(共19张PPT)
1.1 集合的概念
通过学习本节内容,能从具体到抽象理解相关数学概念,逐步形成数学抽象的数
学素养.学习时还应注意以下几点:
1.通过实例,了解集合的含义,理解集合与元素之间的关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,掌握集合中元素的三个特性.
1.元素:一般地,把① 研究对象 统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的② 总体 叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,
B,C,…表示.
3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的.
4.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.
1 | 元素与集合的概念
2 | 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a③ ∈ A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a④ A a不属于集合A
3 | 常用数集及其记法
常用的 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
记法 N N*或N+ Z Q R
1.列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做
列举法.
2.描述法
(1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有⑤ 共同特征 P(x)的
元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
(2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再
画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的⑥ 共同特征 .
4 | 集合的表示方法
根据集合中元素个数的多少可将集合分为有限集和无限集.
有限集:集合中元素的个数是有限的.
无限集:集合中元素的个数是无限的.
5 | 集合的分类
1.中央电视台著名节目主持人可以组成一个集合. ( )
2.元素a,b,c与元素c,b,a组成的集合相等. ( √ )
3.0∈N,但0 N*. ( √ )
4.数1,0,5, , 组成的集合中有5个元素. ( )
5.集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( )
提示:集合{(1,2)}中的元素是(1,2).
6.集合{x∈R|x>0}与{x∈Q|x>0}相等. ( )
提示:代表元素的取值范围不一致,前者x∈R,后者x∈Q,所以两个集合不相等.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 集合中元素的特性
(1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,如果给定
一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了.
(2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是说,集合
中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为一个
元素.
(3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无先后顺序,即任何两个元素都
是可以交换顺序的.
(2020江苏南通高一第一次质量检测)若1∈{x,x2},则x= ( B )
A.1 B.-1 C.0或1 D.0或1或-1
解析 若1∈{x,x2},则必有x=1或x2=1.
①当x=1时,x2=1,不符合集合中元素的互异性,舍去;
②当x2=1时,解得x=-1或x=1(舍去),
当x=-1时,x2=1,符合题意.
综上可得,x=-1.故选B.
2 | 集合的表示
给出下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.
问题
1.它们是不是相同的集合
提示:由于三个集合的代表元素互不相同,因此它们是互不相同的集合.
2.它们各自的含义是什么
提示:集合A表示数集R;集合B表示数集{y|y≥1};集合C表示坐标平面内满足y=x2+
1的点(x,y)构成的集合.
列举法和描述法各有优缺点,应根据具体问题进行选择,一般遵循最简原则.当集
合中元素较多或有无限个时,不宜采用列举法.
1.用列举法表示集合时需注意:
(1)元素个数少且有限时,可全部列举出来,如{1,2,3,4};
(2)元素个数多且有限时,若可以按某种规律排列,则可以列举部分元素,中间用省
略号表示,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000};
(3)元素个数无限但有规律时,也可以用省略号列举,如自然数集N可以表示为{0,1,
2,3,…}.
2.用描述法表示集合时应注意以下几点:
(1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等;
(2)说明该集合中元素所具有的共同特征;
(3)不能出现未经说明的字母;
(4)所有描述的内容都要写在花括号内,用于描述内容的语言要力求简洁、准确;
(5)“{}”有“所有”“全体”的含义,因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}
或N,但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}.
用适当的方法表示下列集合:
(1)被3除余2的整数组成的集合;
(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解集;
(3)直线y=x-1,y=-x+1的交点组成的集合;
(4)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;
(5)已知集合A= ,用列举法表示集合A.
思路点拨
(1)类比奇数集{x|x=2k+1,k∈Z}的表示.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)联立
直线方程,求出交点后用集合表示.(4)结合平面直角坐标系第二象限内点的坐标
的符号特征表示.(5)结合集合A中元素满足的共同特征写出 的可能取值,进而
用列举法表示.
解析 (1)被3除余2的整数可以表示为3k+2,k∈Z,用集合表示为{x|x=3k+2,k∈Z}.
(2)解方程(x+1)(x2-2)=0,得x=-1或x=± ,用集合表示为{-1,- , }.
(3)联立 解得
故两直线的交点为(1,0),用集合表示为{(1,0)}.
(4)用有序实数对(x,y)作为代表元素,用描述法表示此集合为{(x,y)|x<0,且y>0}.
(5)∵ ∈N,则8-x可取的值有1,2,4,8,16,∴x的可能值有7,6,4,0,-8,又x∈N,∴x可
取7,6,4,0,
∴ 可取2,4,8,16,∴A={2,4,8,16}.
3 | 集合中参数问题的解法
求解含参数的集合问题时,若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论.
1.对参数进行准确的逻辑划分.如在研究方程ax+b=0时,若a≠0,则此方程是一元
一次方程,按一元一次方程求解即可;若a=0,则此方程不是一元一次方程,此时看b
是不是0.
2.求参数值的问题,先利用条件列出等式,再解方程(组)求值,最后用集合中元素的
互异性检验参数的值是否符合题意.解题时要注意:
(1)列等式时要考虑到元素的无序性,元素的无序性主要体现在:①给出的对象属
于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;②给出的两集合相等,则其中的元素
不一定按顺序对应相等.
(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不
相等.
3.求参数的取值范围问题先利用条件列出不等式(组),再解不等式(组)得到参数的
取值范围,最后用集合中元素的互异性检验参数的取值范围是否符合题意.
已知集合A={x|ax2-3x+2=0,x∈R}.
(1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值,并写出该元素;
(2)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
思路点拨
先考虑最高次项系数是不是0,即先判断该方程是一元一次方程,还是一元二次方
程,若为一元一次方程,直接求解即可;若为一元二次方程,则需求判别式,从而确定
根的个数.
解析 (1)若a=0,则方程为一元一次方程,它有唯一解x= ,符合题意;
若a≠0,因为A中只有一个元素,所以方程有两个相等的实数根.
由Δ=(-3)2-8a=0,得a= ,
此时集合A中只有一个元素 .
综上所述,当a=0时,集合A中只有一个元素 ;当a= 时,集合A中只有一个元素 .
(2)A中至多有一个元素,则A中只有一个元素,或A中没有元素.
当 即a> 时,方程ax2-3x+2=0无解,满足题意.
结合(1)可知,实数a的取值范围是 .(共23张PPT)
学习本节内容时要学会借助图形解决抽象问题,逐步形成直观想象的数学素养.
学习时还应注意以下几点:
1.理解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念;在具体情境中,了
解空集的含义.
2.能识别给定集合的子集,掌握列举有限集的所有子集的方法.
3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.
1.2 集合间的基本关系
1 | 子集、集合相等、真子集
概念 图示 性质
子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中① 任意一个 元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的② 子集 ,记作 ③ A B (或④ B A ),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 任何一个集合是它本身的子集,即A⑤ A;
对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A
⑥ C
概念 图示 性质
集合 相等 一般地,如果集合A的⑦ 任何一 元素都是集合B的元素,同时集合B的 ⑧任何一个 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作⑨ A=B A B,且B A A=B;
A=B,且B=C,则A=C
真子集 如果集合⑩ A B ,但存在元素x∈B,且 x A ,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) A B,且B C,则A C;
A B,且A≠B,则A B
续表
2 | 空集
定义 不含任何元素 的集合叫做空集
符号
规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
在数学中,经常用平面上封闭曲线的 内部 代表集合,这种图称为Venn图.
Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.
3 | Venn图
1. 和{ }表示的意义相同. ( )
2.任何集合都有子集和真子集. ( )
提示:空集没有真子集.
3.若a∈A,则{a} A. ( )
提示:当A中仅含一个元素a时,A={a},{a}不是A的真子集.
4.已知集合B A,如果元素a A,那么元素a B. ( √ )
5.任何一个集合都至少有2个子集. ( )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 集合间关系的判断
判断集合间关系的方法
1.列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个(或多个)集合表示出来,
再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系.
2.元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关
系.即若x是集合A中的元素,则x满足集合A中的限制条件,由限制条件推断x是否满
足集合B中的限制条件,若能推出则A是B的子集,否则A不是B的子集;同理可判断
B是不是A的子集.
3.图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断两个(或多个)集合间的关系.
0,{0}, ,{ }之间的关系
(1) 不含任何元素,所以0不是它的元素.
(2){0}表示只含有一个元素0的集合,所以0∈{0}.
(3){ }并不是空集,{ }中有一个元素,这个元素就是 ,即 ∈{ }.又因为 是
任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以 { }.
判断下列集合的关系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};
(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};
(3)A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文};
(4)M= x x=m+ ,m∈Z ,N= x x= - ,n∈Z ,P= x x= + ,k∈Z .
思路点拨
(1)先确定集合B中的元素,再与集合A中的元素对比.
(2)先确定集合A,B,再用数轴表示,即可得结果.
(3)利用Venn图表示集合A,B,C间的关系,即可得结果.
(4)先分析集合M,N,P的元素特征(也可用列举法),再判断集合M,N,P的关系.
解析 (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)A={x|0<2x-1<1}= ,B={x|1<3x+1<4}={x|0
合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)画出Venn图,可知C B A.
(4)解法一:元素特征法.
M= =
= ,
N= =
= ,
P= = ,
∴M N=P.
解法二:列举法.
M= ,
N= ,
P= ,
∴M N=P.
2 | 已知集合间的关系求参数
已知集合A={3,1},B={m,1},若集合A,B相等,则可由集合间的关系得到集合的
元素之间的关系,进而可以求出参数m的值为3.
问题
1.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},若A=B,如何求实数m的值
提示:由A=B得m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
2.已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1},若A B,如何求a的取值范围
提示:若A B,画出数轴:
则由数轴可知a>2.
3.在问题2中,将条件改为“B A”,又如何求a的取值范围
提示:若B A,画出数轴:
则由数轴可知1≤a≤2.
根据集合间的关系,求参数的值或取值范围的方法
1.若集合是用列举法表示的,则根据集合间的关系,转化为方程(组)求解,同时注意
考虑元素的互异性;若集合是用不等式描述的,则利用数轴转化为不等式(组)求
解,同时还要注意验证端点值的取舍.
2.涉及“A B”或“A B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A= 和A≠
两种情况进行讨论,其中A= 的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
求满足下列条件的实数a的值或取值范围:
(1)已知集合M={a-3,2a-1,a2+1},N={-2,4a-3,3a-1},M=N;
(2)已知集合M={x|ax+2=0},N={x|x2-5x+6=0},M N;
(3)已知集合M={x|-3(4)(2020山东济宁高一上期中)已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=
0},N M.
思路点拨
分别根据集合间的关系列出关系式,求出a的值或取值范围.
解析 (1)因为M=N,a2+1>0,所以a-3=-2或2a-1=-2.
当a-3=-2,即a=1时,M={-2,1,2},N={-2,1,2},满足M=N;
当2a-1=-2,即a=- 时,M= ,N= ,不满足M=N,舍去.
故实数a的值为1.
(2)由题意知N={2,3}.
①当M= 时,a=0,满足M N.
②当M≠ ,即a≠0时,M= .
因为M N,所以- =2或- =3,
即a=-1或a=- .
综上所述,a的取值范围为 .
(3)①当N= ,即2a-1≥a+3时,a≥4,满足N M.
②当N≠ 时,因为N M,
所以 或
解得-1≤a≤1.
综上所述,a的取值范围是{a|-1≤a≤1或a≥4}.
(4)因为M={x|x2-3x+2=0}={1,2},N M,
所以N= 或{1}或{2}或{1,2}.
①当N= 时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3.
②当N={1}时, 无解.
③当N={2}时,
解得a=-3.
④当N={1,2}时, 无解.
综上所述,a的取值范围是{a|a≤-3}.
3 | 探究已知集合的子集个数
如果一个集合有n(n∈N*)个元素,那么如何研究它的子集个数
问题
1.已知集合A={a,b,c},集合A有几个子集
提示:集合A有8个子集.
2.已知集合A={a,b,c},如何写出集合A的所有子集
提示:对于有限集的子集,通常按子集中元素个数的多少及集合中元素的先后顺
序来写.
3.已知集合A={a,b,c},集合A的真子集有几个 非空真子集有几个
提示:集合A的真子集有23-1=7个,非空真子集有23-2=6个.
1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则:
(1)A的子集个数是2n;
(2)A的非空子集个数是2n-1;
(3)A的真子集个数是2n-1;
(4)A的非空真子集个数是2n-2.
2.设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A C B,则符合条
件的有限集C的个数为2n-m.
3.求给定集合的子集的两个注意点:
(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;
(2)在写子集时要注意空集和集合本身也是该集合的子集.
已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},存在非空集合C,使C中每个元素都加上
2就变成了A的一个子集,且C中的每个元素都减去2就变成了B的一个子集,则集
合C的个数是多少
解析 假设存在满足条件的集合C,则C≠ ,将A中元素都减2得{0,2,4,6,7},B中元
素都加2得{3,4,5,7,10},于是C {0,2,4,6,7},且C {3,4,5,7,10}.注意到两个集合的
共同元素构成的集合为{4,7},故非空集合C是{4,7}的子集,即C={4,7}或C={4}或
C={7},故集合C的个数为3.(共18张PPT)
1.3 集合的基本运算
本节要学会准确利用运算法则进行运算,逐步培养运算能力.学习时还应注意以
下几点:
1.理解两个集合的并集与交集的含义,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,
能求两个集合的并集、交集以及一个集合在给定集合中的补集.
2.能用Venn图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,培养直观
想象的数学素养.
1 | 并集与交集
文字语言 符号语言 图形语言 运算性质
并集 一般地,由所有属
于集合A① 或
属于集合B的元素
组成的集合,称为
集合A与B的并集,
记作② A∪B
(读作“A并B”) A∪B=③ {x|x∈
A,或x∈B} A∪B=B∪A,A∪A
=A,
A∪ = ∪A=A,
A (A∪B),B (A
∪B),
A B A∪B=B
文字语言 符号语言 图形语言 运算性质
交集 一般地,由所有属
于集合A④ 且
属于集合B的元素
组成的集合,称为
集合A与B的交集,
记作⑤ A∩B
(读作“A交B”) A∩B=⑥ {x|x∈
A,且x∈B} A∩B=B∩A,A∩A
=A,
A∩ = ∩A= ,
(A∩B) A,(A∩B)
B,
A B A∩B=A
续表
1.全集
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的⑦ 所有元素 ,那么就称这个
集合为全集,通常记作U.
2.补集
2 | 全集与补集
文字语言 对于一个集合A,由全集U中⑧ 不属于 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作⑨ UA
符号语言 UA=⑩ {x|x∈U,且x A}
图形语言
运算性质 UA U, UU= , U =U, U( UA)=A,A∪( UA)=U,A∩( UA)=
在研究集合时,会遇到有关集合中元素个数的问题.我们把有限集合A的元素
个数记作card(A).例如,A={a,b,c},则card(A)=3.
一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),如图1.
图1
3 | 有限集合的并集中元素的个数
对于三个有限集合A,B,C,它们的并集中元素的个数公式是card(A∪B∪C)=card(A)+
card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如图2.
图2
1. U(A∩B)=( UA)∪( UB).
2. U(A∪B)=( UA)∩( UB).
4 | 德·摩根定律
1. UA U. ( √ )
2.在全集U中存在某个元素x0,既有x0 A,又有x0 UA,其中A为U的一个子集.
( )
3.若集合A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素. ( )
4.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集. ( √ )
提示:全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,
全集为实数集R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集Z.
5.若A∪B=A,B≠ ,则B中的每个元素都属于集合A. ( √ )
提示:当A∪B=A时,B A,又B≠ ,所以B中的每个元素都属于集合A.
6.若A∩B=C∩B,则A=C. ( )
提示:当B= 时,A∩B=C∩B= ,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 利用集合的运算性质求参数的值或取值范围
由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路
1.将集合中的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能
被一一列举,则可用观察法得到集合之间的关系;与不等式有关的集合,可利用数
轴得到集合之间的关系.
2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组).
3.利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意两点:
(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参
数的问题时,要注意这一隐含的条件.
(2)涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的关
系求解,注意空集的特殊性.
(2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学高一期中)已知集合A={x|a-1{x|-2≤x≤4}.
(1)当a=2时,求A∪B;
(2)若 ,求实数a的取值范围.
在①A∩B=A,②A∩( RB)=A,③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充在(2)中的
横线上,并求解.
思路点拨
(1)当a=2时,求得集合A,根据集合的并集运算求解.
(2)若选择①A∩B=A,则A B,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数
a的取值范围;若选择②A∩( RB)=A,则A是 RB的子集,分集合A是空集和不是空
集两种情况讨论,得到实数a的取值范围;若选择③A∩B= ,则分集合A是空集和
不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围.
解析 (1)当a=2时,集合A={x|1(2)若选择①A∩B=A,则A B.
当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A= ,满足题意;
当a>-4时,应满足 解得-1≤a≤ .
综上可知,实数a的取值范围为 .
若选择②A∩( RB)=A,则A是 RB的子集,易得 RB={x|x<-2或x>4}.
当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A= ,满足题意;
当a>-4时,应满足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4综上可知,实数a的取值范围为 a a≤- 或a≥5 .
若选择③A∩B= ,则当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A= ,满足题意;
当a>-4时,应满足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4综上可知,实数a的取值范围为 a a≤- 或a≥5 .
2 | “补集思想”
新学期开学啦!学生们都高高兴兴地来到了新的学校,开始了高中的学习生
活.数学老师想了解一下同学们在初中的数学成绩,让你帮忙统计一下中招考试
中数学成绩在110分以下(低于110分)的有多少人.
问题
1.你打算怎么办 运用了什么数学方法
提示:由于中招考试中数学满分是120分,因此成绩在110分以下的同学应该占大
多数,直接统计110分以下的较麻烦,可以先统计110分以上(含110分)的有多少人,
再用全班人数减去这个人数就是成绩在110分以下的人数.
运用了补集的思想方法.
2.“补集思想”的原理是什么
提示: U( UA)=A,即在全集U中对A的补集再求补集得到的就是集合A.
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难以从正面入手
的数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关
系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则
反”的解题策略.这种“正难则反”的策略运用的是补集思想,即已知全集U,求
其子集A时,若直接求A较困难,则可先求 UA,再利用 U( UA)=A求A.
1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂的时
候,或含有至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.
2.用补集思想解含参问题的步骤:
(1)否定已知条件,考虑问题的反面;
(2)求问题的反面对应的参数的集合;
(3)取问题的反面对应的参数的范围的补集,注意全集的范围.
已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中
至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围.
思路点拨
假设三个集合均为空集,求得a的取值集合 其补集满足题目要求.
解析 假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有
即
解得- ∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有
一个集合不是空集.
∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}.(共19张PPT)
1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.能用数学符号表示含有量词的命题并能判断命题的真假.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量
词命题进行否定.
4.能够根据数学实例,正确理解含有一个量词的命题与它的否定在真假上的关系,
能正确地判断含有一个量词命题的真假.
1.5 全称量词与存在量词
1 | 全称量词与全称量词命题
全称量词 全称量词命题 全称量词命题
的真假判断
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做① 全称量词 ,并用符号“② ”表示 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为③ x∈M,p(x) 全真为真,
一假为假
2 | 存在量词与存在量词命题
存在量词 存在量词命题 存在量词命题
的真假判断
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做④ 存在量词 ,并用符号“⑤ ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为⑥ x∈M,p(x) 一真为真,
全假为假
1.将一个命题的结论换成原来结论的反面,条件不变,得到一个新的命题,这个命
题就是原来命题的否定.如原来的命题为p:若s,则t,则它的否定为 p:⑦ 若s,则 t .
2.一个命题与它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能是⑧ 一真一假 .
3 | 命题的否定
4 | 全称量词命题和存在量词命题的否定
命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型
全称量词命题 p: x∈M,p(x) p:⑨ x∈M, p(x) 存在量词命题
存在量词命题 p: x∈M,p(x) p:⑩ x∈M, p(x) 全称量词命题
1.“有些”“有一个”“有的”是存在量词. ( √ )
2.全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题. ( )
提示:0是自然数,但0不是正整数,因此“自然数都是正整数”是假命题.
3.在全称量词命题和存在量词命题中,量词都可以省略. ( )
提示:在存在量词命题中,量词不能省略,有些全称量词命题的量词可以省略.
4.命题p:“ x∈M,p(x)”的否定是“ x∈M, p(x)”,它们可以同真同假. ( )
5.若命题 p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题.( √ )
6.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.( )
提示:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式并不唯一,如“所有的菱形都
是平行四边形”,它的否定可以是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可
以是“有些菱形不是平行四边形”.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
哥德巴赫猜想是世界三大数学难题之一,是在1742年,由德国中学教师哥德
巴赫在教学中首先发现的. 1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,
正式提出了以下的猜想:
(1)任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和;
(2)任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.
这就是哥德巴赫猜想.
欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.从此,这道数学难题引
起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可
即的“明珠”.
中国数学家陈景润于1966年证明:“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数
的乘积的和”,通常这个结果表示为 “1+2”,即陈氏定理,这是目前这个问题的
最佳结果.
科学猜想也是命题.哥德巴赫猜想是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有
被推翻的命题.
问题
1.哥德巴赫猜想是全称量词命题吗
提示:含有全称量词“任何”.
2.你能写出哥德巴赫猜想的否定形式吗
提示:全称量词命题的否定是存在量词命题.
1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有的量词
是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称量词命题的全称量词可以省略
不写.
2.要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,
验证p(x)成立.但要判定该命题是假命题,只需举出集合M中的一个x=x0,使p(x0)不
成立即可.要判定存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中能找
到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一命题就是假命题.
3.全称(存在)量词命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量
词),并把结论否定,即“改量词,否结论”.
4.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断
原命题的真假来得出命题的否定的真假.
(2020湖南常德第二中学高一上阶段测试)判断下列命题是全称量词命题还是存
在量词命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(2)对任意非零实数x1,x2,若x1 ;
(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;
(4) x∈R,使得x2+1=0.
解析 (1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以该命题是真
命题.
(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,所以该命题是假命题.
(4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以该命题是假命题.
导师点睛 判断全称量词命题、存在量词命题的真假时,一般从反例、特例入
手,若找不到反例、特例,则再进行相关证明并得出结论:若 x∈M,p(x)成立,则全
称量词命题为真;若 x∈M,p(x)不成立,则存在量词命题为假.
写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)对任意x∈R,x2-x+ ≥0;
(2)所有的正方形都是矩形;
(3)至少有一个实数x,使x3+1=0.
思路点拨
变换量词,否定结论.
解析 (1)存在x∈R,x2-x+ <0,是假命题.
(2)至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.
(3)对任意x∈R,x3+1≠0,是假命题.
2|全称量词命题和存在量词命题及其否定中的求参问题
解决含有量词的命题求参问题的思路
(1)全称量词命题求参的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查,一般
为“恒成立”问题.解决此类问题时,可构造函数,利用数形结合求参数的取值范
围,也可用分离参数法求参数的取值范围.
(2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通
常是假设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围,若能求出参数范围,则
假设成立;否则,假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时,一
般转化为“有解”问题,求解时应尽量分离参数.
常见结论:
1. x∈R,y=0,等价于方程y=0有实数根;
2. x∈R,y>0,就是不等式y>0恒成立,等价于ymin>0;
3. x∈R,y>0,就是不等式y>0有解,等价于ymax>0;
4. x∈R,y<0,就是不等式y<0恒成立,等价于ymax<0;
5. x∈R,y<0,就是不等式y<0有解,等价于ymin<0.
对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,即
把命题p的问题转化成命题 p的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也
就是“补集思想”的应用.
对于命题的否定,要注意一些常见否定词语的使用,下面是常用的正面叙述词语
和它的否定词语.
原词语 等于(=) 小于(<) 有 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不小于(≥) 没有 不是 不都是
原词语 至少有一个 至多有一个 至多有n个
否定词语 一个也没有 至少有两个 至少有
(n+1)个
已知命题p: x∈R,x2+2x+a≥0,若命题q: x∈ ,x2-a≤0.若命题p
和命题q至多有一个为真命题,求实数a的取值范围.
思路点拨
本题若从正面解题需分类讨论,情况较多,所以可从结论的反面入手,即考虑p、q
均为真命题的情况,然后求其补集,即“补集思想”的应用.
解析 若命题p: x∈R,x2+2x+a≥0为真命题,
则Δ=22-4a≤0,
∴a≥1.
若命题q: x∈ ,x2-a≤0为真命题,
则a≥(x2)min,
∴a≥0.
∴p,q均为真命题时,满足
即{a|a≥1},
其补集为{a|a<1},
∴p,q至多有一个为真命题时,实数a的取值范围为{a|a<1}.