24.1.2垂直于弦的直径 同步导学案（无答案）

学习课题：《24.1.2垂直于弦的直径》学习目标：1.知道圆的轴对称性及对称轴.2. 知道垂径定理及其推论，并体会利用圆的对称性证明垂径定理；会用垂径定理解决有关的证明和计算问题.3. 经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法.重点知识：垂直于弦的直径的性质、推论及应用.难点问题：对垂直于弦的直径的性质、推论的说明理解.学习策略指导：本节课研究圆的轴对称性与垂径定理及其简单应用，垂径定理既是圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据.同时，也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据.本节课通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，进一步培养学生的动手、观察、分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，对学生进行数学美的教育. 【补充思考】
【回顾】1.如图：AB是⊙O的 ；CD是⊙O的 ；⊙O中优弧有 ；劣弧有 .2.在 圆或 圆中，能够 叫等弧.3.圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？【导入】你知道赵州桥吗？它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）是7.2m，能求出赵州桥主桥拱的半径吗？【探究】探究一：圆的轴对称性同学们能不能找到图1这个圆的圆心？拿出手中的圆形纸片试一试.问题：1.在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆能够__________.2.刚才的实验能说明什么？由此你能得到什么结论？圆是____________，___________________________是它的对称抽,它的对称轴有 条.探究二：垂径定理如图2，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.1.这个图形是对称图形吗？ 【补充思考】
2.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？3.你能用几何方法证明这些结论吗？4.你能用一句话概括上述命题吗？垂径定理：（文字表述）_____________ .（符号语言）∵___________，___________；∴___________，___________，___________.探究三：垂径定理推论将上述垂径定理的题设和结论稍作调整，如图2，若直径CD平分弦AB,则：⑴直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？为什么？⑵如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？垂径定理的推论：（文字表述）平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且___________.符号语言）∵___________，___________；∴___________，___________，___________.探究四：观察下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？你能得出相关的结论吗？结论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①__________、②___________、③___________、④_______________________、⑤______________________ ，那么五个条件中满足任何其中两个条件都能推出其他三个结论.垂径定理的几个基本图形：例2 解决【导入】中的问题.【练习】1. 排水管的截面如图所示，水面宽AB＝8，圆心O到水面的距离OC＝3，则排水管的半径长为(　　) A.5 B.6 C.8 D.4 第1题 第2题 第3题2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）A．25m B．24m C．30m D．60m3.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，桥拱所在圆的半径为13米，则拱高CD为________米．4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形.【感悟】1.圆是 图形，它的对称轴是 2.垂径定理及其推论： 3.圆这一部分，常用的做辅助线的方法是什么？在圆中已知弦长、半径和弦心距（圆心到弦的距离）中的两个量求另外一个量时常用 的思想来解决. 【补充思考】
【检测】1．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm。则直尺的宽是______.2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________，最长弦长为_______．3．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ．4．如图，已知半径为5的⊙O与y轴交于点M（0，－4），N（0，－10），函数（x<0）的图像过点P，则k=______.(第1题图 ) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 5.在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．7.已知：如图，⊙O的直径AB=20cm,，求弦BC的长度.【作业】A组1. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论不一定正确的是(　　) A. AE＝BE B. ＝ C. OE＝DE D. ＝ 第1题 第2题 第3题2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE的长为(　　)A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm3. 如图，⊙O的弦AB＝6，C为AB的中点，且OC＝4，则⊙O的半径为(　　)A.8　B.6　C.5　D.4　4. 如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2cm，则弦AB的长为________cm.5. 如图，P为⊙O内一点．(1) 过点P是否存在一条弦AB，使P为AB的中点？如果存在，请作出弦AB.(2) 在(1)的条件下，若⊙O的直径为16cm，OP＝4cm，求弦AB的长． 第5题6.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 第6题B组7. 已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为(　　)A.2cm B.4cmC.2cm或4cm D.2cm或4cm8. 如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D.若C(0，4)，D(0，－1)，则线段AB的长度为________．9. 已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm.求弦AB和CD之间的距离．
A
B
O
D
E
C
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