吉林省长春市十一中2013届高三上学期期中考试 数学理

长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试
数学（理科）试题
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．，下列命题正确的是（ ）
A．若，则　　　　　 B．若，则
Ｃ．若，则　　 Ｄ．若，则
3．对于命题和命题，“为真命题”的必要不充分条件是（ ）
A．为假命题　　　　　　　　　　　Ｂ．为假命题
Ｃ．为真命题　　　　　　　　　　　Ｄ．为真命题
4．设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不确定的是（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．下列叙述中：
①在中，若，则；
②若函数的导数为，为的极值的充要条件是；
③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；
④在同一直角坐标系中，函数的图象与函数的图象仅有三个公共点．
其中正确叙述的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．式子的值为（ ）
A． Ｂ． Ｃ． D．
7．在等差数列{an}中，若，，，则的值为（ ）
A． 15 B．14 C． 17 D．16
8．设甲、乙两地间距离为千米，某同学从甲地去乙地的速度为千米/小时；从乙地返回甲地的速度为千米/小时（），全程的平均速度为千米/小时．则（ ）
A．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
9．若函数在定义域上存在不相等的实数、，使得，则称此函数为“和谐函数”．下列函数中是“和谐函数”的是（ ）
A．　　Ｂ．　　Ｃ． 　　Ｄ．
10．函数的图象大致是（ ）

Ａ　　　　　　　 Ｂ　　　　　　　 Ｃ　　　　　　 Ｄ
11．函数满足，其导函数的图象如图所示，则函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． 　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
12．已知函数的零点分别为，，则（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量，，且，则的坐标是 ．
14．不等式组表示的平面区域是三角形，则实数的取值范围是 ．
15．已知数列满足，，则的最小值为 ．
16．已知函数满足：，，则 ．　
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
设函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数的值．
18. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知数列，，若以为系数的二次方程都有根，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知（为常数）是实数集R上的奇函数，当时，
有．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数在上的最小值是 求的值．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点，的距离之和为，且其焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于不同的两点Ａ，Ｂ．问是否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆过椭圆的右焦点．若存在，求出的值；不存在，说明理由．
22.（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求的值及的单调减区间；
（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：.
长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试
数学（理科）参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
B
A
A
C
C
A
B
B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．或 14．或
15． 16．
三、解答题（共6题，17题10分，18,19,20,21,22题各12分）
17．解：（Ⅰ）由题意知
作出函数的图象．———————————————（4分）
它与直线的交点坐标为（-7，2）和（，2）．
的解集为（，-7）∪（，）——————（7分）
（Ⅱ）由函数的图象可知，————————（10分）
18．解：（Ⅰ）
=———（2分）
的最小正周期为；————————————————————（3分）
，
的增区间为————————————（6分）
（Ⅱ）∵ ∴， ∴，
∴．∵为锐角，即，∴
∴．————————————————————（8分）
又，由余弦定理得：，
即，，
∴．—————————————————————————（10分）
∴．—————————（12分）
19．解：（Ⅰ）∵将α＋β＝，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1，
得an＝an－1＋，——————————————————————————（2分）
∴＝＝为定值．又a1－＝，∴数列{an－}是首项为，公比为的等比数列．———————————————————————————（5分）
an－＝×()n－1＝()n，∴an＝()n＋．———————————————（6分）
（Ⅱ）
——————（7分）
令．①
②
①－②得，
————————————————————————（11分）
———————————————————（12分）
20．解：（Ⅰ）∵
． ——————（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，则———————（5分）
在上讨论如下：
①当时，，函数单调递增，其最小值为，
这与函数在上的最小值是相矛盾； ——————————————（6分）
②当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；——————————————————————————————（7分）
③当时，函数在上有，单调递减，
在上有，单调递增，所以函数满足最小值为
由，得．——————————————————————（9分）
④当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，还与最小值是相矛盾；——————————————————————（10分）
⑤当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，
仍与最小值是相矛盾；——————————————————————（11分）
综上所述，的值为．——————————————————————（12分）
21．解：（Ⅰ）依题意可知
又∵，解得 ——————————————————（2分）
则椭圆方程为．—————————————————————（4分）
（Ⅱ）联立方程 消去整理得：（6分）
则
解得 ①————————————————————（7分）
设，，则，，又
，
若存在，则，即：
②
又
代入②有
，
解得或——————————————————（11分）
检验都满足①，——————————————————（12分）
22．解：（Ⅰ）——————————————（1分）
，即，
又
综上，——————————————————————————（3分）
由定义域知
，的单调减区间为————————（5分）
（Ⅱ）先证
即证
即证——————————————————（6分）
令，，，即证
令，则
＝
—————————————————————————————（8分）
①当即时，，即
在（0，1）上递增，∴＜＝0，——————————————（9分）
② 当＜，即＞1时，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，————————————（10分）
③ 当＝，即＝1时，＝＝0
综合①②③知即 ————————（11分）
即
又
∴
综上可得——————————————（12分）