2021-2022学年高一下学期数学沪教版(2020)必修第二册6.2.3 三角变换的应用 测试题word版含答案

【学生版】
《第 6 章　三角》【6.2.3 三角变换的应用】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、已知|cos θ|＝，且<θ<3π，则sin，cos，tan的值分别为(　　)
A．－，，2　B．－，－，2 C. ，－，2 D．－，－，－2
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
2、将cos 2x－sin2y化为积的形式，结果是(　　)
A．－sin(x＋y)sin(x－y)　 B．cos(x＋y)cos(x－y) C．sin(x＋y)cos(x－y)　D．－cos(x＋y)sin(x－y)
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知，则
4、已知cosα＝，270°<α<360°，那么cos的值为
5、设－3π<α<－，化简 的结果是
6、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝
7、若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于
8、在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是 三角形；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、已知，，求和的值.
10、（1）证明三倍角的余弦公式：；
（2）利用等式，求的值.
【附录】相关考点
考点一 半角公式 sin＝± ，cos＝± ， tan＝±，（无理形式）【根号前的正负号，由角所在象限确定】 推广公式：tan ＝＝（有理形式）
考点二 积化和差公式 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 要点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有；规律2：中括号中前后两项的角分别为和；规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数；
考点三 和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos，sin α－sin β＝2cossin， cos α＋cos β＝2coscos，cos α－cos β＝－2sinsin；
【教师版】
《第 6 章　三角》【6.2.3 三角变换的应用】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、已知|cos θ|＝，且<θ<3π，则sin，cos，tan的值分别为(　　)
A．－，，2　B．－，－，2 C. ，－，2 D．－，－，－2
【提示】注意：角度之间的倍数关系；
【答案】B；
【解析】因为|cos θ|＝，<θ<3π，所以cos θ＝－，<<.由cos θ＝1－2sin2，
得sin＝－＝－＝－，
又cos θ＝2cos2－1，所以cos＝－＝－，所以tan ＝＝2；
【考点】半角公式；本题是三角比的符号规则、同角三角函数与半角公式的整合。
2、将cos 2x－sin2y化为积的形式，结果是(　　)
A．－sin(x＋y)sin(x－y)　 B．cos(x＋y)cos(x－y) C．sin(x＋y)cos(x－y)　D．－cos(x＋y)sin(x－y)
【提示】注意结合题设要求进行化简；
【答案】B；
【解析】cos2x－sin2y＝－＝(cos2x＋cos2y)＝cos(x＋y)cos(x－y)；
【考点】和差化积公式；本题整合了降幂公式与和差化积公式。
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知，则
【提示】注意：结合角之间关系与范围；
【答案】
【解析】因为，，所以， ，，则，
因为，，可得，．
【考点】半角公式；本题考查了“半角公式”的推导与三角函数的符号规则。
4、已知cosα＝，270°<α<360°，那么cos的值为
【提示】注意：结合角之间关系与范围；
【答案】－；
【解析】因为270°<α<360°，所以135°<<180°，所以cos<0，
故cos＝－＝－ ＝－＝－；
【考点】半角公式；本题考查了同角三角函数关系与化切为弦的三角变换技巧。
5、设－3π<α<－，化简 的结果是
【提示】注意：结合角之间关系；
【答案】－cos；
【解析】原式＝ ＝，因为－3π<α<－π，所以－<<－π.
所以cos<0.因此原式＝－cos；
【考点】半角公式；本题考查了半角公式及其符号规则。
6、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝
【提示】注意：角之间的关系与公式特征；
【答案】；
【解析】因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，
所以2sincos＝，所以2sin·＝，所以sin(x＋y)＝；
【说明】和差化积公式；本题考查了两角差的余弦公式与和差化积公式的整合。
7、若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于
【提示】注意：将三角比的积整合为三角比的和差；
【答案】；
【解析】由cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
所以，cos2α－sin2β＝；
【考点】积化和差公式；
8、在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是 三角形；
【提示】注意：将三角比的积转化为和差与降幂公式交汇；
【答案】等腰；
【解析】由sin Asin B＝cos2，得cos(A－B)－cos(A＋B)＝，
所以，cos(A－B)＋cos C＝＋cos C，即cos (A－B)＝1，所以，A－B＝0，即A＝B.
则△ABC是等腰三角形；
【考点】积化和差公式；并与半角公式、三角形内角和进行了交汇；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、已知，，求和的值.
【提示】注意：角度之间的倍角关系；
【答案】；
【解析】∵ ∴
化简得： ∴
因为，，所以，，所以， ，即
【考点】半角公式；及其推导思路与过程；
10、（1）证明三倍角的余弦公式：；
（2）利用等式，求的值.
【提示】（1）将化简为，利用两角和差的公式和二倍角公式化简即可证得.
（2）利用二倍角公式化简，和同角三角关系式，转化为二次函数即可求的值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）
.
（2），因为，，又因为，，
所以，，则.
，令，（）
则有：，解得：，即的值为：.
【考点】半角公式；及其推导思路与过程；本小题主要考查三角函数中的恒等变换应用；运用诱导公式化简求值；
【附录】相关考点
考点一 半角公式 sin＝± ，cos＝± ， tan＝±，（无理形式）【根号前的正负号，由角所在象限确定】 推广公式：tan ＝＝（有理形式）
考点二 积化和差公式 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 要点诠释：规律1：公式右边中括号前的系数都有；规律2：中括号中前后两项的角分别为和；规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数；
考点三 和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos，sin α－sin β＝2cossin， cos α＋cos β＝2coscos，cos α－cos β＝－2sinsin；
四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 【建议用时：40分钟】
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普通高中教科书 数学 必修 第二册（上海教育出版社）