吉林省长春市十一中2013届高三上学期期中考试 数学文

长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试
数学（文科）试题
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=，B=，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若是第四象限角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知实数，满足约束条件则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．2
5．设是等差数列的前项和，且，则的值是（ ）
A．12 B．18 C．22 D．44
6．下列函数中，值域为R的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．式子的值为（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知数列的前项和，则其通项公式=（ ）
A． B． C． D．
9．若向量，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．2 C． D．6
10．下列叙述中：
①在中，若，则；
②若函数的导数为，为的极值的充要条件是；
③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；
④在同一直角坐标系中，函数的图象与函数的图象仅有三个公共点．
其中正确叙述的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知函数，，对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．[，3] C． D．
12．已知函数,的零点分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线在点（1，2）处的切线斜率为 ．
14．已知数列的前项和为，满足，则通项= 　　．
15．在中，角的对边分别为，已知，且，，则的面积为 ．
16．已知定义在R上的偶函数满足：，且当[0，2]时， 单调递减，给出以下四个命题：
①；
②为函数图象的一条对称轴；
③函数在[8，10]上单调递增；
④若方程在上的两根为，，则．
上述命题中所有正确命题的序号为 　　　　．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数，．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）解不等式．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若为锐角，且，求的值．
20．（本小题满分12分）
已知函数，其中是自然对数的底数，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求使方程在[，]上有解的整数的所有取值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点（0，1），且=，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若函数在（0，）上为单调增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）设，（0，），且，求证：．
长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试
数学（文科）试题参考答案
一、BBABC CBADB AD
二、13．4， 14． 15 ． 16． ①②④
三、解答题
17．解：（Ⅰ），，解集为 ……4分
（Ⅱ） 由 解得；
由 解得； 由解得
综上可知不等式的解集为．……10分
18．解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由题意得
解得 ∴。……6分
（Ⅱ）∵
∴
== ……12分
19．（Ⅰ）解：
=
则的最小正周期为，
即单调递增区间为． ……6分
（Ⅱ）∵ ∴， ∴。
∴。
∵为锐角，即，∴
∴。
∴ ……12分
20．解：（Ⅰ）因为，所以，即。
又因为，所以不等式可化为
所以不等式的解集为（0，）。 ……4分
（Ⅱ）当时，方程，即，由于，
所以不是方程的解，所以原方程等价于
令，因为对于（，0）∪（0，）恒成立，所以函数在（，0）和（0，）内是单调递增函数，
又，，，，
所以函数在区间[1，2]和[-3，-2]上分别有一个零点，
即方程有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，故或。 ……12分
21．解：（Ⅰ）由已知，， 解得 ，，
所以，所以椭圆C的方程为。 ……4分
（Ⅱ）由 得，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以解得。
设A（，），B（，）
则，，
计算，
所以，A，B中点坐标E（，）
因为=，所以PE⊥AB，
所以 解得
经检验，符合题意，所以直线的方程为或。……12分
22．解：（Ⅰ）。
因为在（0，）上为单调增函数，所以在（0，）上恒成立，即在（0，）上恒成立，当（0，）时，由得。
设，（0，），则，当且仅当
即时等号成立，所以即，所以的取值范围是。……6分
（Ⅱ）不妨设。原不等式等价于不等式，即，即。设，这个函数即为时的函数，根据（1）知这个函数在（1，）上是单调增函数，又，所以所以，所以． ……12分