高中数学人教A版（2019）必修二 第二章 复数单元测试卷
一、单选题
1．（2022·红河模拟）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由，则，
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数域共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
2．（2022·西南名校模拟）已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴z的共轭复数对应的点为，第三象限。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义求出复数z的共轭复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
3．（2021高三上·河南月考）已知复数z满足，则（ ）
A． B．4 C． D．32
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：C
【分析】 利用复数的除法运算法则化简z，再根据模的公式即可求出答案.
4．（2022高三上·“智桂杯”联考）已知复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
所以在复平面上对应的点为，
所以在复平面上对应的点在第二象限。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
5．（2021高三上·月考）已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
6．（2021高二上·山西月考）复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数。
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数 。
7．（2021高二上·衡阳月考）已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】因为，所以，所以．
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数模的概念即可得出答案。
8．（2021高二上·湖南月考）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：C.
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
9．（2022高三上·重庆市月考）若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意知：且，
∴，即，故的共轭复数是.
故答案为：A.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
10．（2021高三上·河南月考）已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为 ，所以，
故，
故答案为：D
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再共轭复数的定义即可得出答案。
11．（2022高三上·河北月考）已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：是纯虚数，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
12．（2021·四川月考）设复数，则的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．-10 C．5 D．10
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以，所以复数的实部为5，虚部为-5，
所以的实部与虚部之和为0，
故答案为：A.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可求出虚部的取值，由此即可得出答案。
13．（2021高三上·金台月考）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题可知，.
故答案为：D.
【分析】首先由共轭复数的定义求出其共轭复数，再由复数代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
14．（2021高三上·潍坊月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意，
故
，又
故，
故答案为：A．
【分析】由复数的几何意义可得，再根据复数的运算可得 ，可得答案。
15．（2021高三上·湖南月考）设i为虚数单位，复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意，故，
在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故答案为：A．
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数代数形式的几何意义即可得出答案。
16．（2021高三上·如皋月考）已知复数 满足 ，则在复平面上 对应点的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．等腰三角形
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设复数 ，
根据复数的几何意义知： 表示复平面内点 与点 的距离，
表示复平面内点 与点 的距离，
因为 ，即点 到 两点间的距离相等，
所以点 在线段 的垂直平分线上，所以在复平面上 对应点的轨迹为直线.
故答案为：A.
【分析】 利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，分析已知等式的意义，推出结果.
二、填空题
17．（2021高二上·广州期中）若 ，则 ．
【答案】-2
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以， ，故 ．
故答案为：-2.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
18．（2021高二上·房山期中）复数 的实部是 .
【答案】-3
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，故实部为-3.
故答案为：-3.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的概念即可得出答案。
19．（2021高三上·包头开学考）设复数 ， 满足 ， ，则
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】设 ， ， ，由已知得： ， ， ，则 ，
，
则 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ， ，再利用复数的模求解公式结合已知条件，得出，再利用复数加法计数原理结合已知条件，从而求出 ， ，再利用复数加减法运算法则，从而得出，再利用复数求模公式，从而求出复数的模，即的值。
20．（2021高二上·房山期中）若复数 是纯虚数，则实数 .
【答案】-1
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 是纯虚数，
得 ，即 ．
故答案为：-1．
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由题意复数为纯虚数即可得出答案。
21．（2021高三上·湖北月考）已知为复数，且，则的最大值为 .
【答案】4
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：4
【分析】由已知条件结合，复数代数形式的运算性质以及向量模的定义即可得出的模的轨迹为圆，再由题意即可得出为点到点之间的距离，利用数形结合法计算出结果即可。
22．（2021·上海模拟）i是虚数单位，若复数 是纯虚数， ( )，则 的取值范围为 ；
【答案】[2，+∞)
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的模
【解析】【解答】由题意， 为纯虚数，
故
，即
故答案为：[2，+∞)
【分析】由复数的运算化简已知复数，由纯虚数的定义可得a的值，再由模长公式可得 的取值范围 。
三、解答题
23．（2021高二下·潮州期末）已知复数 满足 为虚数单位)，复数 .
（1）求 ；
（2）若 是纯虚数，求 的值.
【答案】（1）解： ， ，
（2） ，
是纯虚数， ，
.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件就结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数 。
（2）利用已知条件结合复数的乘法运算法则，再结合复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值。
24．（2021高三上·河南月考）已知复数 ， 的共轭复数为 .
（1）若 ，求： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ，
当 时， ，则 ，
.
（2）由 ，得 ，
整理，得 ，
即 ，解得 或 ，
即 的取值范围为 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念得 ，进而求出 ；
（2） 由 ，得 ，求解可得 的取值范围.
25．（2021高二上·重庆月考）已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：设 ，则 ，
为实数， ，即 ．
为实数，
，则 ；
所以 ，
（2）解：由（1）得，
依题意得 ，解得 ．
实数 的取值范围是
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数的乘除法运算法则，再结合 和 都是实数，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
（2）利用复数的加减法运算法则，从而得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定出点所在的象限，再结合已知条件复数 在复平面内对应的点位于第三象限，从而求出实数m的取值范围。
26．（2021高一下·沈阳期末）设复数 ，其中 ．
（1）若复数 在复平面内对应的点在直线 上，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）由复数 ，
可得 ，
因为复数 在复平面内对应的点在直线 上，
所以 ，即 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又因为 ，可得 ， ，
所以 ，所以 的取值范围 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】 (1)由已知条件 ，可得 ，再结合条件复数 在复平面内对应的点在直线y = 2x上，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数模公式和三角函数的图象，即可求解.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第二章 复数单元测试卷
一、单选题
1．（2022·红河模拟）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·西南名校模拟）已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021高三上·河南月考）已知复数z满足，则（ ）
A． B．4 C． D．32
4．（2022高三上·“智桂杯”联考）已知复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021高三上·月考）已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高二上·山西月考）复数等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高二上·衡阳月考）已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
8．（2021高二上·湖南月考）设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·重庆市月考）若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高三上·河南月考）已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·河北月考）已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·四川月考）设复数，则的实部与虚部之和为（ ）
A．0 B．-10 C．5 D．10
13．（2021高三上·金台月考）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021高三上·潍坊月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2021高三上·湖南月考）设i为虚数单位，复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．（2021高三上·如皋月考）已知复数 满足 ，则在复平面上 对应点的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．等腰三角形
二、填空题
17．（2021高二上·广州期中）若 ，则 ．
18．（2021高二上·房山期中）复数 的实部是 .
19．（2021高三上·包头开学考）设复数 ， 满足 ， ，则
20．（2021高二上·房山期中）若复数 是纯虚数，则实数 .
21．（2021高三上·湖北月考）已知为复数，且，则的最大值为 .
22．（2021·上海模拟）i是虚数单位，若复数 是纯虚数， ( )，则 的取值范围为 ；
三、解答题
23．（2021高二下·潮州期末）已知复数 满足 为虚数单位)，复数 .
（1）求 ；
（2）若 是纯虚数，求 的值.
24．（2021高三上·河南月考）已知复数 ， 的共轭复数为 .
（1）若 ，求： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
25．（2021高二上·重庆月考）已知z是复数，且 和 都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
26．（2021高一下·沈阳期末）设复数 ，其中 ．
（1）若复数 在复平面内对应的点在直线 上，求 的值；
（2）求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由，则，
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数域共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴z的共轭复数对应的点为，第三象限。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义求出复数z的共轭复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
3．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：C
【分析】 利用复数的除法运算法则化简z，再根据模的公式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
所以在复平面上对应的点为，
所以在复平面上对应的点在第二象限。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
5．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
6．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数。
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而求出复数 。
7．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】因为，所以，所以．
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数模的概念即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：C.
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
9．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意知：且，
∴，即，故的共轭复数是.
故答案为：A.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为 ，所以，
故，
故答案为：D
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再共轭复数的定义即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：是纯虚数，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
12．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以，所以复数的实部为5，虚部为-5，
所以的实部与虚部之和为0，
故答案为：A.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可求出虚部的取值，由此即可得出答案。
13．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题可知，.
故答案为：D.
【分析】首先由共轭复数的定义求出其共轭复数，再由复数代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
14．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意，
故
，又
故，
故答案为：A．
【分析】由复数的几何意义可得，再根据复数的运算可得 ，可得答案。
15．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意，故，
在复平面内对应的点为，位于第一象限，
故答案为：A．
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数代数形式的几何意义即可得出答案。
16．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设复数 ，
根据复数的几何意义知： 表示复平面内点 与点 的距离，
表示复平面内点 与点 的距离，
因为 ，即点 到 两点间的距离相等，
所以点 在线段 的垂直平分线上，所以在复平面上 对应点的轨迹为直线.
故答案为：A.
【分析】 利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，分析已知等式的意义，推出结果.
17．【答案】-2
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ， ，
所以， ，故 ．
故答案为：-2.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的定义即可得出答案。
18．【答案】-3
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，故实部为-3.
故答案为：-3.
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的概念即可得出答案。
19．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】设 ， ， ，由已知得： ， ， ，则 ，
，
则 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ， ，再利用复数的模求解公式结合已知条件，得出，再利用复数加法计数原理结合已知条件，从而求出 ， ，再利用复数加减法运算法则，从而得出，再利用复数求模公式，从而求出复数的模，即的值。
20．【答案】-1
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 是纯虚数，
得 ，即 ．
故答案为：-1．
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由题意复数为纯虚数即可得出答案。
21．【答案】4
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：4
【分析】由已知条件结合，复数代数形式的运算性质以及向量模的定义即可得出的模的轨迹为圆，再由题意即可得出为点到点之间的距离，利用数形结合法计算出结果即可。
22．【答案】[2，+∞)
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的模
【解析】【解答】由题意， 为纯虚数，
故
，即
故答案为：[2，+∞)
【分析】由复数的运算化简已知复数，由纯虚数的定义可得a的值，再由模长公式可得 的取值范围 。
23．【答案】（1）解： ， ，
（2） ，
是纯虚数， ，
.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件就结合复数的乘除法运算法则，进而求出复数 。
（2）利用已知条件结合复数的乘法运算法则，再结合复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值。
24．【答案】（1） ，
当 时， ，则 ，
.
（2）由 ，得 ，
整理，得 ，
即 ，解得 或 ，
即 的取值范围为 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念得 ，进而求出 ；
（2） 由 ，得 ，求解可得 的取值范围.
25．【答案】（1）解：设 ，则 ，
为实数， ，即 ．
为实数，
，则 ；
所以 ，
（2）解：由（1）得，
依题意得 ，解得 ．
实数 的取值范围是
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加减法运算法则和复数的乘除法运算法则，再结合 和 都是实数，从而结合复数为实数的判断方法，进而求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
（2）利用复数的加减法运算法则，从而得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定出点所在的象限，再结合已知条件复数 在复平面内对应的点位于第三象限，从而求出实数m的取值范围。
26．【答案】（1）由复数 ，
可得 ，
因为复数 在复平面内对应的点在直线 上，
所以 ，即 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又因为 ，可得 ， ，
所以 ，所以 的取值范围 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】 (1)由已知条件 ，可得 ，再结合条件复数 在复平面内对应的点在直线y = 2x上，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数模公式和三角函数的图象，即可求解.
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