江苏省通州区三星级高中2012-2013学年高二上学期期中联考数学试题

2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考
高二数学试题
试题总分：160分 考试时间：120分钟
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1．若圆的一般方程是，则其标准方程为 ▲ ．
2．下列四个条件中，能确定一个平面的只有是 ▲ ．（填写序号）
①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线．
3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ▲ ．
4．m为任意实数时，直线（m-1）x+(2m-1)y=m-5必过定点 ▲ ．
5．一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，那么圆锥与球
的体积之比是 ▲ ．
6．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ▲ ．
7．如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，
此图形中有 ▲ 个直角三角形．
8．过点的直线中，被圆截得的弦长最短的直线方程为 ▲ ．
9．（文做理不做）正方体中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么正方体的过P、Q、R的截面图形是 ▲ ．
（理做文不做）已知空间三个点A（-2，0，2）、B（-1，1，2）和C（-3，0，4），设，．
当实数k为 ▲ 时与互相垂直．
10．如图，已知圆柱形桶的底面半径为6cm，高为cm，有一只蚂蚁
从桶外点出发，经桶的表面通过上口爬行到桶内侧的中点
吃糖，聪明的蚂蚁爬行的最短距离是 ▲ cm．
11．一圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得
的弦长为，则此圆的方程为 ▲ ．
12．如图，四棱锥S-ABCD底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有 ▲ 个．
①AC⊥SB ； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的平面角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
13．直线与曲线有且仅有1个公共点，则b的取值范围是 ▲ ．
14．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在直线的方程为.求直线的方程．
16．(本小题满分14分)
在四面体ABCD中，CB=CD，， E，F分别是AB，BD的点，且AD//平面CEF，
（1）求证： ；
（2）若E是AB的中点，求证：.
17．(本小题满分14分)
如图，圆C通过不同的三点P（k，O）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在点P的切线斜率
为1，试求圆C的方程．
18．(本小题满分16分)
如图，在正三棱柱中，所有棱长都相等，点分别是与的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在棱上，且，求证：平面平面．
19．(本小题满分16分)
已知圆：．
（1）直线过点，被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）直线的的斜率为1，且被圆截得弦，若以为直径的圆过原点，求直线的方程．
20．(本小题满分16分)
（文做理不做）已知：正四棱锥S-ABCD的高为，斜高为2，设E为AB中点，F为SC中
点，M为CD边上的点．
（1）求证：EF//平面SAD；
（2）试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD．
（理做文不做）如图，在四棱锥中，平面．底面为直角梯形，
，，，分别为的中点，点在
棱上，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的大小为，求的值．
2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考
高二数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分
1 ． 2 ． ④ 3 ． 4
4 ． (9,–4) 5 ． 1∶2 6 ．
7 ． 4 8 ．
9 ．（文做理不做） 六边形 （理做文不做）
10． 11．或
12． 4 13．
14． 222
提示： 正方体表面面积为25×6-12=138,六道内空(重合部分重复计时)面积为4×5×6=120,重复的小正方体有6个,每个只能算2个小正方形面积,因此要减去面积6×(8-2)=36.
二、解答题：本大题共6小题；共90分．
15． (本小题满分14分)
解：，且直线CE的斜率为
∴直线AB的斜率为-3,
∴直线AB的方程为即……3分
由解得, ∴ ……7分
设，则∴有 ∴……12分
∴直线AC的方程为：即……14分
16． (本小题满分14分)
解：（1） ……7分
(2)
……14分
17．(本小题满分14分)
解：设圆C的方程为，
由于为方程的两根,∴ 即,
又因为圆过点R（0，1），故1+E+F=0, ∴E=-2k-1,
∴圆的方程,圆心C坐标,……7分
∵圆在点P的切线斜率为1 ∴ 解得
∴所求圆的方程为……14分
18．（本小题14分）
解：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D，E分别是BC，B1C1的中点，
可知，则为平行四边形,
故从而∥平面
又∴ ∴为平行四边形
∴∥，从而∥平面，
又∴平面∥平面……7分
(2) ∵D是BC的中点，且AB=AC
∴ADBC,又面ABC面, 面ABC面=BC
∴AD面 从而ADDM, AD
∴为二面角的平面角
设正三棱柱的棱长为1，可求
有,∴=
∴平面平面．……14分
⒚（本小题16分）
解： 圆C：，圆心 半径为3，
（1）因直线过点
①当直线斜率不存在时 ：
此时被圆截得的弦长为
∴： …… 3分
②当直线斜率存在时
可设方程为 即
由被圆截得的弦长为，则圆心C到的距离为
∴解得
∴方程为 即
由上可知方程为：或 ……8分
（2）设直线的方程为，代入圆C的方程得．
即（*）以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB．
设，，则， ……10分
即
∴
由（*）式得
∴即，∴或……14分
将或代入（*）方程，对应的△＞0．
故直线：或． ……16分
⒛（本小题16分）
解：（文做理不做）
(1)取SD中点G,连结AG,FG,则FG,
∴AEFG为平行四边形,AGEF,进而结论得证. ……6分
(2)连结AC与BD相交点O,取OC中点H,连结SO,FH,EH并延长EH交CD于点M,则SO⊥底面ABCD,FH//SO,
∴FH⊥底面ABCD.∴平面EFM⊥底面ABCD.
由AB//CM知，，∴MC=AE=AB=CD
.∴当点M位于CD的处（距点C）时，平面EFM⊥底面ABCD. ……16分
（理做文不做）
（1）如图建立空间直角坐标系，
∴

设面的法向量
则即∴
令 则
∵ ∴ 又不在面内
∴∥面……6分
（2）由（1）知面的一个法向量，又
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为……10分
（3）

设平面的一个法向量为
即
令 则 则=
设平面的一个法向量为
即
令 则 则=
∵二面角的大小为
∴即 解得 或
∴……16分