2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.4专题：应用线性运算研究平面几何性质课件（56张ppt）

(共56张PPT)
§2.4　应用线性运算研究平面几何性质
(专题课）
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.定位问题．
2.形状问题
3.面积问题
数学素养
通过对平面向量线性运算研究几何问题，培养数学想象及数学运算素养.
向量是形与数的高度统一，它集几何图.形的直观与代数运算的简洁于一身，在解决平面几何问题中有着奇特的功效.利用向量法解答平面几何问题的一般步骤是：1)对所给向量进行合成与分解；2)熟练运用加减法则及向量共线基本定理；3)会用【三角形中线向量公式】【三点共线向量规则】4）了解面积问题中的【奔驰定理】
前言
必备知识
1.加减数乘的基本运算法则和几何意义
2.运算律（优化重组，便于向量合成与分解）
3.基向量思想（向量转换）
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 法则 法则 (1)交换律：
a＋b＝ ；
(2)结合律：
(a＋b)＋c
＝_________
平行四边形
三角形
b＋a
a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝ ； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝__ (1)λ(μa)＝ ；
(2)(λ＋μ)a＝ ；
(3)λ(a＋b)＝_______
三角形
|λ||a|
相同
相反
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
0
平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在 一对实数λ1，λ2，使a＝ .
其中，不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
不共线
唯一
λ1e1＋λ2e2
基底
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ，
| |＝ .
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b .
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
1.三角形的中线向量公式
O
A
B
C
C是线段AB中点，则=
重要结论
2.平面向量的三点共线规则
O
A
B
C
A,B,C三点共线，则=+(1-X)
O
A
B
C
特别地，如果已知点C分线段AB的长度比m:n,则=+
m
n
O
思维导图
关于定位问题
1.有点定位，线定位；
2.定位是【形状】【面积】问题的基础，只有把平面几何中的点与线位置定准，平面几何图形的形状和面积，就有研究的依据。
3.从思路上讲，点与线都不是孤立存在的，我们要把目标点或目标向量与相关向量结合起来，以其他点和向量作参照。
定位问题
13.已知P为△ABC所在平面内一点，当 成立时，点P位于()

A.△ABC的边AB上

B.△ABC的边BC上

C.△ABC的内部

D.△ABC的外部
分析
1.遇到加法，利用向量加法的平行四边形法则，然后给点P定位
2.也可以移项，利用向量减法的三角形法则，然后给点P定位
定位问题
13.已知P为△ABC所在平面内一点，当 成立时，点P位于()

A.△ABC的边AB上

B.△ABC的边BC上

C.△ABC的内部

D.△ABC的外部
定位问题
14.已知0，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且 则()
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上

C.点P在线段AB的反向延长线上

D.点P在射线AB上
分析
1.将向量、 合成，三个向量变成两个共线向量，再根据数乘运算的几何意义，给点P定位
2.数乘运算中的倍数的正与负，大与小，都影响向量的位置。
定位问题
14.已知0，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且 则()
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上

C.点P在线段AB的反向延长线上

D.点P在射线AB上
定位问题
15.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足 则P一定为△ABC的()

A.AB边上的中线的三等分点(非重心)
B.AB边的中点
C.AB边上的中线的中点
D.重心
分析
1.把 这一部分用【三角形中线向量公式】与【重心性质】及向量数乘运算结合起来，化成一
2.个向量化出的向量就产生了一对一关系，便 于点P的定位。
定位问题
15.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足 则P一定为△ABC的()

A.AB边上的中线的三等分点(非重心)
B.AB边的中点
C.AB边上的中线的中点
D.重心
定位问题
16.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()
A.若 则M是BC边的中点
B.若 则点M在BC的延长线上
C.若 则点M是△ABC的重心
D.若 且 则△MBC的面积是▲ABC面积的
分析
1.前两个用【三角形中线向量公式】将三个向量化成两个向量，依据共线关系定位
2.后两个用涉及到三角形重点，要利用重心的几何性质
定位问题
16.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()
A.若 则M是BC边的中点
B.若 则点M在BC的延长线上
C.若 则点M是△ABC的重心
D.若 且 则△MBC的面积是▲ABC面积的
定位问题
17.
分析
1.条件中的向量都是一对一的关系，省去了化简过程
2.只要外理好以取特殊值
定位问题
17.
定位问题
18.
1.坐标表示下的向量的定位，以算代推证，显得容易的多。
2.坐标运算后，依据坐标可定位
定位问题
19.
定位问题
20.
定位问题
A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部
四个向量,一组，,一组合成，最后构成一对一之势
定位问题
A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部
思维导图
关于形状问题
1.主要研究三角形形状和四边形形状
2.由于缺少非线性运算的支持，研究形状的方法只局限于用加减法法则和运算律，共线向量定理等.
3.总体原则是，明确边对应的向量，明确对角线对应的向量，明确向量与向量之间长度关系和位置关系。
形状问题
1.已知O为空间中任意一点，且 则四边形ABCD是()

A.菱形B.平行四边形

C.等腰梯形D.矩形
分析
1.要知道四边形类形，要看各边所对应向量的关系
2.目前无法从角方面考虑，那是以后要学到的知识方法。
形状问题
1.已知O为空间中任意一点，且 则四边形ABCD是()

A.菱形B.平行四边形

C.等腰梯形D.矩形
形状问题
2.四边形ABCD中 且 则四边形ABCD是()

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形
分析
1.要知道四边形类形，要看各边所对应向量的关系
1.用加法法则和减法法则对向量进行运算，
可以得知对角线长度关系。
形状问题
2.四边形ABCD中 且 则四边形ABCD是()

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形
形状问题
3.在△ABC中，若 则△ABC一定是()

A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.不能确定

分析
1. 可以用加法的平行四边形法则合成为
2. 断出平行四边形的形状
3. 角形是平行四边形的组成部分，可知其形状。
形状问题
3.在△ABC中，若 则△ABC一定是()

A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.不能确定

形状问题
4.四边形ABCD中， -5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是()
A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

分析
1. 个向量都是用基向量表示的
2. 到两组对边所对应的向量
3. 向量共线定理，判断两组对边是否平行
形状问题
4.四边形ABCD中， -5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是()
A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

形状问题
5.
分析
1. 量关系较多，较分散，需要化简
2. 个向量之间的化简，要考虑运算律的应用
3. + ,合， 合.这是这道题的亮点
形状问题
5.
思维导图
三角形面积问题
1.主要是面积之比。局部与全体，局部与局部面积之比；
2.主要是利用线性运算的所有技术，把所有的向量化成a=λb,根据数乘向量的几何意义，得到线段与线段长度比，再换算成面积比。
3.还有特技：奔驰定理。这个在正文中详讲。
4.如果是求四边形内两个三角形面积之比，要了解四边形的形状，以便判断。
面积问题
6.在△ABC中，0为其内部一点，且满足 则△AOB和△AOC的面积比是()

A.3:4 B.3:2 C.1:1 D.1:3
分析
用向量的【中点公式】
把成为2
D
2.出现2=3。这才是这道题的最关键的结论
面积问题
6.在△ABC中，0为其内部一点，且满足 则△AOB和△AOC的面积比是()

A.3:4 B.3:2 C.1:1 D.1:3
面积问题
6.在△ABC中，0为其内部一点，且满足 则△AOB和△AOC的面积比是()

A.3:4 B.3:2 C.1:1 D.1:3
【奔驰定理】O是三角形内一点，α+ γ=0,则三角形面积比如图所标
面积问题
6.在△ABC中，0为其内部一点，且满足 则△AOB和△AOC的面积比是()

A.3:4 B.3:2 C.1:1 D.1:3
,说明α：β：γ=1：1：3
马上知道选D
面积问题
7.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量满足等式 若E为AC的中点，则 ()


这两个三角形是四边形内的两个三角形，可提前判断四边形是平行四边形，从而知这两个三角形面积之比
面积问题
7.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量满足等式 若E为AC的中点，则 ()


面积问题
8.正三角形ABC的边长为2，M为AB的中点， Q是AC上一点， R)，则△QBC的面积为
P
M
Q
1.将用基向量{}表示
2.发现的倍数关系。这才是关键。
面积问题
8.正三角形ABC的边长为2，M为AB的中点， Q是AC上一点， (. R)，则△QBC的面积为
面积问题
9.已知点O是▲ABC内部一点，并且满足2 △OAC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则 ()
这道题与上面的第6道是同类型题
1.关键是弄出一组与O有关的向量共线关系
2.可以用【奔驰定理】
面积问题
9.已知点O是▲ABC内部一点，并且满足2 △OAC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则 ()
面积问题
9.已知点O是▲ABC内部一点，并且满足2 △OAC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则 ()
【奔驰定理】
α：β：γ=2：3：5
面积问题
10.如图所示，设O是△ABC内部一点，且
则△ABC与△AOC的面积之比为___.
∴O是AC边上的中线BD的中点，
∴S△ABC＝2S△OAC，
∴△ABC与△AOC面积之比为2.
面积问题
10.如图所示，设O是△ABC内部一点，且
则△ABC与△AOC的面积之比为___.
【奔驰定理】
α：β：γ=1：2：1