）由题意知，直线CD斜率存在，设为
则 直线CD： 即
∵ ∴圆心M（0,2）到直线CD距离……2分
∴ ……………………4分
∴或 ……………………6分
∴直线CD的方程为或 ……………………7分
（2）∵MA⊥PA,MB⊥PB ∴A,P,B,M四点共圆，且此圆以PM为直径。
设，则圆心为，半径R=
∴经过A,P, M三点的圆的方程为 ………10分
即
∴圆的方程为
令，得或 ……………………14分
∴经过A、P、M三点的圆必过定点（0,2）和 ……………………15分
19.解（1）∵ ∴ ∴
∴椭圆方程为 ……………………4分
（2）∵当时， ∴
∴当°时，MF=NF=
∵ ∴ ……………………8分
（3）①当°时，由（2）可知， …………………10分
②当°时，设直线斜率为，，则直线MN：
由，得
∴ …………………12分
∴
= …………………15分
综上：为定值，与的大小无关。 …………………16分
20.（1）∵抛物线焦点为 ∴椭圆中，
∴ ∴ ∴
∴椭圆方程为 …………………4分
（2）设，则
∴
∵ ∴当时，取得最小值，此时 …………9分
（3）直线： ，设
由， 得
∴ …………………12分
∴
=
=
=
令，得 ∴ …………………16分