高三数学寒假练习卷
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高三寒假数学练习卷1
一、填空题（本大题满分48分）
1、若集合A={x|2x–5>0}，集合B={x| x2–2x–3<0}，则集合A∩B= （） 。
3、不等式的0的解集是 [-2,) 。
1.____2_______.
6、 函数的反函数
5.在中,角所对应的边分别为,,,则的面积为___________.
4、已知，则自然数 4
7.设等差数列的首项为,公差为前n项和为,若,则的值为___0_____.
5、正方形ABCD在平面M的同一侧，若A、B、C三点到M的距离分别是2、3、4，则直线BD与平面M的位置关系是 BD//平面M
7、若是，，…，的平均数，是，，…，的平均数，是，
，…，的平均数，则可用、表示为
8、若，则使函数的定义域为R且在（－∞，0）上单调递增的值
是
9、（文）在一个口袋里装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，现从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （用分数表示）。
10、已知地球的半径约为6371千米，上海的位置位于约为东经北纬，台北的位置位于东经北纬，则两个城市之间的距离为 672 （精确到千米）
11、定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x) = f(2–x)，且当x([0,2]时，f(x)=，则f(2008)= 4 。
11.在平面直角坐标系中，命题“若直线l过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则”为真命题，如果直线l不是经过抛物线的焦点而是经过x轴上另外一个定点 ，并且保证直线与抛物线有两个公共点，那么是否还是定值吗？请作出肯定或否定的回答，并且写出的表达式______是定值, _____________________________.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，
15、已知非零实数、满足，则下列不等式中成立的是（ D ）
（A）； （B）； （C） （D）
16、命题：“对任意的，”的否定是 ( C )
(A)不存在，； (B)存在，；
(C)存在，； (D)对任意的，.
17.若是常数，则“”是“对任意，有”的( A )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
18、由不全相等的正数形成个数：
关于这个数，下列说法正确的是 ( D )
(A) 这个数都不大于2 (B) 这个数都不小于2
(C) 至多有个数不小于2 (D) 至多有个数不大于2
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤
18.设复数,且复数满足(i为虚数单位),则当满足什么条件时,是纯虚数.
解： (3分
(5分)
若是纯虚数,则, (8分)
即当时, 是纯虚数. (10分)
19、(本题12分)已知集合A={x|x2–4x+3＜0}，B={x||x–3|≤1}，
(1)请根据集合的交集、并集、补集等运算性质的特征，设计一种集合运算：Δ，可以使
AΔB={x|1＜x＜2}并用集合的符号语言来表示AΔB；
(2)按(1)中所确定的运算，求出BΔA。
解： (1)因为集合A={x|x2–4x+3＜0}，B={x||x–3|≤1}，
所以A={x|1又AΔB={x|1＜x＜2}，所以运算：Δ表示：AΔB={x|x(A且x(B}；……8分
(2)根据上述性质知：BΔA={x|3≤x≤4}……………………………12分
20．（本题满分14分）
如图直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，
∠ABC=90o，AC=2，D是AA1的中点
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积V；
（2）求C1D与上底面所成角的大小。（用反三角表示）
解：（1）由已知条件，易得AB=BC=，所以V=--------7分
(2)C1D与上底面所成角即为，--------9分。由得，所以C1D与上底面所成角的大小为------14分
21.设A,B分别是双曲线 的左右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程.
(2)已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使得,求的值及点的坐标.
20.(1)由双曲线的实轴长为得. (2分)
双曲线右焦点的坐标为,一条渐进线为,由点到直线的距离公式得,
双曲线的方程为. (5分)
(2)设
将直线代入双曲线方程,化简得, (7分)
.
,. (11分)
将点的左边代入双曲线的方程,解得. (13分)
当时,点在已知双曲线的左支上,不合题意,舍去.
得,点的坐标为 (14分)
22．（本题满分18分）已知函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（文）（3）求实数的取值范围，使得关于的方程有两个不同的非零实数解
（理）（3）求实数的取值范围，使得关于的方程分别为：
① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解．
22解：（1）由，得，，∵ ，∴ ． （4分）
（2）由（1），，从而，只需研究在上的单调性．
当时，．设，且，则
， …（6分）
∵ ，∴ ，，，
∴ ，即．
∴ 函数在区间上是单调递增函数． ……（10分）
（3）原方程即为 ……① 恒为方程①的一个解． ……（11分）
若时方程①有解，则，解得，
由，得 ； ……（13分）
若且时方程①有解，则，解得，
由且，得或． ……（15分）
综上可得，当时，方程有且仅有一个解；
当时，方程有两个不同解；
两个不同的非零实数解 （18分）
一、填空题（本大题满分48分）
1、若集合A={x|2x–5>0}，集合B={x| x2–2x–3<0}，则集合A∩B= （） 。
3、不等式的0的解集是 [-2,) 。
1.____2_______.
6、 函数的反函数
5.在中,角所对应的边分别为,,,则的面积为___________.
4、已知，则自然数 4
7.设等差数列的首项为,公差为前n项和为,若,则的值为___0_____.
5、正方形ABCD在平面M的同一侧，若A、B、C三点到M的距离分别是2、3、4，则直线BD与平面M的位置关系是 BD//平面M
7、若是，，…，的平均数，是，，…，的平均数，是，
，…，的平均数，则可用、表示为
8、若，则使函数的定义域为R且在（－∞，0）上单调递增的值
是
9、（文）在一个口袋里装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，现从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （用分数表示）。
10、已知地球的半径约为6371千米，上海的位置位于约为东经北纬，台北的位置位于东经北纬，则两个城市之间的距离为 672 （精确到千米）
11、定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x) = f(2–x)，且当x([0,2]时，f(x)=，则f(2008)= 4 。
11.在平面直角坐标系中，命题“若直线l过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则”为真命题，如果直线l不是经过抛物线的焦点而是经过x轴上另外一个定点 ，并且保证直线与抛物线有两个公共点，那么是否还是定值吗？请作出肯定或否定的回答，并且写出的表达式______是定值, _____________________________.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，
15、已知非零实数、满足，则下列不等式中成立的是（ D ）
（A）； （B）； （C） （D）
16、命题：“对任意的，”的否定是 ( C )
(A)不存在，； (B)存在，；
(C)存在，； (D)对任意的，.
17.若是常数，则“”是“对任意，有”的( A )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
18、由不全相等的正数形成个数：
关于这个数，下列说法正确的是 ( D )
(A) 这个数都不大于2 (B) 这个数都不小于2
(C) 至多有个数不小于2 (D) 至多有个数不大于2
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤
18.设复数,且复数满足(i为虚数单位),则当满足什么条件时,是纯虚数.
解： (3分
(5分)
若是纯虚数,则, (8分)
即当时, 是纯虚数. (10分)
19、(本题12分)已知集合A={x|x2–4x+3＜0}，B={x||x–3|≤1}，
(1)请根据集合的交集、并集、补集等运算性质的特征，设计一种集合运算：Δ，可以使
AΔB={x|1＜x＜2}并用集合的符号语言来表示AΔB；
(2)按(1)中所确定的运算，求出BΔA。
解： (1)因为集合A={x|x2–4x+3＜0}，B={x||x–3|≤1}，
所以A={x|1
(2)根据上述性质知：BΔA={x|3≤x≤4}……………………………12分
20．（本题满分14分）
如图直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，
∠ABC=90o，AC=2，D是AA1的中点
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积V；
（2）求C1D与上底面所成角的大小。（用反三角表示）
解：（1）由已知条件，易得AB=BC=，所以V=--------7分
(2)C1D与上底面所成角即为，--------9分。由得，所以C1D与上底面所成角的大小为------14分
21.设A,B分别是双曲线 的左右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程.
(2)已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使得,求的值及点的坐标.
20.(1)由双曲线的实轴长为得. (2分)
双曲线右焦点的坐标为,一条渐进线为,由点到直线的距离公式得,
双曲线的方程为. (5分)
(2)设
将直线代入双曲线方程,化简得, (7分)
.
,. (11分)
将点的左边代入双曲线的方程,解得. (13分)
当时,点在已知双曲线的左支上,不合题意,舍去.
得,点的坐标为 (14分)
22．（本题满分18分）已知函数，且．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（文）（3）求实数的取值范围，使得关于的方程有两个不同的非零实数解
（理）（3）求实数的取值范围，使得关于的方程分别为：
① 有且仅有一个实数解；② 有两个不同的实数解；③ 有三个不同的实数解．
22解：（1）由，得，，∵ ，∴ ． （4分）
（2）由（1），，从而，只需研究在上的单调性．
当时，．设，且，则
， …（6分）
∵ ，∴ ，，，
∴ ，即．
∴ 函数在区间上是单调递增函数． ……（10分）
（3）原方程即为 ……① 恒为方程①的一个解． ……（11分）
若时方程①有解，则，解得，
由，得 ； ……（13分）
若且时方程①有解，则，解得，
由且，得或． ……（15分）
综上可得，当时，方程有且仅有一个解；
当时，方程有两个不同解；
两个不同的非零实数解 （18分）