任意角的三角函数
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课件34张PPT。2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？β=α＋k·360°（k∈Z）或 （2）180°＝ rad.2019年2月6日星期三2人民教育出版社A版数学必修4第一章第二节第一课时任意角的三角函数 任意角是一条射线绕端点O旋转生成的.在旋转过程中，终边上的点都绕O点作着圆周运动. 问题1：任意角是怎样生成的？问题2：圆周运动体现了客观世界“周而复始”的变化规律，那么用什么函数刻画这种“周而复始”的变化规律呢？问题3：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的定义吗？问题3：初中学习过锐角三角函数，你还记得它们的定义吗？你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r,那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？(2)对于锐角 的每一个确定的值 ，比值 都是确定的吗？上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
(1)当锐角 变化时，比值 会改变吗？ 问题4：比值 是锐角 的函数吗？为什么？锐角问题4：比值 是锐角 的函数吗？为什么？如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽MOyxP(a,b)思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？问题：既然当锐角确定后，三角函数值与点P在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的定义更简单？??????????????????? 单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.问题6：若将锐角 换为任意角，那么 还是 的函数吗？??????????????? 任意角的三角函数：如图，设? 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么：(1)纵坐标 叫做 的正弦，记作 ，即 ；(2)横坐标 叫做 的余弦，记作 ，即 ；(3)纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 .问题7：根据任意角的三角函数定义，确定它们在弧度制下的定义域.思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即③ 叫做 的正弦，即 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.补充定义：yx例1 求 的正弦、余弦和正切值.故 的终边与单位圆的交点坐标为小结：利用定义求三角函数值 ，关键是求出角的终边与单位圆交点的坐标.例3 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .解:由已知可得设角 的终边与单位圆交于 ，分别过点 、 作 轴的垂线 、＼ 于是， 知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？探究1.根据任意角的三角函数定义，确定三角函数值在各象限的符号.当角 满足不等式组 时，
角 为第 象限角.?????????????? 例2 全为+一全正二正弦三正切四余弦一、三角函数值的符号:规律: 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.反之也对。① ②证明： 因为①式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.
于是角 为第三象限角.反过来请同学们自己证明.例4 确定下列三角函数值的符号：
（1） （2） （3）
解：（1）因为 是第三象限角，所以 ；（2）因为 = ，
而 是第一象限角，所以 ；练习 确定下列三角函数值的符号 （3）因为 是第四象限角，所以 .下列各式为正号的是（ ）
A cos2 B cos2?sin2
C tan2?cos2 D sin2?tan2C2 若lg(sin??tan?)有意义，则?是（ ）
A 第一象限角 B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴C3 已知?的终边过点(3a-9,a+2),且cos?<0,
sin?>0,则a的取值范围是 。-2的同一三角函数值有什么关系？??????????????? 思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？ 思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值. 思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？ 求下列三角函数值： （1）；（2）；（3）（2）（3）解：（1） 例3 特殊角的三角函数:不存在不存在小结作业1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.
我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r,那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？(2)对于锐角 的每一个确定的值 ，比值 都是确定的吗？上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
(1)当锐角 变化时，比值 会改变吗？ 问题4：比值 是锐角 的函数吗？为什么？锐角问题4：比值 是锐角 的函数吗？为什么？如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽MOyxP(a,b)思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？问题：既然当锐角确定后，三角函数值与点P在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的定义更简单？??????????????????? 单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.问题6：若将锐角 换为任意角，那么 还是 的函数吗？??????????????? 任意角的三角函数：如图，设? 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么：(1)纵坐标 叫做 的正弦，记作 ，即 ；(2)横坐标 叫做 的余弦，记作 ，即 ；(3)纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 .问题7：根据任意角的三角函数定义，确定它们在弧度制下的定义域.思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即③ 叫做 的正弦，即 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.补充定义：yx例1 求 的正弦、余弦和正切值.故 的终边与单位圆的交点坐标为小结：利用定义求三角函数值 ，关键是求出角的终边与单位圆交点的坐标.例3 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .解:由已知可得设角 的终边与单位圆交于 ，分别过点 、 作 轴的垂线 、＼ 于是， 知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？探究1.根据任意角的三角函数定义，确定三角函数值在各象限的符号.当角 满足不等式组 时，
角 为第 象限角.?????????????? 例2 全为+一全正二正弦三正切四余弦一、三角函数值的符号:规律: 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.反之也对。① ②证明： 因为①式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.
于是角 为第三象限角.反过来请同学们自己证明.例4 确定下列三角函数值的符号：
（1） （2） （3）
解：（1）因为 是第三象限角，所以 ；（2）因为 = ，
而 是第一象限角，所以 ；练习 确定下列三角函数值的符号 （3）因为 是第四象限角，所以 .下列各式为正号的是（ ）
A cos2 B cos2?sin2
C tan2?cos2 D sin2?tan2C2 若lg(sin??tan?)有意义，则?是（ ）
A 第一象限角 B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴C3 已知?的终边过点(3a-9,a+2),且cos?<0,
sin?>0,则a的取值范围是 。-2