2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册2.5.2向量数量积的坐标表示课件（34张ppt）

(共34张PPT)
§2.5.2　向量数量积的坐标表示
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点)
2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点)
1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系．
数学素养
通过平面向量数量积的应用，培养数学运算与逻辑推理素养.
复习引入
1.向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ，
| |＝ .
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b .
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
设疑
已知两个向量a=(x，y).b=(x，y)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢
向量数量积的坐标表示
课程导图
如图，在平面直角坐标系中，设i.j分别是x轴和y轴方向上的单位向量、则
a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)

=
因为i·i=j·j=1.i·j=j·i=0.所以

a·b=
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
数量积文字语言
模的坐标公式
设a=(x，y)，则 或
典例
例1.（1）已知A(-1，0)，B(0，2)，若 则
解： A(-1,0),B(0,2)

，∴B是线段AC的中点，C(1,4),(2,4)
典例
例1.（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为
以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
设E(t,0)，t∈[0,1]，
典例
例1.（3）已知向量a=(2，1)，b=(0，1)，(a+kb)·b=3，则实数k的值为()

A.-2 B.2 C.-4 D.4
解，1)·(0, 1)+k=1+k=3，k=2.
课程导图
如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1) ，B(x2，y2 那么
a=
|a|=| |=
这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式.
两点间距离公式
课程导图
向量夹角公式
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，
则cos θ＝
＝ .
特别地a⊥b
x1x2＋y1y2＝0
典例
例2（1）已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为___.
设a与b的夹角为θ，
例2（2）已知a=(3，2)，b=(1，-1)，求向量a与b的夹角的余弦值
解：设向量a与b的夹角为θ，则

由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，
即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，
上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，
由于α∈ ，
则tan α＜0，解得tan α＝ ，故选A.
例3.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝______.
∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，
∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，
课程导图
投影的坐标表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
1.向量a在向量b方向上投影数量
2.向量b在向量a方向上投影数量
已知点A(1，0)，B(-2，1)，向量e=(0，1)，则 在e方向上的投影数量为()

A.2 B.1 C.-1 D.-2
课程导图
思考
已知定点A和向量，点P是直线AB外的一点，请写出点P到直线AB的距离的向量表示.
推导
解(1)设n⊥AB.作向量
则·表示向量在向量n上的投影数量.
|·|表示点P到直线AB的距离.
说明
点到直线距离的向量表示公式需要
1.直线的垂直向量（法向量）
2.过该点和直线上任意点的向量
典例
例4.已知过点A(1，1)的直线l的方向向量为m=(1，2)，则原点O到直线l的距离为()
求法向量
辅助向量
距离
学以致用
1.判断下列各对向量是否垂直：

(1)a=(3、2),b=(4,6);(2)a=(7.1),b=(-2,14);

(2.)(4)a=(3.5).b=(5,-3).

2.已知 )，b=(1，1)，
2.已知 )，b=(1，1)，求a与b的夹角.

3.已知三点A(1，2)，B(0，1)，C(-2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
4.已知点A(2，1)，向量m=(2.-2)、过点A以向量m为方向向量的直线为l，求点P(-3.4)到直，线Ⅰ的距离.