2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.4专题：线性运算中的最值问题课件(43张ppt)

(共43张PPT)
§2.4　线性运算中的最值问题
(专题课）
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
线性组合系数或系数代数式的最值问题
数学素养
通过求最值，培养数学抽象及数学运算素养.
向量的线性运算题目中，有一部分是直接运算，有一部分是研究几何性质，还有一部分涉及到最值问题，主要是线性运算系数的最值或范围问题。
1.从系数的多少看，可以把这种专题分为【单 系数最值】【双系数最值】
2.从解题方法上，除了必需要线性运算法则、运算律、定理及特殊结论外，还有【消元法】【基本不等式】【三角换元法】等求最值的方法。
前言
必备向量知识
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 法则 法则 (1)交换律：
a＋b＝ ；
(2)结合律：
(a＋b)＋c
＝_________
平行四边形
三角形
b＋a
a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝ ； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝__ (1)λ(μa)＝ ；
(2)(λ＋μ)a＝ ；
(3)λ(a＋b)＝_______
三角形
|λ||a|
相同
相反
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
0
平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在 一对实数λ1，λ2，使a＝ .
其中，不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
不共线
唯一
λ1e1＋λ2e2
基底
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ，
| |＝ .
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b .
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
1.三角形的中线向量公式
O
A
B
C
C是线段AB中点，则=
重要结论
2.平面向量的三点共线规则
O
A
B
C
A,B,C三点共线，则=+(1-X)
O
A
B
C
特别地，如果已知点C分线段AB的长度比m:n,则=+
m
n
O
必备函数知识
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.
a≥0，b≥0
a＝b
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R).
2ab
2
(3)ab≤ (a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则 的最小值为___.
3.　通过常数代换法利用基本不等式
4
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
4. 三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域.
进入专题研究
专题导图
单系数最值问题
1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上， 点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若 ，则x的取值范围是
单系数最值问题
1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上， 点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若 ，则x的取值范围是
1.,为基底，用【三点共线规则】表示
A
B
C
D
O
2.题设上对照，得到系数
3把系数看作目标函数。是一次函数，就按一次函数求值域思路进行。
思维导图
双系数最值问题
2.已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且 2，设 若 则x+y的最大值为()

A.2 B.4
1.建系转化为坐标运算
2.不建系，用减法法则运算
3.得到+以用【基本不等式】求x+y最大值
双系数最值问题
2.已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且 2，设 若 则x+y的最大值为()

A.2 B.4
双系数最值问题
3.已知A，B，P是直线l上三个相异的点，点O∈l，若正实数x，y满足 则的最小值为＿＿＿＿.
1.构建【三点共线规则】模型
2.获得2x+y=4
3.用基本不等式知识中的【常量代换法】求目标函数最小值
双系数最值问题
3.已知A，B，P是直线l上三个相异的点，点O∈l，若正实数x，y满足 则的最小值为＿＿＿＿.
双系数最值问题
4.如图，A，B，P是圆O上的三点，OP的延长线与线段BA的延长线交于圆0外一点Q，若 求a+b的取值范围.
1.构建【三点共线规则】模型，用 表示.
表示,获得a,b
3.a+b是一个一次函数，直接求值域
双系数最值问题
4.如图，A，B，P是圆O上的三点，OP的延长线与线段BA的延长线交于圆0外一点Q，若 求a+b的取值范围.
双系数最值问题
5. ABC中，D为AC上一点，满足 若P为BD上一点，满足 ).则mn的最大值为___，+ 的最小值为＿＿＿＿.
1.典型的【三点共线向量规则】的应用，获得m+4n=1
2.用算术平均数与几何平均数关系求出mn最大值
3.用【常量代换法】求出+ 最小值
双系数最值问题
5. ABC中，D为AC上一点，满足 若P为BD上一点，满足 ).则mn的最大值为___，+ 的最小值为＿＿＿＿.
双系数最值问题
6. ABC中，D为AC上一点，满足 若P为BD上一点，满足 ).则mn的最大值为___，+ 的最小值为＿＿＿＿.
双系数最值问题
7.矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC边的中点，P为线段AE上的动点，设向量 （λ，μ∈R)，求λ+μ的最大值.
1.由于有动点，且在矩形中运动，适合建系
2.对所给向量关系运算出λ，μ
3. λ+μ成为一次函数
双系数最值问题
7.矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC边的中点，P为线段AE上的动点，设向量 （λ，μ∈R)，求λ+μ的最大值.
双系数最值问题
8.已知向量m=(a，-1)，n=(2b-1、3)(a>0，b>0)，若m//n，则的最小值为()
12
C. 15
1.用坐标表示，显得关系非常明
2.依向量平行关系，求出3a+2b=1
3.用【常量代换法】求出目标最小值
双系数最值问题
8.已知向量m=(a，-1)，n=(2b-1、3)(a>0，b>0)，若m//n，则的最小值为()
12
C. 15
双系数最值问题
9.向量a=(1，x)，b=(x，y-2)，其中x>0，若a与b共线，则最小值为＿
1.平行关系坐标运算
2.成为对勾函数，用基本不等式可得最小值
双系数最值问题
9.向量a=(1，x)，b=(x，y-2)，其中x>0，若a与b共线，则最小值为＿
双系数最值问题
10.
1.用坐标表示，显得关系非常明
2.依向量平行关系，求出2a+b=1
3.用【常量代换法】求出目标最小值
双系数最值问题
10.
双系数最值问题
11.
1.通过向量平行的坐标运算，得到用t的三角表达
2.代入目标函数得到关于cosθ的二次函数
3.参考【三角换元法】求最小值
双系数最值问题
11.
双系数最值问题
12.
如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若 ，则m＋n的取值范围是______.
1.符合【三点共线向量规则】
2.符合共线关系
3.示完后，发现m+n是一次函数
双系数最值问题
12.
如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若 ，则m＋n的取值范围是______.
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0).